基于一階差分修正指數曲線法的GPS衛星鐘差預報

于 燁，張慧君，李孝輝

(1.中國科學院國家授時中心，陜西 西安 710600;2.中國科學院精密導航定位與定時技術重點實驗室，陜西 西安 710600;3.中國科學院大學，北京 100049;4.中國科學院大學天文與空間科學學院，北京 100049)

0 引言

衛星導航系統中星載原子鐘的鐘差預報在滿足實時動態精密單點定位的需求和提供衛星自主導航所需的先驗信息方面具有重要意義[1-3]。

首先，在動態精密單點定位中，為了獲得高準確度的定位結果，需采用預報鐘差參數參與計算；其次，在衛星自主導航中，要求地面預報長期的鐘差作為先驗信息，以在沒有地面站支撐的條件下，導航衛星自主完成軌道確定和廣播星歷播發，所以提高衛星鐘差的預報精度一直是國內外衛星導航定位研究的熱點之一[4-9]。但是，由于星載原子鐘非常敏感，極易受到外界和自身因素的影響而很難掌握其復雜細致的變化規律。因此，建立精確的原子鐘運行模型非常困難，相應地準確預報衛星鐘差也非常困難。為此多種鐘差預報模型相繼發展，如:二次多項式模型(Quadratic Polynomial Model, QPM)、修正指數曲線法(Modified Exponential Curve Method, MECM)等[10-12]。這些方法分別適用于不同條件下導航衛星原子鐘鐘差的短期、中期和長期預報，但它們均有各自的適用范圍和局限性。例如：二次多項式模型它是以時間為變量，用歷史鐘差數據進行擬合確定各項系數，進而對鐘差作外推預報，其缺點是預報誤差會隨時間的推移而不斷地增加；修正指數曲線法模型可以使用較少的歷史鐘差數據進行建模預報，但是該模型要求鐘差數據呈指數變化規律限定了其使用范圍，且建模數據的復雜性對模型的預報性能有較大影響等[13-15]。針對二次多項式模型和修正指數曲線法模型在預報GPS衛星鐘差時精度的不足，本文提出基于一階差分修正指數曲線法的GPS衛星鐘差預報模型。

1 修正指數曲線法預報模型

修正指數曲線法預報模型描述的是在一段時間內按指數曲線增長，隨著時間的推移，增長趨勢會減緩[16]。設觀測序列為：y1,y2,…,yn，所對應的時刻為：t1,t2,…,tn。可建立修正指數曲線法模型如下：

y(t)=K+abt

(1)

式(1)中，這三個模型參數K,a,b均需要采用歷史數據來確定。修正指數曲線法鐘差預報模型建立過程主要有三個步驟：

1) 數據預處理。如果原始鐘差序列中存在異常數據，則需要采用拉格朗日插值法把缺失的鐘差數據補齊。

3) 利用已建好的修正指數曲線法預報模型進行鐘差預報。

2 一階差分修正指數曲線法的預報模型

由于同一顆GPS衛星的鐘差數據序列相鄰歷元的鐘差數據在數值上相差并不大，將其相鄰歷元的鐘差數據作一階差分處理，可以得到有效數字位數更少的一組鐘差差值數據序列。然后，基于一階差分的鐘差差值數據序列建立預報模型。這樣處理，可以降低建模時數據結構的復雜性，從而進一步提高了模型的預報性能。

設原始鐘差數據序列為：

Y(0)={y(0)(1),y(0)(2),…,y(0)(n)}

(2)

將其相鄰歷元的鐘差數據作一階差分處理，得到一組差值數據序列：

ΔY(1)={Δy(1)(1),Δy(1)(2),…Δy(1)(i)…,

Δy(1)(n-1)}

(3)

式(3)中：Δy(1)(i)=y(1)(i+1)-y(1)(i),i=1,2,…,n-1。

對以上得到的鐘差差值數據序列(3)，可以建立修正指數曲線模型如下：

Δy(1)(t)=K+abt

(4)

式(4)中，三個參數K,a,b均需要采用歷史鐘差數據來確定。由于這里的K值不能預先確定，則采用“三和法”來估計模型參數K,a,b。“三和法”參數估計的基本步驟可歸結為如下的過程：

把n個鐘差數據觀測值等分為三部分，每個部分有m個，即n=3m。具體劃分如下：

(5)

令每部分的趨勢值之和等于相應的觀測值之和。

(6)

式(6)中，Si(i=1,2,3)表示鐘差數據觀測值的各部分之和，且

(7)

由式(7)可得：

(8)

將式(8)代入式(3)，即可得到如下的預報模型：

(9)

利用該模型即可預報出未來任意時刻一階差分的差值鐘差數據序列。最后，通過將一階差分預報序列和相應的鐘差值對應疊加即可得到所求歷元的鐘差預報值。

設預報的鐘差序列長度為m，即可得到鐘差預報的最終表達式，如式(10)所示。具體的預報流程如圖1所示。

1≤i≤m;m,j∈N+

(10)

圖1 基于一階差分修正指數曲線法的衛星鐘差預報過程Fig.1 Satellite clock bias prediction process based on first-order difference modified exponential curve method

3 試驗與分析

3.1 數據來源

從IGS服務器(ftp://cddis.gsfc.nasa.gov)上

下載了2017年3月5日至6日共兩天的IGS精密鐘差數據，其采樣間隔為15 min。考慮到目前在軌的GPS衛星有30幾顆且我國北斗二代系統均搭載的是銣原子鐘，所以我們選3顆裝載銣原子鐘的衛星進行預報試驗。本算例隨機選取了1顆GPS Block IIF-M型衛星G17、1顆GPS Block IIF型衛星G03和1顆GPS Block IIR型衛星G16的鐘差數據進行預報試驗。

