高中數學概念教學策略再探究

梁英瓊

[摘 要]數學概念是高中數學的重要組成部分，是學生學好數學的前提.研究數學概念教學策略具有實際意義.

[關鍵詞]高中數學；概念教學；策略

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）14-0015-02

新課標指出：數學不僅要教給學生數學知識，而且還要揭示獲取知識的思維過程.在數學概念教學中，除了使學生掌握必要的基礎知識和基本技能外，還要注重培養學生的思維能力.要實現這一目的，就必須更新觀念，變結果教學為過程教學，在數學教學過程中要充分展示思維活動的過程，展現知識的產生和演化過程，使課堂教學成為真正數學活動的教學.

一、 數學概念教學中應重視概念的形成過程

學生正確理解概念是掌握知識的關鍵，是進行判斷、推理的前提.只有概念明確，才能判斷準確，才能推理有據；只有深刻理解概念，才能提高學生的解題能力.在課堂上，教師要結合學生已知的認知結構，從學生接觸過的具體內容引入，運用實物、模型、圖案、錄像、動畫等向學生提供必要的感性材料，在引導學生觀察的同時，啟發學生獨立思考，使學生在感性認知的基礎上上升為理性認知，形成數學概念.這樣，在概念的發生和發展過程中，讓學生看到思維的過程.通過分析、綜合、比較、抽象，學生就可以自己歸納出概念的本質屬性，從而激發學生學習數學的興趣，培養學生的思維能力.

在函數概念的教學中，我們應站在歷史發展的角度來看待函數概念的教學.德國數學家萊布尼茨（Leibniz，1646-1716）用[x]（自變量）去對應[y=xn]（因變量）.即通過等式[y=xn]給出了對應關系[x→xn]（這并沒有逃脫早期的函數定義）.法國數學家柯西（Cauchy，1789-1857）在總結前人對具體的對應關系的研究的基礎上，抓住了對應關系的本質——“對于[x]的每一個值，都有唯一確定的[y]值與之對應”.

初中教材中函數的定義：設在一個變化的過程中有兩個變量[x]與[y]，如果對于[x]的每一個值，[y]都有唯一確定的值與它對應，那么我們就說[y]是[x]的函數，[x]叫作自變量.“[x]的每一個值，[y]都有唯一確定的值與它對應”仍然是一種模糊的表述，它掩蓋了[y]的“生成過程.”當我們引入符號“[f（ ）]”來抽象地表達運算“[（ ）2+（ ）+1]”時，對應關系的產生過程就很清晰了.這種符號向我們展示了深層次的函數本質特征.其實，函數就是一種對應，只不過是一種特殊的對應，特殊在：①A、B是非空數集；②數集A中的任意一個數[x]，通過對應關系“[f] ”在集合B中都有唯一確定的數[y]與之對應.

[f（x）]表示的是對應法則“[f（ ）]”在作用[x]；[f（x）]中的[x]應該是在[x]的取值范圍A中，只有當[x]在函數的定義域中時，符號[f（x）]才有意義，即[f（x）]的[x]必在定義域中（這是一個十分重要的蘊含關系）.

二、數學概念教學中要重視變式的應用

概念的變式教學，使學生進一步深入透徹地理解概念，辨別概念各要素間的聯系，并能運用概念進行解題，也能使學生簡縮解題過程，從而提高學生思維的敏捷性.

【例1】 已知△ABC的邊長BC的長為8，周長為18，求頂點A的軌跡方程.

變式1：已知橢圓的方程為 [x225+y29=1]，點P為橢圓任意一點，點P到一個焦點的距離為3，則點P到另一個焦點的距離為多少？

變式2：已知橢圓的方程為 [x225+y29=1]，[F1，F2]分別為橢圓的兩個焦點， CD為過[F1]的弦，且[∠CF1F2=θ，（0<θ<π）]，則[△F2CD]的周長為多少？

變式3：若將“周長為18”改為“[b，a，c]三邊成等差數列”，求頂點A的軌跡方程.

變式4：若將“周長為18”改為“[sinB+sinC=2sinA]”，求頂點A的軌跡方程.

變式5：若將已知改為“△ABC的邊長BC的長為8，要使點A的軌跡為橢圓可添加什么條件？”

在概念教學中，要從感性認識開始，使學生對概念表象再上升到理性認識，并在“理解”與“使用”的多次反復中深刻理解概念.

三、教材例題教學中要重視分析、探索過程

在教學過程中，教師應注意創設問題情境，從具體實例出發，展現數學知識的發生、發展過程，使學生能夠從中體驗發現問題、解決問題的思維過程，也能使學生經歷數學的發現和創造過程，從而了解知識的來龍去脈.

【例2】 已知[f（x）=3x]，求證：

（1）[f（x）f（y）=f（x+y）]；

（2）[f（x）÷f（y）=f（x-y）]是否有[f（x）f（y）=f（x+y）][?][f（x）÷f（y）=f（x-y）]？

教學中教師可以引導學生思考：是否只有[2x]，[3x]滿足關系[f（x）f（y）=f（x+y）]呢？

【例3】 已知定義域為[R]的函數[f（x）]滿足[f（x）f（y）=f（x+y）]，且存在[x=c]使[f（c）≠0]，求函數[f（x）].

通過賦值法，我們可以證明[f（nx）=[f（x）]n][?][f1n=[f（1）]1n][?][fmn=[f（1）]mn]，從而得出一般結論.

結論1：當[x]為正有理數時，[f（x）=ax（a>0]且[a≠1）].又由[f（0）=a0=1]，[f（x）=ax]也成立.

結論2：當[x]為負有理數時，[f（x）=ax（a>0]且[a≠1）].

結論3：已知定義域為[R]的連續單調函數[f（x）]滿足[f（x）f（y）=f（x+y）]，且存在[x=c]使[f（c）≠0]，則[f（x）=ax（a>0]且[a≠1）]，[x∈R].

我們可以通過此例引導學生完成高中階段對抽象函數關系的所有討論.

好的數學教學不能僅僅局限于教學生解題，應該讓學生通過解題，明白一些原理，學會從數學的角度思考問題，這是對數學本質的領悟.一節優秀的數學課，猶如一段美妙的旋律，給人一種神奇的、美的體驗.高中數學教學應該呈現數學的本質，跳出題海，回歸本源，切實提高學生的數學素養，實現“知識與技能，過程、方法與解決問題的能力以及學生的情感、態度與價值觀”的和諧發展.

（責任編輯 黃桂堅）