高中數學運算能力培養路徑探索

林傳利

（連江第一中學，福建 福州350500）

一、識記定理公式，夯實運算基礎

與初中數學相比，高中數學概念多抽象性強，公式和定理多，且運算量與思維量大，面對公式如何能更好的識記并應用，如何更好要熟練掌握公式的變形和逆用。在新課講授時，盡可能創設情景產生知識沖突，急需引入新的公式和定理，方可解決所遇問題。通過具體典例不斷鞏固，加強辨析，強化記憶，才能熟能生巧，信手拈來。教學時師生對知識產生過程進行共同推導和總結，通過類比，抓住特征，從而不斷夯實基礎，真正做到根深葉茂。

在利用導數知識來研究切線、函數單調性、極值、最值等問題時，學生對解決問題的基本思路是清晰的，先考慮函數定義域再求函數的導函數，由導函數的正負值來判斷函數的單調性，進而求函數的極值、最值。但在解題過程中最關鍵地是正確求出導函數，而求導函數有八個公式四個運算法則，往往還要涉及復合函數的求導問題，這都會給學生造成一定的障礙。

教師要注重每次考試或練習中學生出現問題的講評，師生共同分析是什么原因造成的，學生的失分點就是教學的關注點、重點。有些問題雖已強調多次，學生上課似乎也聽懂了，但在考試中還是暴露出基礎不扎實，對題中易錯點不能很好掌握。例如已知函數f(x)=2ax-ln(2x),x∈(0,e],a∈R，當a=1時，求f(x)的單調區間和極值。此題是常規問題難度不大，學生能很好形成解題思路，但有一部分學生不能正確求出導函數，主要是沒有把1n(2x)看成復合函數而當作初等函數求導，從而得到導致一步算錯步步錯，非常地可惜。所以教學中不能僅僅停留在“同學們，要好好算”這樣正確的廢話上，而是精心挑選典型例題，盡可能為學生設置一些易錯點，讓學生自已去闖、去體驗，然后總結經驗與教訓，吃一塹長一智，爭取不犯類似錯誤。

二、選擇合理算法，優化運算過程

在解答選擇、填空題時要根據題目所給條件選擇不同的方法，盡量多思少算，提高解題速度，節約一定的解題時間。教學中要訓練學生可以從多角度、多方位去尋找解決問題的方法，可選用排除法、特例法、驗證法、估算法、數形結合法等方法。［1］解答時認真審題，充分挖掘題目中隱含條件，利用已知條件與性質，減少不必要的運算。拓寬解題思路，通過比對，不斷提煉，引導學生總結解題規律，形成技能。在平常教學或課外練習，要精心選擇典型例子，巧用一題多解滲透數學運算核心素養。

在解決數學問題中，常遇到學生運算方向不合理，運算對象不清晰。如何提高運算的合理性，是教學中應關注的一個難點，如果運算方向正確，選擇合適方法可提高解題的正確率，還大大提高解題效率。下面是一道單元測試的填空題講解的課堂實錄。

如圖，在楊輝三角形中，斜線l的上方從1按箭頭方向可以構成一個“鋸齒形”的數形{an}。1，3，3，4，6，5，10，…記其前n項和為Sn。則S21的值是____？

學生1：拿到題目，通過觀察發現，該數列可分成求奇數項和與偶數項和，然后再將兩個結果加起來。奇數項構成的新數列為1，3，6，10…66，偶數項構成數列是3，4，5，6，…12，而奇數項后一項減前一項是一個等差數列，偶數項是以3為首項，以1為公差的等差數列。從而可以將奇數項所有項寫出來并求得286，而偶數項的和為75，所以S21=361。

師：如果本題改為求前41項之和？那奇數項又是多少？

學生2：設奇數項構成新數列記為{bn}，則b2-b1=2，b3-b2=3，b4-b3=4，…，bn-bn-1=n由累加法得數列{bn}的通項再利用分組求和辦法可得286，偶數項和為75。若求前41項之和思路一樣。

師：這給大家提供一種求此類問題的一般性方法，很棒！

學生3：上面方法運算過程相對有點復雜，若將所有項一一寫出來有難度，方法二用分組求和后的求解過程也不易。本題可以利用二項式系數性質來求解……

在解題教學中，引導學生解后反思，不能滿足于解出答案，要搞清命題意圖，想考查什么，是否還有更簡捷的方法，蘊含什么算理、算法。講解時不能只感動教師自已，讓學生感到教師方法的妙，而要從不同角度進行分析，抓住問題本質，拓寬解題視野，不斷優化運算過程。

三、重視變式訓練，提升運算思維

教學中要重視教材中例題與習題，這些題目是編寫者為配合基本知識精心挑選的，具有很強的代表性和導向性。教學時要注重對題目進行挖掘，最簡單地就把條件與結論進行對調，或者改變條件范圍。當然如何進行改編、嫁接、加工，需要教師平時勤閱讀，多積累，隨時記錄，善于總結并實現知識遷移。在學習“楊輝三角”與二項式系數的性質時，教材先用賦值法令x=1從而得出展開式中奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和。為進一步加深理解二項式系數之和與項的系數之和等相關知識，通過下列變式進行訓練。

本題關鍵是弄清所求是哪些項的系數，利用賦值法來求解相對較為容易。第一問是求常數項系數，與x無關令x=0得到a0=2100；第二問求得是所有項的系數的和，令x=1就可得到；第三問通過觀察，可由奇次項的系數和為同理可求偶次項的系數和為所賦的值應根據所求展開式的系數和的特征來確定，有了前面的鋪墊教學，學生還是能較好地掌握好。

本題要求系數最大的項關鍵是先要求出n的值，然后利二項展開式的通項公式來求。實際上是如何求出由通項公式可知所有奇數項的系數為正，所有偶數項的系數為負，加了絕對值之后就是展開式的所有系數之和2n，故由2n=128得n=7。題目再改為展開式中偶數項二項式系數的和比(a+b)n展開式的各項系數和大112？利用偶數項二項式系數的和是所有二項式系數和的一半，可列式22n-1=2n+112從而解出n=4，其他問題就迎刃而解了。

變式3：已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+ …+a7x7，求代數式+2a1a3+…+7a1a7的值。

學生看到題目會想到提取a1得到a1(a1+2a2+3a3+…+7a7)，但又不能直接利用賦值法來求a1，有學生提出利用通項公式先求出a1，分別求出a2,a3,…,a7，想到計算量太大就放棄了。進一步引導學生觀察所求式子結構特征，引導學生思考這個式子怎樣才能得到，聯想到冪函數求導公式，將等式兩邊分別求導可得7×(-2)×(-2x)6+a1+2a2x+3a3x2+… +7a7x6，令x=0得a1=-14，令x=1得a1+2a+3a3+…+7a7=-14從而求得代數式為196。

通過上面幾個變式訓練，讓學生進一步認識到求二項展開式系數的問題時，本質上都采用賦值法和二項式系數和公式來解決相關問題。教學中要充分考慮學生思維漸變過程，不宜操之過急應適時減慢教學速率。變式訓練由易到難，先簡單的模仿，不斷加強題目限制條件，引導學生思考進行思想碰撞，真正內化所學內容。

數學運算是學好數學的基礎，是分析、解決數學問題一項基本技能。［2］在日常教學中教師要有意識多引導，通過多種形式進行訓練，讓學生多思、多想、多算，加大動手演算能力，逐步培養學生恒心、耐心和毅力等品質。而數學運算能力的提升是一個循序漸進的過程，需要長期訓練，日積月累，做教與學的有心人。