3.2 建模方案

1) 方案一：用10 h數據建模后預報

選用二次多項式模型(QPM)、修正指數曲線法(MECM)和基于一階差分修正指數曲線法(D-MECM)，用10 h的數據建模，分別對未來6 h、12 h、18 h和24 h的衛星鐘差進行預報。

2) 方案二：用12 h數據建模后預報

選用二次多項式模型(QPM)、修正指數曲線法(MECM)和基于一階差分修正指數曲線法(D-MECM)，用12 h的數據建模，分別對未來6 h、12 h、18 h和24 h的衛星鐘差進行預報。

3.3 預報結果與分析

采用方案一對G17號衛星鐘差數據進行建模及預報結果如圖2、圖3和表1所示。其中圖2分別為用10 h數據建立模型預報未來6 h、12 h、18 h和24 h鐘差數據的預報誤差變化圖，圖3分別為用12 h數據建立模型預報未來6 h、12 h、18 h和24 h鐘差數據的預報誤差變化圖。同理，采用方案一和方案二對G03、G16號衛星鐘差數據進行建模后預報結果如表1所示。限于篇幅，采用方案一、方案二對G03、G16號衛星鐘差數據進行建模后的預報誤差變化圖不再一一展示。

由于本試驗使用的是IGS服務器上公布的精密鐘差數據，其自身的誤差小于0.1 ns，故可以作為“真值”，使用均方根誤差(RMS)作為統計量，去檢驗二次多項式模型、修正指數曲線法預報模型和基于一階差分修正指數曲線法預報模型所預報結果的好壞程度。其數值結果見表1。

圖2 PRN17用10 h數據建模預報Fig.2 PRN17 prediction error of with 10 h data modeling

圖3 PRN17用12 h數據建模預報Fig.3 PRN17 prediction error of with 12 h data modeling

單位：ns

圖4 方案1和方案2鐘差平均預報精度比較Fig.4 Mean accuracy comparisons of clock bias prediction for scheme 1 and scheme 2

結合圖2—圖4和分析表1可知：

1) 采用小數據量建模對GPS衛星鐘差進行6 h預報時，二次多項式模型預報誤差的平均均方根為0.89 ns，修正指數曲線法模型預報誤差的平均均方根為1.75 ns，而基于一階差分修正指數曲線法模型預報誤差的平均均方根為0.52 ns。進行12 h預報時，二次多項式模型預報誤差的平均均方根為2.18 ns，修正指數曲線法模型預報誤差的平均均方根為4.25 ns，而基于一階差分修正指數曲線法模型預報誤差的平均均方根為0.67 ns。進行18 h預報時，二次多項式模型預報誤差的平均均方根為4.00 ns，修正指數曲線法模型預報誤差的平均均方根為7.56 ns，而基于一階差分修正指數曲線法模型預報誤差的平均均方根為0.85 ns。進行24 h預報時，二次多項式模型預報誤差的平均均方根為6.58 ns，修正指數曲線法模型預報誤差的平均均方根為11.91 ns，而基于一階差分修正指數曲線法模型預報誤差的平均均方根為0.95 ns。

2) 采用中等數據量建模對GPS衛星鐘差進行6 h預報時，二次多項式模型預報誤差的平均均方根為1.01 ns，修正指數曲線法模型預報誤差的平均均方根為0.87 ns，而基于一階差分修正指數曲線法模型預報誤差的平均均方根為0.53 ns。進行12 h預報時，二次多項式模型預報誤差的平均均方根為2.08 ns，修正指數曲線法模型預報誤差的平均均方根為1.77 ns，而基于一階差分修正指數曲線法模型預報誤差的平均均方根為0.70 ns。進行18 h預報時，二次多項式模型預報誤差的平均均方根為3.79 ns，修正指數曲線法模型預報誤差的平均均方根為3.19 ns，而基于一階差分修正指數曲線法模型預報誤差的平均均方根為0.78 ns。進行24 h預報時，二次多項式模型預報誤差的平均均方根為5.96 ns，修正指數曲線法模型預報誤差的平均均方根為5.00 ns，而基于一階差分修正指數曲線法模型預報誤差的平均均方根為0.93 ns。

3) 建模所采用的數據量對二次多項式模型的預報性能有一定影響，建模所采用的數據量越大，二次多項式模型的預報性能有一定提升。建模所采用的數據量對修正指數曲線法模型的預報效果有較大影響，建模所采用的數據量越大，修正指數曲線法的預報效果得到顯著提升。而建模所采用的數據量對基于一階差分修正指數曲線法模型的預報效果影響較小，當增加一定量的建模數據時，基于一階差分修正指數曲線法模型的預報性能變化很小，依然能夠進行高精度的中短期預報。

4 結論

本文提出了基于一階差分修正指數曲線法的衛星鐘差預報模型。該模型先對原始鐘差數據序列相鄰歷元作一階差分處理后，以得到有效數字位數更少的一組鐘差差值數據序列；然后，基于一階差分的鐘差差值數據序列建立了GPS衛星鐘差預報模型。這樣處理可以降低建模時數據結構的復雜性，從而進一步提高了模型的預報性能。經試驗結果與分析表明，該模型較二次多項式預報模型和修正指數曲線法預報模型的預報效果較好，中短期的預報精度均在1 ns以內且只需要采用較少的鐘差數據進行建模即可達到高精度的中短期預報，為GPS衛星高精度的中短期預報提供了一種新的思路。但該模型仍然沒有克服誤差累積的現象，所以還需要進一步研究如何實現長期高精度的衛星鐘差預報。