基于蓋爾圓準則的信源數目估計改進算法

褚鼎立，陳 紅，蔡曉霞

(國防科技大學電子對抗學院， 安徽 合肥 230037)

0 引言

在信源和混疊過程未知的情況下從混合信號中分離出有用信號稱作盲源分離(Blind Signal Separation，BSS)。“雞尾酒會”問題可以看做盲源分離問題的起源[1]，通過源信號估計技術可以準確判斷出席酒會的人數。軍事上，可以根據信號情況，判斷出敵軍坦克、飛機等軍事目標的數目[2]。輻射源個數估計一直是盲源分離和空間譜估計領域的研究熱點和難點[3]，是盲源分離算法應用的前提和基礎，一般的盲源分離算法均假設信源數目已經事先確定[4]，然而實際中信源數目通常是未知的,這對盲信號的分離帶來了一定困難。

現有的源信號個數估計算法主要有：基于假設檢驗的算法、基于信息論準則的算法和基于蓋爾圓準則的算法[5-6]。基于假設檢驗的算法通過對觀測信號的協方差矩陣進行特征值分解，利用信號特征值相對較大而噪聲特征值相對較小的特點將特征值進行排序，在信號和噪聲特征值之間設置閾值或者利用特征值間的比值設置閾值，從而判別出信號數目。但檢測閾值的設定至今尚沒有較好的理論支持，有較大的不確定性。基于信息論準則的算法主要有最小信息準則(AIC)和最小描述長度(MDL)準則，其中AIC準則由Akaika提出[7]，MDL準則由Schwartz[8]和Rissanen[9]提出。這兩種準則最初是用于模式選擇，由Wax和Kailath于1985年應用到了對源信號個數的估計上。這兩種方法克服了假設檢驗算法階數估計的不確定性，實用性較強。進一步研究表明，MDL準則對源信號個數的是漸進一致性估計，而AIC準則不是，其估計值較真實值偏大。AIC準則和MDL準則有一定的適應條件： 1)接收陣元數量須大于源信號個數；2)必須有少量噪聲，保證噪聲特征值不為零；3)必須是高斯白噪聲。因此在非高斯噪聲和非白噪聲場合，這兩種方法不能正確估計。Wu和Yang等于1995年提出了基于蓋爾圓理論的信號源個數估計方法[10]，不需要知曉噪聲模型，適用于多種噪聲條件下的信源數目估計問題。該方法存在的問題是可能陷于無序特征值導致的錯誤檢測[11]。針對AIC準則存在的非漸進一致性估計的缺陷，以及蓋爾圓準則可能出現的無序特征值導致的檢測錯誤，提出了結合GDE準則和AIC準則的GDE-AIC信源數目估計方法。

1 基于AIC準則的信源數目估計算法

1.1 線性混疊信號盲源分離的模型

假設M個統計獨立的源信號經過線性瞬時混合被N個傳感器接收，則每個觀測信號是這些信號的一個線性組合。公式(1)對于線性時不變瞬時混合信號成立：

(1)

式(1)中，aij,i∈[1,2,…,N]，j∈[1,2,…,M]是混合參數，sj(t),j∈[1,2,…,M]是源信號，xi(t),i∈[1,2,…,N]是觀測信號。公式(1)也可以表示成向量形式：

x(t)=As(t)

(2)

式(2)中，x(t)=[x1(t),x2(t),…,xN(t)]T是N維觀測向量，s(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T是M維信號向量，A∈N×M是元素為aij的混合矩陣。

實際應用中，由于信道和傳感器陣列存在加性噪聲的干擾，式(2)中的觀測向量就變為：

x(t)=As(t)+n(t)

(3)

式(3)中，n(t)=[n1(t),n2(t),…,nN(t)]T是加性噪聲矢量。

盲源分離的基本原理是接收信號經過分離系統后能夠分離出原始信號。圖1為線性瞬時混疊信號盲源分離模型。如圖1，M個相互獨立的未知信號s=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T經過一個混疊系統后，由N個傳感器檢測得到N個接收信號x=[x1(t),x2(t),…,xN(t)]T。接收到的信號通過分離系統得到的估計信號y=[y1(t),y2(t),…,yN(t)]T就是對源信號的一個估計。

圖1 線性瞬時混疊信號盲源分離模型Fig.1 Liner instantaneous mixing and blind Source separation model

