基于一階剪切變形理論FGM梁自由振動的改進型GDQ法求解

蒲 育， 滕兆春

(1. 蘭州工業學院 土木工程學院， 蘭州 730050； 2. 蘭州理工大學 理學院， 蘭州 730050)

眾所周知，新型材料梁的動力學特性在工程領域有十分重要的意義和廣泛的應用背景。功能梯度材料(FGM)作為一種新型的非均勻復合材料，如今應用FGM的研究已由最初的耐高溫熱應力緩和型材料擴大到機械、電子信息、光學、核能、生物及土木工程等領域。FGM梁現已廣泛應用于航空航天及其他工程領域，因而對FGM梁的動力學響應的研究顯得尤為重要。因此，國內外許多學者從不同的角度大量研究了FGM梁的自由振動在工程中的應用。

Aydogdu等[1]基于不同梁理論并采用Navier法研究了FGM簡支梁的自由振動。Li等[2]基于FSBT采用打靶法數值研究了FGM梁的自振問題，并根據微分方程解的相似性獲得了FGM與各向同性材料歐拉-伯努利梁固有頻率解析解之間的關系。Simsek[3]引入Lagrange乘子法處理邊界條件，建立了各種梁理論下FGM固支梁、簡支梁、懸臂梁自振的Lagrange頻率方程。Vo等[4]采用FEM分析了FGM梁的彎曲及自由振動問題。Thai等[5]采用Navier法求解了各種高階剪切梁理論下FGM簡支梁的彎曲及自由振動。Nguyen等[6]基于FSBT同樣采用Navier解法分析了FGM簡支梁的彎曲、屈曲及自由振動問題。Pradhan等[7-8]采用Rayleigh-Ritz法分析了各種梁理論對FGM梁自振頻率的影響。蒲育等[9]基于二維線彈性理論并采用二維DQM獲得了Winkler-Pasternak彈性地基FGM梁自由振動的動態響應。最近，Kahya等[10]采用FEM數值研究了功能梯度FSBT梁的屈曲及自振問題。Simsek等[11]基于改進型偶應力理論及高階剪切理論獲得了FGM簡支微梁彎曲和自振問題的Navier解法。Li等[12]采用非局部應變梯度理論，得出了尺寸效應影響下功能梯度CBT及FSBT梁的非線性彎曲和自由振動的解析解。此外，Ebrahimi等[13]應用DTM研究了FGM納米梁的熱機耦合振動。Luan等[14]基于各種梁理論并采用SSM得出了FGM梁自振基頻的解析解。因此，學者們目前對于FGM梁力學行為的研究大多基于不同的梁理論、或采用不同的數值方法。

本文建立了以軸向位移、橫向位移及轉角為未知函數功能梯度FSBT梁自由振動方程。該方程耦合且較為復雜，獲得解析解十分困難，因此，本文引入邊界控制參數，統一編寫了4種邊界FGM梁自振的MATLAB程序，首次采用改進型GDQ法數值研究了4種邊界FGM梁自振的頻率特性。結果顯示，改進型GDQ法具有易收斂、精度高、工作量小等優點，并且該分析方法對CBT梁及FSBT梁都行之有效，最后得出一些有益的結論。

1 控制微分方程及參數的無量綱化

建立如圖1所示的坐標系：考慮一長寬高為L×b×h的金屬-陶瓷功能梯度非均勻材料梁，其材料性質沿厚度方向呈梯度分布。梁的上表面為陶瓷，下表面為金屬。彈性模量E，泊松比μ，密度ρ等物性參數均是坐標z的函數，用統一式可表示為：

(1)

圖1 FGM梁幾何尺寸Fig.1 Geometry of a FGM beam

式中：p為FGM的梯度指標。基于一階剪切變形理論，FGM梁內任意一點t時刻沿x,y,z方向的位移分量分別為：

(2)

式中:u(x,t),w(x,t)表示t時刻軸線上點的軸向和橫向位移，φ(x,t)表示t時刻梁截面繞y軸的轉角。

非零應變分量為：

(3)

(4)

描述FGM梁自由振動的微分方程組為：

(5)

由式(3)和式(4)，FGM梁截面的軸力、剪力、彎矩內力分量可由位移分量分別表示為：

(6)

{u(x,t),φ(x,t),w(x,t)}={U(x),Ψ(x),W(x)}eiωt(7)

