數學思維美的特征分析與教學思考

王福忠

（福州第四中學，福建 福州 350009）

所謂數學美感，主要是指因領悟到某種數學對象的內在實質而產生的愉悅感、滿足感等。相應地，能使人產生這種美感的數學對象就稱其具有數學美。［1］數學外在的形式能給人美感，如簡單、對稱、和諧、奇異，這些都是數學外在形式美的存在。數學思維的過程也能給人愉悅和滿足感，這種數學思維活動給人的美就是思維之美，是一種數學的內在美。數學工作者通過數學思維活動，應用思維策略和已有數學理論，解決數學問題，得到新的數學理論，用數學語言表達思維結果，這是一個發現和創造的過程。數學的美好體驗是伴隨思維活動過程而產生的。

一、引發美感的數學思維活動的特點

在數學思維活動有時能給人帶來美感，有時則不能給人帶來美感。數學思維活動中思維美感產生往往是以對思維過程的認知為基礎，在思維活動中或對思維過程的反思中產生。所以，能引發美感的數學思維活動具有一定的特點。

1.創造性

數學審美是一個實踐的過程，數學家能深刻地感受到數學美，不僅是因為自然宇宙存在著美，更重要的是因為數學家創造心理中存在著靈感、頓悟、自由的心境和深邃的思想。［2］數學思維美體現了數學家的思想創造，它突破常規，或者突破原有思想，產生了認識和解決問題的新思想。如高斯計算“1+2+...+100”的和，按照常規的想法，是按從左到右的運算法則，兩個數相加，加99次得到結果。而高斯突破常規，找到其中的規律，很快得到計算結果。這種突破常規的思維自然會給人美感體驗。

2.發散性

發散思維是創造思維的主要成分，其主要特點表現在求異、奇特、想象豐富和不尋常規。徐利治先生給出這樣一個公式：創造力=知識+發散思維能力。［3］發散思維意味著多角度聯想，多方向嘗試，多維度思考，發散思維能夠揭示數學內部的奇妙聯系，從而給人美感。如正弦定理的推導過程，可以用三角形法、輔助圓法、向量法等不同方法進行推導，三種方法體現了構建邊角關系的三種不同路徑。第一種方法通過作垂線轉化為直角三角形，利用邊相等構造等量關系；第二種方法，利用輔助圓構造直角三角形，通過直徑相等構造等量關系；第三種方法通過向量和的三角形運算法則與向量數量積運算構造了一個等量關系。在思維發散中，學習者能體驗到多彩多姿的創造思維的火花，產生愉悅感和滿足感。

3.邏輯性

數學是一個有序的統一的整體，數學思維活動是按照某種邏輯進行的有序活動。著名數學家龐加萊曾就一個解答、一個證明之所以優美的原因簡單地概括為一句話，那就是井然有序、統一協調。［4］合乎邏輯的有序的思維能給人美感。合乎認識邏輯的符號應用能給人美感，如用i表示虛數單位。解決數列求和問題本質在于分析項的結構，以實現和式的化簡為目標，在這個思維統領下，所有的求和問題都納入一個統一的整體。解決數列求和問題能給人美感，源于一般思考方法引導下思維具有的邏輯性。數學思想方法的應用能給人帶來美感，因為數學思想方法強化了問題分析的邏輯性。

二、關于教學中引導學生感受數學思維美的問題思考

1.讓學生經歷發現與創造過程

心理學家告訴我們:在人的心理深處，都有一種根深蒂固的需求，那就是希望自己有朝一日成為一個發現者或探索者。［5］教師要努力創設和選擇有利于思維創造性發揮的問題，引導學生獨立思考，互相交流，留給學生足夠的時間和思考的空間，讓學生自己發現規律，尋找到解決問題的方法，享受發現和創造的喜悅，從中體驗創造之美。如，在已知橢圓與直線相交弦的中點坐標求直線的斜率問題中，常規的思考是設直線方程，聯立直線與橢圓的方程，利用中點坐標建立關于斜率的方程求斜率。這種常規的思維不能給學生帶來解決問題的喜悅感。在學生完成這個常規的解答后，教師可以引導學生，還有什么解法？進一步引導學生提出問題，斜率與中點有怎樣的關系？留出足夠時間讓學生自己去發現，當學生發現利用點代入橢圓方程，兩方程相減，進而得到中點與斜率的內在關系時，喜悅感油然而生。

2.培養學生發散思維的習慣

在解題教學中，選擇方法多樣的數學問題，讓學生能夠有多種選擇，引導學生經歷從多個角度去分析問題，通過解題后的比較取得問題的最優解答的過程。引導學生解答問題時不滿足于得到數學問題的答案，要在解題后的反思中進一步認識問題的結構，做好解題后的分析，在思維的發散點嘗試新的解題思路。在發散思考中，讓學生經歷從解題念頭產生，到付諸實施，到解決問題，豐富思維經驗，增強思維的韌性，樹立克服困難的自信，進而獲得思維美的體驗。

例：函數f(x)=aex-1-1-exln(x-1)存在零點x0，且x0＞ 1，則a的取值范圍是（ ）。

分析：零點可以看成函數圖象與軸的交點的橫坐標，也可以看成兩個函數圖象的交點的橫坐標。

解 法 1：由 aex-1-1-exln(x+1)=0，得 aex-1=exln(x+1)+1，

結合圖象得a＞eln2+1.

解法 2：由aex-1-1-exln(x+1)=0，得 ln(x+1)結合圖象得a＞eln2+1學生在分析問題時比較自然會考慮參變分離，通過研究函數性質與圖象得到結果。教師應引導學生進一步探究，得到解法2。教師還可以利用幾何作圖軟件作出的圖象和h(x)=ln(x+1)的圖象，讓學生觀察到一個圖象是定的，另一個圖象是動的，從而體會構造函數的方法。

3.幫助學生理解思維邏輯

數學內部是一個有序的結構，數學思維的過程必然遵循一定的邏輯關系與推理方法。幫助學生理解數學發現、問題解決的邏輯，有助于學生順利建構知識，習得解決問題的方法，提高解決問題的能力，從而獲得正向的情感體驗，形成積極的價值判斷。

教學中加入必要的歷史知識能幫助學生理解知識形成的內在邏輯。虛數單位為什么用字母表示，如果不向學生解釋，當然學生也能記住并使用。但是，如果從讓學生體驗數學美，更好理解數學出發進行教學，就必須要簡單介紹相關歷史背景。我們知道，人們認為虛數是想象出來的數，在英語里翻譯為Imaginary，取這個英語單詞的首字母，就有了用來表示虛數單位。這樣的教學就讓學生理解了符號表示的內在思維邏輯，稍加反思，思維美油然而生。

數學思維的結果在表達上常常不能反映思考的全過程，也不能反映思考的先后順序。比如，函數問題中參數的討論，對參數的分類，在結果表達中，雖然是先寫參數的不同取值，然后再討論在不同取值下的結果，但是思維過程剛好是反的。在教學中，要注意還原思考過程的本來面目，揭示結果的來龍去脈，促進學生的理解。