高中數學教師解題的思維固化及其對策
——一道教師技能大賽試題引發的思考

廖金祥傅 磊 王成焱

（1.廈門第二中學，福建 廈門 361009；2.廈門雙十中學，福建 廈門 361009）

2018年5月13日,廈門市舉行了教師技能大賽,其中高中數學組有一項目是“解題析題”。各個學校的優秀選手參加了該項比賽,并在比賽中展示了個人風采，從不同的角度提供了豐富的解法。這次比賽在新課程、新課標、新高考的“三新”背景下舉行，參賽的教師在解題能力和析題能力上得到了很好的鍛煉，提升了教師自身的數學核心素養，也有利于促進教師培養學生的數學核心素養。

一、教師技能賽試題呈現

等邊三角形ABC的邊長為1，點P在ΔABC外接圓的劣弧AB上，求SΔPAB+SΔPBC的最大值。

本題是最值問題，常用的解題工具有導數、三角有界性、不等式等；相關的基礎知識是函數、三角和解析幾何等；基本思想方法是數形結合、函數與方程思想、化歸與轉化思想等。

二、選手主要方法

（1）三角函數法

由于點P的運動，才導致面積和的變化，在圓中點P的運動可以轉化為角的變化，進而將面積最大值的問題轉化為三角函數最大值的問題。

（2）解析幾何法

通過建立平面直角坐標系，將面積和最大的幾何問題轉化為代數問題（圖1）。以線段AB所在直線為x軸，線段AB中垂線為y軸建立如

圖所示的平面直角坐標系，可得

圖1

設P(x0,y0)，由題可知

則d1=-y0，可求得直線BC方程為因為點P(x0,y0)和原點(0,0)在直線的同一側，由所以

要求 SΔPAB+SΔPBC的最大值，只要求 t= 3 x+3y的最小值。t= 3 x+3y可化為

（3）不等式法

在三角形PAB中，有AB=1，∠APB=120°，由余弦

定理可得+x2+y2+xy=1即

三、問題與思考

（一）參賽教師解題和答辯存在的問題

計算失誤。如用三角法求最值時，設∠PAC=θ，將邊PA所對的角看成了120°-θ，恰好算出來PA=與正確答案θ)一致，歪打正著。試想解題當中，教師都能出現這種問題，那么在教學中，如何提醒學生規避此類不必要的錯誤？

分析題目思路高度不夠。多數教師只想到了一種方法求解，在思路拓展的時候只有少數教師能想到兩種方法，對題目的本質沒有把握到位，只停留在問題的表層，教師如此，教學如何指導學生一題多解，甚至多題一解呢？

數學核心素養點撥較少。教師分析題目的時候，重難點都能有效突破，基本方法以及數學思想也有涉及，但是涉及數學學科的核心素養談得較少，也就是站的角度還不夠高，對于學生日后的學科素養培養以及調動他們主動應用數學解決問題的能力不足。

（二）初、高中知識銜接存在的問題

參賽的教師都是高中教師，要么三角法，要么解析法，沒有選手用初中的平面幾何法，在賽后的分析討論中，才有教師提出平面幾何法：

在求SΔPAB+SΔPBC最大值時，由圖形發現兩個三角形有重疊部分，可以考慮用割補法將兩個三角形拼在一起。（圖2、圖3、圖4）BC所成的角相等，均為60°。所以當 PP′為外接圓直徑，即的 時 候 ，S四邊形PBP′C最 大 為即 S+

圖2

圖3

圖4

ΔPAB

SΔPBC最大值為解答如下：

法一：設點O為三角形ABC外接圓圓心，連接BO，作點P關于直線BO的對稱點P′，根據圓的對稱性可知 點 P′一 定 在 圓 周 上 ，連 接 CP′，BP′，顯 然ΔBCP′? ΔBAP（也可以在劣弧 BC上取一點P′，使得BP′=BP，也可以證明ΔBCP′?ΔBAP）。此時 SΔPAB+SΔPBC=SΔP′CB+SΔPBC=S四邊形PBP′C，可以證明 AC//PP′。在四邊形PBP′C中，對角線PP′和BC所成的角與AC和