式中：i為虛數單位;ω為固有頻率。

將式(6)及式(7)代入式(5)可得由位移分量所描述的FGM梁自由振動控制微分方程組為：

(8)

考慮以下四種梁的邊界條件：

① 左端簡支-右端簡支(S-S)

x=0及x=L處：FN=Mb=W=0

(9)

② 左端固支-右端固支(C-C)

x=0及x=L處：U=Ψ=W=0

(10)

③ 左端固支-右端簡支(C-S)

(11)

④ 左端固支-右端自由(C-F)

(12)

為簡化邊界條件，由式(6)可將力的邊界條件表示為位移所滿足的邊界條件：

由式(9)～(12)表示的四種梁，從而邊界條件均可由位移分量表示。

無量綱化如下：

(13)

式(13)中

(14)

將式(13)代入控制微分方程組(8)及位移分量描述的邊界條件可得無量綱化控制微分方程及無量綱化邊界條件。

無量綱化控制微分方程組：

四種梁的無量綱化邊界條件：

① S-S梁

(16)

② C-C梁

(17)

③ C-S梁

(18)

④ C-F梁

(19)

2 改進型GDQ法的離散化及特征值問題

2.1 邊界控制參數

應用GDQ法[15-16]離散C-C、C-S、S-S這三種梁的邊界條件后統一可表示為：

(20)

式中：n0=0或1，n1=0或1，且定義

(21)

從而邊界控制參數n0及n1表示的三種梁：

n0=0，n1=0表示C-C梁；

n0=0，n1=1表示C-S梁；

n0=1，n1=1表示S-S梁。

(22)

由GDQ法，式(22)代入下式可得

(23a)

上式中

(23b)

上式中

(23c)

式中:

2.2 改進型GDQ法的離散化

對于C-C、C-S、S-S這三種梁，采用改進型GDQ法，無量綱控制微分方程組(15)離散后為：

(25)

式中:i=2, 3, …，N-1

2.3 特征值問題

離散后的無量綱控制方程組式(25)構成了不同邊界條件FGM梁自由振動的邊值問題，該邊值問題可用分塊矩陣表示為：

[K]{X}-Ω2[M]{X}={0}

(26)

其中

由式(26)可得FGM梁自由振動的特征值問題：

[S]{X}-Ω2[I]{X}={0}

(27)

其中[S]=[M]-1[K]，[I]為3N-6階單位陣。

3 計算結果與分析

通過設置邊界控制參數的取值，采用改進型權系數矩陣，統一編寫MATLAB程序可獲得一階剪切理論下C-C、C-S、S-S、C-F這4種FGM梁自由振動特征值問題式(27)的無量綱頻率。

算例1：表1給出了當梯度指標p=0, 1, 2, 5, 10, 跨厚比L/h=5及20時，基于FSBT三種不同邊界C-C、S-S及C-F功能梯度材料梁自由振動的無量綱基頻。算例1中，FGM梁金屬(Al)—陶瓷(Al2O3)材料的物性系數分別為Em=70 GPa，μm=0.3，ρm=2 702 kg/m3，Ec=380 GPa，μc=0.3，ρc=3 960 kg/m3，取節點數N=17，并將得到的數值結果與Simsek等的數值結果進行了比較。由表1可見：本文得出的結果與其非常接近，取較少的節點數便能滿足精度所需，工作量小，說明了改進型GDQ法對于研究本問題的適用性與優越性。特別地，當跨厚比L/h=20時，此時可視為長梁；當跨厚比L/h=5時，此時可視為短梁。因此，本文的分析方法對長梁和短梁自由振動分析都行之有效。

算例2：表2給出了當梯度指標p=1, 跨厚比L/h=5, 10, 20, 30, 50, 100時，基于CBT及FSBT兩種梁理論在三種不同邊界C-C、C-S及C-F下FGM梁自由振動的無量綱基頻。算例2中，FGM梁材料的物性系數分別為Em=210 GPa，μm=0.23，ρm=7 800 kg/m3，Ec=390 GPa，μc=0.23，ρc=3 960 kg/m3，取節點數N=17，由表2可見：本文得出的數值結果與Pradhan等的研究結果比較接近。由表2不難看出：CBT梁的基頻高于FSBT梁的基頻，這是因為CBT梁忽略了橫向剪切變形的影響。跨厚比L/h對C-C、C-S及C-F邊界FGM梁的基頻均有影響。并且，值得注意的是：與Pradhan等采用Rayleigh-Ritz法得出的數值結果相比較，本文CBT梁得出的基頻更為接近FSBT梁得出的基頻。