1.2 基于AIC準則的信源數目估計算法

假定觀測噪聲n(t)是零均值高斯白噪聲，源信號相互獨立，且與噪聲不相關。考慮觀測信號構成的矩陣X=[x(1),…,x(L)]，其協方差如下：

R=E[XXH]=Ψ+σ2I

(4)

式(4)中，L為快拍數，Ψ=ARSAH，RS=E[SSH]，S=[s(1),…,s(L)]為源信號矩陣，σ2為噪聲特征值，R∈N×N。

源信號個數估計等價于估計式(4)中矩陣Ψ的秩。AIC準則模型為：

(5)

R(k)=Ψ(k)+σ2I

(6)

式(6)中，Ψ(k)是秩為k的半正定矩陣，k∈{0,1,…,N-1}遍歷所有可能的源信號個數值。將R(k)特征值分解，有

(7)

式(7)中：λ1,…,λk，v1,…,vk分別為R(k)的特征值和特征向量。用Θ(k)表示該模型中參數組成的向量，即

(8)

由于觀測值x(i)，i=1,2,…,L是統計獨立的零均值高斯隨機向量，其聯合概率密度函數為：

(9)

對式(9)兩邊取對數并忽略與Θ(k)無關的項，得

(10)

(11)

κ=k(2N-k)+1

(12)

將式(11)和式(12)代入式(5)中，得到AIC準則計算公式

2k(2N-k)

(13)

遍歷k=1,2,…,N-1時，使得AIC(k)取最小值時對應的k值就是信號源個數的估計值。

2 基于GDE-AIC準則的信源數目估計算法

2.1 基于GDE準則的信源數目估計算法

對于N×N維實矩陣A，設其第i行第j列元素為aij，第i行中除第i列外的所有元素絕對值之和為：

(14)

定義第i個圓盤Oi為復平面上以aii為圓心，以ri為半徑的所有點集合，則

|z-aii|≤ri

(15)

Gerschgorin已經證明[10]，矩陣A的特征值包含在圓盤Oi，i=1,2,…,N的并區間內。這個理論成為蓋爾圓理論，對應的圓盤稱為蓋爾圓盤。

定義

(16)

(17)

構造酉變換矩陣U：

(18)

對協方差矩陣R作如下變換：

(19)

(20)

(21)

式(21)中，k取值范圍為1，2，…，N-1；D(L)為取值0～1的校正因子。噪聲蓋爾圓半徑隨樣本數L增加而減小，因此取D(L)是樣本數L的非增函數，使得樣本數增大時對應的判斷閾值減小。具體判斷方法為：從k=1開始計算GDE(k)，當GDE(k)第一次取負值時停止，估計源信號數為k-1。

2.2 基于GDE-AIC的信源數目估計算法

提出的GDE-AIC算法結合了蓋爾圓準則(GDE)和最小信息準則(AIC)，并可用信源數目估計中。

將式(7)中的R(k)用變換后的S(k)代替，可得到基于蓋爾圓的最大似然估計。令z(k)=Ux(k)，則S=E[z(k)z(k)H]，則對數似然函數為：

(22)

(23)

將S(k)寫成分塊矩陣的形式：

(24)

(25)

將得到的對數似然函數代入式(5)中得

(26)

修正項κ為可獨立調整的參數個數，似然函數由S的k維子矩陣和相應的蓋爾圓決定，通過計算得κ=k2，代入式(26)得到GDE-AIC準則的計算公式

(27)

遍歷k=1,2,…,N-2時，使得GDE-AIC(k)取最小值時對應的k值就是信號源個數的估計值。

3 實驗仿真與分析

本節基于Matlab2014a平臺仿真驗證并分析GDE-AIC方法的估計效果。

實驗1：實驗中使用了4個源信號，分別為FSK信號、ASK信號、DPSK信號和一組隨機信號，接收傳感器為6個，這4個源信號經混合矩陣混合并疊加噪聲后得到6個觀測信號，混合矩陣取

源信號波形如圖2所示，混合信號波形如圖3所示。

圖2 源信號Fig.2 Source signals

圖3 混合信號(N=6)Fig.3 Mixed signals(N=6)

為便于計算，非增函數D(L)取為固定值0.01。采樣點數為10 000，信噪比線性變化范圍從-20 dB以步長2到20 dB，對比了基于信息論的AIC算法、基于蓋爾圓準則的GDE算法、文獻[12]提出的GDE-MDL算法以及本文提出的算法，每個信噪比上進行300次Monte Carlo實驗，表一給出了信噪比為0時，GDE-AIC算法的取值，GDE-AIC(k)取最小值時對應的k值就是估計的源信號個數。

