基于Shannon熵的自適應小波包閾值函數去噪算法研究

周 建， 向北平， 倪 磊， 艾攀華

(西南科技大學 制造過程測試技術教育部重點實驗室，四川 綿陽 621000)

非平穩信號的細節部分含有大量的特征信息，而實際采集到的信號往往包含嚴重噪聲，導致特征信息無法顯露，因此尋求一種有效的信號去噪方法尤為重要。小波閾值去噪方法是一種實現簡單且去噪效果較好的算法，工程實踐中常用的是小波軟、硬閾值去噪方法，雖然其應用較廣，但軟閾值去噪方法會對小波系數過度扼殺，而硬閾值方法則會產生附加振蕩[1]，因此提出一種新的閾值方法尤為重要。針對以上問題，許多學者進行了研究。

Lu等[2]在軟、硬閾值的基礎上，引入參數于改進閾值函數中，使其能夠在軟、硬閾值函數之間調整，但并沒有提出具體的參數選擇方法；Chen等[3]提出了一種基于分解層數的小波去噪算法，將分解層數引入閾值函數中，取得了良好的去噪效果；Cui等[4]提出一種改進閾值函數，使之克服了硬閾值函數的不連續與軟閾值過扼殺的缺點；李紅延等[5]介紹了一種新的小波收縮閾值函數，并引入了多個調節因子，以增強閾值函數的靈活性，且將其應用于齒輪故障振動信號中，去噪效果較為明顯。以上方法皆對閾值函數進行了一些改進，但其改進閾值函數依然沒有依據小波分解系數而進行自適應的改變，或沒有提出具體的參數化模型，參數選擇依據人為經驗，給信號去噪過程帶來困難。

據此，本文進行深入分析研究，提出一種閾值函數自適應調整的小波包去噪方法，該方法將Shannon信息熵概念引入閾值函數中，分析了小波包系數的噪聲污染情況且兼顧了噪聲信號的去除與原始信號的保留。研究結果表明，該方法比傳統小波閾值函數去噪方法更能滿足信號去噪實踐要求。

1 小波包去噪原理與關鍵問題

1.1 小波包閾值去噪原理

小波包去噪的原理是含噪信號經小波包分解后，信號的能量主要集中在少數幅值較大的小波包系數中，而噪聲的能量則分布在整個小波域內，因此可以認為，代表真實信號的小波包系數幅值一般較大，而幅值較小的小波包系數則很可能是噪聲[6-7]。于是采用小波包閾值的方法能將信號系數保留，而令大部分的噪聲系數減少為零。設有含噪信號：

s=x+n

(1)

式中：s為實測含噪信號，其由原始信號x與噪聲n組成，信號去噪的實質即為根據檢測到的含噪信號s對原始信號x進行估計，對應的小波包閾值去噪步驟如下：

(2)

1.2 傳統閾值函數的缺陷

傳統的軟、硬閾值函數由于實現簡單而被廣泛應用，但去噪效果卻有待提升，Cui等對軟、硬閾值進行了改進，但仍然沒有做到閾值函數的自適應調整，其表達式分別如下：

硬閾值函數：

(3a)

軟閾值函數：

(3b)

文獻[4]改進閾值函數：

(3c)

為了分析以上閾值函數的去噪效果，研究如圖1(a)所示為原始Bumps信號，其波形中含有多個突變波峰，圖1(b)為加入高斯白噪聲后的Bumps信號，其信號成分完全被噪聲淹沒，對其分別進行小波包軟、硬閾值與改進閾值函數去噪，選用sym3，sym6，sym8和db2、db5、db10小波分別進行分析，通過比較，最終選用sym8小波對信號進行3層小波包分解，為達到最佳去噪效果，選用Chen等研究結論中的閾值：

(4)