算例3：圖2～圖6則刻畫了FGM梁邊界條件、梯度指標、跨厚比對FGM梁自振頻率的影響。其中FGM梁的物性系數取值與算例1中相同。圖2給出了FGM梁的梯度指標p對C-C梁、C-S梁、S-S梁及C-F梁無量綱基頻的影響。顯然，梯度指標p=[0,10]范圍內，這4種邊界FGM梁的基頻Ω1都隨梯度指標p的增大而減小。這是因為隨著梯度指標p的增大，梁中陶瓷的成分減少，因此梁的整體剛度減小了。且由圖2可見：在相同的參數下，基頻由大到小的順序為C-C梁、C-S梁、S-S梁、C-F梁。這與事實相符，即約束較強，頻率則較高。

圖3反映了跨厚比L/h對4種邊界FGM梁基頻Ω1的影響。由圖3可見：當L/h<20，C-C梁、C-S梁、S-S梁的基頻Ω1都明顯隨L/h的增大而增大，當L/h>20，L/h對基頻Ω1的影響不大。特別地，L/h對C-F梁基頻Ω1的影響最為不明顯，而這方面相關報道的文獻較為少見。因此，對C-C梁、C-S梁、S-S梁而言，L/h對短梁自振頻率影響顯著，L/h對長梁自振頻率影響不明顯。

圖4反映了5種梯度指標下L/h對C-S邊界FGM梁基頻Ω1的影響。顯然，當L/h<20，對于不同的梯度指標p，Ω1都明顯隨L/h的增大而增大。當L/h>20，L/h對基頻Ω1的影響不大。

圖5則反映了CBT與FSBT兩種梁理論模型下C-C邊界FGM梁L/h對前三階無量綱頻率的影響。由圖5可見：CBT與FSBT預測FGM梁的頻率較為接近，但CBT預測的頻率高于FSBT預測的頻率。且隨階數的增加，CBT與FSBT預測的頻率差別將顯著增大。因此，研究短梁需要考慮橫向剪切變形的影響。而且，在梁的高頻振動研究中，兩種梁理論對頻率的預測相差更大。

圖6反映了S-S邊界FGM梁的梯度指標p及跨厚比L/h對基頻Ω1的影響。顯然，對于不同的跨厚比L/h，Ω1都隨p的增大而減小。且由曲線的疏密程度可見，L/h對短梁頻率影響較大，而對長梁頻率影較小。

表1 FGM梁在不同邊界下自由振動基頻的結果比較

表2 兩種不同梁理論下FGM梁自由振動無量綱基頻的結果比較(p=1)

圖2 不同邊界下FGM梁的基頻Ω1與梯度指標p之間的關系曲線( L/h =5)Fig.2 The fundamental frequency parameter Ω1ofFGM beams versus p for different boundary conditions

圖4 C-S邊界FGM梁的基頻與跨厚比的關系曲線Fig.4 The fundamental frequency parameter Ω1ofC-S FGM beam versus L/h ratio for different graded index

圖5 兩種梁理論下C-C邊界FGM梁的前三階頻率與跨厚比L/h之間的關系曲線(p=1)Fig.5 The first three frequency parameters of C-C FGMbeam versus L/h ratio for two different beam theories

圖6 S-S邊界FGM梁的基頻與梯度指標p的關系曲線Fig.6 The fundamental frequency parameter Ω1ofS-S FGM beam versus graded index p for different L/h ratio

4 結 論

首次采用改進型GDQ法獲得了4種FGM梁自振問題的數值解。且結果表明：

(1) 本文與已有文獻結果非常接近，說明該分析方法對FSBT及CBT這兩種理論FGM梁自由振動分析都行之有效，且具有編寫計算程序簡單，可操作性強，工作量小等優點。

(2) 約束較強，頻率則較高；頻率隨梯度指標的增大而減小；跨厚比對短梁自振頻率影響顯著，對長梁自振頻率影響不明顯。

(3) CBT預測的頻率高于FSBT預測的頻率，因此研究短梁需要考慮橫向剪切變形的影響，且在高頻振動研究中，兩種梁理論對頻率的預測相差更大。