導致這一問題的原因主要是教師慣性思維，教學方法固化。

（三）教師解題能力對學生數學核心素養培養的影響

提高學生數學核心素養，首先要提升教師的數學核心素養。數學教師除了需要數學概念、法則等命題性知識，“知道怎樣做”的實踐性知識比“知道是什么”的命題性知識更重要，［1］問題解決是數學教學的核心。［2］教師的解題能力對學生解題能力的影響是正相關的，教師解題的模式化，也會束縛學生的思維，教師的計算能力也直接關系學生的計算速度和質量。學生的學科核心素養的培養在于教師的引導，只有教師的學科核心素養達到一定的高度，注重平時課堂的滲透，才能讓學生的核心素養真正得到提升。這道教師技能大賽試題，將問題語言轉化為圖形語言，通過觀察分析，最終通過引入角度或者建立直角坐標系，建立三角模型，利用解三角形和三角恒等變化，最終利用三角函數的有界性求出最值，里面包含了直觀想象、邏輯推理、數學建模以及數學運算的核心素養。這種包括解題、析題的比賽，能讓教師在平時的解題以及上課中，會多花時間去挖掘題目中所蘊含的基本知識、基本方法以及核心素養，對于提升教師的素養有很大的促進作用，對于培養學生的核心素養也有積極意義。

（四）提高教師解題能力的幾點建議

1.關注初高中銜接知識

目前多數學校的人事安排中，多數高中教師只從教于高中學段，極少數人有初高中大循環的經歷，多數高中教師對初中學段的學情并不了解，從而在平時教學過程中遇到題目時，就會慣性地把高中知識的解法擺在首位，較少去考慮題目中蘊含的初中就能處理的方法或性質，甚至直接忽略。本次解題大賽中，所有選手都沒有提及本題的平面幾何解法，可見一斑。而在新課程改革下，初高中銜接問題凸顯，如韋達定理、初中平面幾何等知識的弱化，導致高中學習過程中經常遇到概念不清導致無法順利完成解答，若高中教師不能熟練解決初中問題，又如何幫助學生掃除這類解題障礙？

2.學習解題理論提高解題高度

解題是數學教師的立足之本，要想成為解題能手，平時應自覺學習一些數學解題理論，尋找理論支撐。如波利亞的《怎樣解題》《數學猜想》《數學發現》等經典著作。羅增儒教授認為，學習數學有三個層次：簡單模仿—反復訓練—自發領悟。［3］作為教師，更應該變“自發領悟”為“自覺領悟”，并尋找到“自覺領悟”可操作的方法，才能指導學生提高解題能力。教師在解題過程中，應從解題思想、解題目的、解題過程、解題方法、解題原則、解題策略等方面進行深入思考，提高解題高度，而不是只停留在把題目解出來這個層面。對數學本質理解的深度和數學思想掌握的高度是開闊數學解題眼界和視野的基石。［4］

3.限時解題樂當“學生”

部分教師因為平時事務繁忙、或者家庭壓力等原因，在備課解題時過度依賴已有答案，倘若經過一小段時間思考還無思路，要么就習慣性翻開答案看看，要么就用拍題軟件尋找速成結果，并未深入思考學生解題時有何困難，難點如何突破；更不用說研究題目的內涵與外延，一題多解或多題一解了。教師在平時應保持持續的解題熱情，善于解決一些與高考難度相當甚至競賽難度的題目，學校教研部門可以定期組織教師進行限時訓練或解題比賽，教師自己也可以在平時大考中與學生進行同步“限時考試”，在這樣的真實模擬考試環境中不斷經歷解題過程，積累面臨難題的解題心理體驗。在解完題目后應適當回顧與總結：這樣解正確嗎，為什么這樣解？這樣解是普適的嗎，有沒有更好的解法？解題中用到了什么知識？融匯了什么數學思想方法？這樣的題目是否可以進行推廣？自己可以命制出類似的題目嗎？有沒有跟題目類似的一般性結論？……只有真正體會學生的難處，方能為學生提供解決困難的方法和途徑，也只有如此才能深化對數學知識的理解、促進自己思維結構的優化，提高解題水平。