式中：σ為信號的噪聲標準差；N為信號長度；j為小波包分解層數。由式(4)可知，閾值隨著分解層數 的增大而減小，符合實際的信號規律。由上述參數進行去噪得到結果如圖1(c)、(d)與圖1(e)，由圖1(c)可知含噪信號經軟閾值去噪后，雖然消除了大部分噪聲，但由于軟閾值函數將大于閾值的小波系數全部收縮從而使信號原始的一些特征(波峰)也被過扼殺。而圖1(d)所示的硬閾值去噪結果表明，含噪信號經過硬閾值去噪后雖然信號過扼殺不明顯，但是卻產生了一些附加振蕩，無法準確還原出原始信號。圖1(e)所示的Cui等改進閾值去噪結果顯示出了較軟、硬閾值更好的去噪效果，但仍然存在一些信號細節缺失問題，且在信號突變處產生了一些振蕩。綜上所述，為了在去噪處理中消除噪聲的同時盡可能地保留原始信號的細節特征，需要研究一種新的自適應閾值函數。

圖1 傳統閾值函數對Bumps信號去噪結果Fig.1 Bumps signal de-noising results based on traditional threshold function

2 自適應閾值函數去噪算法

2.1 含噪信號的Shannon熵表征

設某被測信號X共由n個信號源構成，即X={x1,x2,…,xn}，各信號源提供相應信息(狀態，取值)的概率為P={p(x1),p(x2),…,p(xn)}，則該信號系統結構可表征為：

(5a)

則該信號系統的Shannon熵定義為：

(5b)

對于式(5)，若對上述信號添加m個噪聲源n1,n2,…,nm，同理各噪聲源提供相應信息的概率為：P={p(n1),p(n2),…,p(nm)}，則新的含噪信號系統結構為：

(6)

同理可得該含噪信號系統的Shannon熵為：

(7)

為了驗證以上結論，分析如圖1(a)所示的Bumps信號，對其加入噪聲標準差為[0,0.5]的高斯白噪聲信號，為了說明數據長度對分析結果的影響，分別計算采樣數為100和1 000的含噪bumps信號在不同標準差的噪聲影響下其Shannon熵值的變化情況，得到如圖2所示的結果。由圖2可知，不同數據長度情況下Shannon熵值始終與噪聲標準差成正比，這驗證了本文上述結論，即信號含噪越多，其Shannon熵值也應越大。而對于數據長度較小的時間序列(如信號的小波包節點系數)，其Shannon熵值在同等噪聲標準差情況下較小，但其變化趨勢與較長時間序列基本相同。

圖2 Shannon熵與噪聲標準差關系Fig.2 Correlation between Shannon entropy and noisestandard deviation

2.2 一種新的自適應閾值函數

為了解決圖1中軟、硬閾值函數存在的問題，本文提出一種新的介于軟、硬閾值之間且能夠根據小波系數的噪聲污染情況自適應進行調整的閾值函數，使得重構后的信號偏差盡可能的小，該閾值函數表達式如下：

(8)

式中：x為小波包系數；λ為閾值；k為調節參數。由上式可知，新的小波包閾值函數不僅在小波域內連續，而且高階可導。該閾值函數圖形與軟、硬閾值函數及Cui等改進閾值函數對比如圖3所示(λ=5,k=5)。

由圖3可知，新的閾值函數曲線平滑連續且高階可導，彌補了軟、硬閾值函數與Cui等研究結論中閾值函數的缺陷，且由于調節參數的存在，較Cui等提出的改進閾值函數而言去噪形式更加靈活。為了說明新閾值函數的自適應性，將閾值分別取λ=1,2,…,5(k=5)；參數k分別取k=1,2,3,…,10(λ=5)，得到其對應的閾值函數曲線如圖4所示。

由圖4(a)可知，與其他閾值函數一般需要設為分段函數不同，新的閾值函數可以根據不同的閾值自適應地調整小波包系數收縮范圍，降低了小波去噪計算難度。

由圖4(b)所示，當調節參數較小時，閾值收縮趨勢較為平緩，對小于閾值的小波包細節系數保留較多；而當k值增大時，閾值收縮區間減小，收縮趨勢接近硬閾值。由此可知，與傳統軟、硬閾值函數不同，新的自適應閾值函數能夠在小波包系數閾值收縮區域實現平滑過渡，且可以通過調整參數k的大小確定細節系數的取舍。k值越大，越接近硬閾值處理過程，可以對閾值附近小波包系數進行大尺度的收縮；k值越小，閾值收縮越平緩，對細節小波包系數的保留也越多[10]。因此，k值較大時，適合處理含噪較多的小波包系數，反之小波包系數含噪越少，相應的k值也應該較小，以保留更多的細節信號小波包系數，從而更好地還原原始信號的局部特征。

