初中生數學解題逆向思維的培養

陳曉藝

摘 要：作為創造型人才必須具備的基本能力之一，逆向思維能力是進行思維訓練的載體，加強思維從正向轉向逆向的培養，能夠有效地提高學生的創新意識和思維能力，同時逆向思維思維在數學中作為一種重要的解題思想，一般在公式、定理、定義都會有體現，逆向思維是學生解題的新思路，從改變傳統的思維出發，通過另一個角度解決問題，使問題大大的簡化，加強學生逆向思維能將學生的學習效率、解題效率進一步提高，所以逆向思維是數學思維中必不可缺少的一部分。本文主要論述從逆向思維方面如何培養學生的能力，以及如何運用逆向思維分析數學教學中的問題。

關鍵詞：逆向思維；數學；培養；應用

敢于“反其道而行之”，讓思維從相反的方向發展，當我們遇到問題時，從其對立面去探索，有不同的思路，尋找新的方法。當每個人都在往同一方向思考，而你卻在相反的方向思考時，這樣的思維方式便叫逆向思維。人們習慣于在事物積極向上的方向上去思考問題和尋找解決辦法。事實上，對于一些問題，尤其是一些特殊的時候或者是復雜的問題，從結果中反推回去，然后依次思考問題，從結果回到原來的條件，向后反推尋找答案，結果或者會比你原來的更加簡便。

1.逆向思維定義

1.1正向思維與逆向思維區別

逆向思維是數學中的一種常規思維，是數學中不可缺少的一種的重要的思維方式逆思維和正向思維最大區別就在于一個“反”，所謂的求異思維，就是對常規的，常見的固定定論的事物或觀點、想法倒過來思考的一種思維方式。從思維的反面的看待問題，從新的角度看待問題，樹立新的思想，從固定思維的反面思考，這樣就是逆向思維。

數學教學中，對正向思維訓練和能力的培養是經常的、大量的，也是必要的，但容易成“思維定式”，可見對逆向思維的訓練、能力的培養，顯然不可忽視。有些數學問題，特別是一些特殊問題，從結論入手，逆向思考，將求解反推驗證已知條件，反過去會把問題簡單化，就會使問題簡單化，是問題易得到解。逆向思維是一種發散的思維，逆向思維是思想上的一種創新，與正向思維相輔相成，缺一不可，都應該學習。

在一般的數學教材中，使用逆向思維來處理的內容不算多的，學生逆向思維的能力很差使得遇到了問題時不會靈活處理。他們的思維活動長期以來一直處于積極的正向思維活動之中，所以在給出一個數學問題以后，他們總是試圖通過積極的正向思維來解決問題。然而，在這樣的情況下有很多沒得數學問題是難以解決的。如果能換一種思維方式，就會使問題很容易得到解決，甚至還能得出一些新的解題方法。由此可見，在數學學習的過程中，教師應該注意培養學生的逆向思維能力，使學生能夠更加靈活地去解決遇到的數學問題。

1.2在生活中體現逆向思維的優越性

在提倡素質教育的今天，培養逆向思維能力對于提高學生的思維能力、培養高素質的人才也非常重要，這種思維方式對生活上也會有很大的幫助。例如我從所周知司馬光砸缸的故意，就是生活中一個大家所熟知的例子。在我們生活的每一個角落，我們都可以看到逆向思維的應用價值與好處。在傳統的思維方式中，我們都應該有一些逆向思維方式。要認真思考事物的本質特征，適當運用逆向思維進行觀察，培養自己多元化的思維能力。

2.逆向思維的培養

2.1影響學生思維定勢的原因

無論是在小學還是在高中，逆向思維都是我們學生應該掌握的一種思想與方法。大多數的學生不知道何時將其轉化為逆向思維，它是從單向聯想作用的一個方面轉化為雙向聯想作用的兩個方面。這樣的轉化有一定的難度，一種思維在其逆向思維的過程中不一定要重復原來的方式，所以正向不能代替逆向來訓練，這還需要我們從某些特定方面多做引導。

大多數的教師以“建立定理——證明定理——應用定理”三部曲或采用傳統的“類型+方法”的教學模式，忽視了逆向思維的訓練與培養，導致學生不能快速而準確地將正向思維轉向逆向思維來簡化作題的步驟，這樣使得學生往往形成了一種思維定勢，無法進行有效的逆向思維。