當噪聲分別為高斯白噪聲和空間色噪聲時，四種算法分別進行300次Monte Carlo實驗，計算各算法的估計準確率，實驗結果分別為圖4和圖5所示。

表1 GDE-AIC(k)值

Tab.1 GDE-AIC(k) values

圖4 白噪聲條件下的估計效果(N=6)Fig.4 Estimation effect of these methods under white noise condition(N=6)

圖5 色噪聲條件下的估計效果(N=6)Fig.5 Estimation effect of these methods under color noise condition(N=6)

從圖4中可以看出，在白噪聲條件下，信噪比在-20～-6 dB之間時，4種方法的源數估計效果均不理想；信噪比在-6～-2 dB之間時，GDE-AIC算法的估計準確率已經非常高；當信噪比高于-2 dB時，GDE-AIC算法估計準確率已穩定在100%，而文獻[12]提出的GDE-MDL算法在4 dB以后估計的準確率才達到100%。圖4明顯可見，即使在高信噪比下，AIC算法的估計準確率也只能達到80%～90%，不是漸進一致性估計。隨著信噪比的逐漸增大，GDE-AIC算法的估計準確率一直保持100%，比GDE算法更快穩定。由此可見，GDE-AIC算法估計性能明顯優于GDE算法、AIC算法及GDE-MDL算法。

從圖5中可以看出，在空間色噪聲條件下，信噪比在-20～-4 dB之間時，四種方法估計性能均不理想；信噪比提升到0 dB時，GDE-AIC算法的估計準確率已經達到100%，相較于其他三種算法，對信噪比要求更低。而GDE算法只有在信噪比較高情況下，才有很好的估計效果。AIC算法的非一致性估計在色噪聲條件下更加明顯，信噪比較高時，估計準確率也只有70%～80%。

對比圖4和圖5，可見GDE-AIC算法在不同噪聲中的信源數目估計對信噪比的要求都低于其他算法。

實驗2：使用的4個源信號與實驗1相同，接收傳感器數目變為7個和9個時，對混合信號分別加入高斯白噪聲和有色噪聲，混疊矩陣分別為：

混合信號如圖6和圖7所示。實驗結果如圖8—圖11所示。

圖6 混合信號(N=7)Fig.6 Mixed signals(N=7)

圖7 混合信號(N=9)Fig.7 Mixed signals(N=9)

圖8 白噪聲條件下的估計效果(N=7)Fig.8 Estimation effect of these methods under white noise condition(N=7)

圖9 白噪聲條件下的估計效果(N=9)Fig.9 Estimation effect of these methods under white noise condition(N=9)

圖10 色噪聲條件下的估計效果(N=7)Fig.10 Estimation effect of these methods under color noise condition(N=7)

圖11 色噪聲條件下的估計效果(N=9)Fig.11 Estimation effect of these methods under color noise condition(N=9)

該實驗的參數設置與實驗1相同，通過圖8、圖9、圖10及圖11效果圖的比較中可以看出，隨著接收傳感器數量的增多，GDE-AIC算法源數目估計的效果對信噪比的要求逐漸降低，無論在白噪聲還是色噪聲中，GDE-AIC算法估計準確率都是最高的，且在較低信噪比時也有很好的估計效果。

兩個實驗的仿真結果驗證了GDE-AIC算法的有效性，在白噪聲和空間色噪聲的情況下都有很好的源數估計性能，優于其他幾種算法，且所需信噪比相對較低。

4 結論

本文提出了基于蓋爾圓準則(GDE)和最小信息準則(AIC)的GDE-AIC信源數目估計算法。該算法將蓋爾圓準則下的似然函數引入最小信息準則的模型中，既結合了蓋爾圓準則適用于色噪聲情況的優點，也克服了最小信息準則非一致性估計的缺點，能夠更好地處理實際情況中低信噪比和有色噪聲條件下的源數估計問題，性能更加穩定。仿真實驗表明，GDE-AIC算法的估計效果要明顯優于GDE算法、AIC算法及GDE-MDL算法，在白噪聲和有色噪聲條件下均可用于信源數目估計。

本文算法有助于從混疊信號中準確估計出源信號數目，為接下來的盲源分離提供一定的先驗信息，促進盲源分離理論在盲信號處理領域中的有效應用。