2.2如何在教學中培養學生的逆向思維

逆向思維的特點有雙向性和可逆性，逆向思考是人們思想進步的一種體現，它人類進步的一種的體現，與自己習慣恰恰相反。

從數學的角度看，我們應該調整心理過程的方向，從對稱關系、正向與反向運算、正反向定理、概念、應用公式、規則、綜合分析方法，還原證據方法等正向思維中建立逆向思維。初中生（尤其初一）在思維發展中的表達水平是不同的，首先只能是單向的，沒有對立的思維，然后逐漸形成思維的可逆性和重復性。教學能力較強的學生往往在推理過程中表現出自如的可逆思維能力。而對于能力差的學生來說，要形成這種可逆的思維推理過程是非常困難的。

2.2.1初中、高中階段

（1）從數學最基礎中定義、概念中運用

數學概念的學習對學生來說很難理解。如果教師在開始教學時，只注重對一個方面的教學理念，那么學生在今后的實際應用中也會只單一的從這一方面進行思考。沒有對概念內容的完整把握，學生就容易導致理解的偏差，從而影響數學的學習。這就要求教師既要注意數學概念教學的正向思維，也要注意數學概念教學的逆向思維，使學生不僅能理解數學概念的正面形式，又能理解數學概念的反面形式。作為一個數學定義命題，它的逆命題總是成立的。學生在學習新概念時，如果能從兩個方面理解和運用新概念的定義，不僅可以加深對新概念的理解，而且可以培養學生對新概念的雙向思考能力。

正確理解數學概念，熟練運用算術法則，單靠正向的思考時無法解決的。在教學中，要通過逆向思維的時間來深化對數學知識的認識。

例如①：的絕對值（），的絕對值（）。（正向思維）

②：一個的絕對值是，這樣的數有（）是（）。（逆向思維）

（2）定理、公式的逆運用

同數學概念的教學一樣，老師在教學過程中對數學公式、定理也要應有意識地引導和培養學生逆向思維的意識和習慣，幫助學生不僅能想到正向思維，也要在如何時候都做到正、逆雙向思維轉化，克服長期思維習慣導致的一成不變的思維，從而提高學生的多面數學思維的能力。

例如：化簡：

解：原式=

此題的解法在于巧妙的利用平方差公式：的變型。

運用運算與變換的可逆性培養逆向思維

數學中的各種變換與運算是正逆交替的，如映射與逆映射、函數與反函數、指數函數與對數函數等，它們都可以通過公式相互進行轉化。

逆向思維能力在法則教學的運用

在遇到計算題或證明題時，經常需要將公式或法則的變形后再運用各種運算法則來把問題換算，如分裂項變形、加減項變形、乘除項變形等。

逆用公式加減法的運算定法則

∴易得出原式=1

從等與不等中相互轉化中進行逆向思維培養

“相等”與“不相等”在某種情況下，它們可以相互轉化，這種轉化能使許難題得以化解。

例 設為自然數，已知，，求的最大值。

分析：一個一個這樣湊顯然是不現實的，若把132 與5個變量聯系起來，根據5個變量的大小關系，可以考慮把相等轉化成不等。

解：

數學教學中的教師應該根據實際情況提出問題。在強調傳統數學思維的同時，還應注意逆向思維的解釋，這對于培養和增強學生的數學思維能力，特別是學生思維的靈活性，提高學生解決實際問題的能力和創新能力，具有更為重要的意義，這將進一步提高學生的逆向思維能力。

（3）逆向思維中學中的應用

例2：已知正數 a、b、c 成等差數列，求證：a2-bc、b2-ac、c2-ab 也是成等差數列。

分析：要證明原結論正確，只需證，即證明 。又2b=a+c，所以上式成立，于是原結論成立。

總之，數學逆向思維能力的培養取決于教師長期不懈的努力。引導學生從多方面、多角度地思考問題，跳出封閉的思維狀態，培養學生寬廣、靈活、有目的、創造性的思維，不斷地從數學教學中引導學生是一個積累的過程，不是一朝一夕能實踐，要從小就開始逐漸培養。

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