圖3 新閾值函數與其他閾值函數Fig.3 New threshold function and other functions

圖4 新閾值函數的自適應性Fig.4 Adaptivity of new threshold function

2.3 閾值函數調節參數的選擇

由2.1節可知Shannon熵可用來表征信號含噪的多少，且適用于對短時間序列進行分析，因此將Shannon熵引入新閾值函數小波包系數的含噪情況評判中，為實現閾值函數的自適應調整，對小波包系數Shannon熵值進行極值標準化，即有調整參數：

(9)

對圖1(b)所示的含噪信號進行3層小波包(sym8)分解得到其各小波包節點系數波形如圖5所示，利用上述算法求得各節點系數Shannon熵值與調整參數k值列于表1。由圖5可知，含噪Bumps信號經3層小波包分解后，低頻節點系數w1,3，w2,3比較符合原始信號的特征，而其他節點系數受噪聲干擾嚴重，因此w1,3，w2,3對應的調節參數應較小，以盡可能的保留原始信號細節(如表1所示)。

為說明新閾值函數的可行性與優越性，對上述已分解信號進一步分析，為控制比較變量依然使用第一節中的參數進行小波包閾值去噪，得到去噪結果于圖6。

為對去噪效果進行定量分析，分別計算軟、硬、文獻[4]閾值與新閾值去噪后信號的信噪比(SNR)、均方根誤差(RMSE)與平滑度(S)[11]，計算方法如下：

表1 各小波包節點對應參數

(1)信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)，其定義為：

(10)

(2)原始信號與去噪信號之間的均方根誤差(Root Mean Squared Error, RMSE)定義為：

(11)

(3)平滑度：

(12)

式中：Ps為信號的有效功率；Pn為噪聲的有效功率；xi為原始不含噪信號；xi為去噪后的信號；N為采樣數。

消噪后信號的SNR值越高，RSME與S值越小，則信號去噪效果越好，具體結果如表2所示。

圖5 各小波包節點系數波形Fig.5 Waveform of wavelet packet node coefficients

圖6 新閾值函數去噪結果Fig.6 De-noising result of new threshold function

從圖6與表2可以看出，新的自適應小波包閾值函數去噪后的信號具有較高的信噪比，較小的均方根誤差與平滑度，其不僅能夠有效地去除噪聲，而且很好地還原了原始信號的細節特征，是一種更為優越的去噪算法。

表2 不同方法去噪效果對比

3 新的自適應閾值函數在軸承振動信號去噪中的應用

3.1 軸承振動信號的獲取

為了對本文方法進行進一步檢驗，搭建了軸承振動實驗裝置，軸承振動實驗平臺與被測軸承如圖7所示，實驗電機轉速60 000 r/min，實驗軸承為微小型氮化硅陶瓷球軸承QC0011286(由于長時間的高速運轉，軸承精度下降，轉動噪聲較大，且外圈存在故障)，設置采樣率為20 kHz，采樣時間為0.1 s，經過計算得到軸承外圈故障頻率為foc=2 552.9 Hz。圖8所示為采集到軸承振動時域信號，由圖可知從時域信號中無法直接分辨出信號成分。

圖7 軸承振動試驗機與被測軸承Fig.7 Bearing vibration test machine and measured bearing

圖8 軸承振動時域信號Fig.8 Bearing vibration time-domain signal

3.2 軸承振動信號去噪分析

利用本文提出的自適應閾值函數對圖8所示的軸承原始振動信號進行去噪分析，同樣選用sym3,sym6,sym8和db2,db5,db10小波分別進行分析，通過比較，最終選用db5小波對信號進行4層小波包分解，得到各節點小波包系數Shannon熵與調節參數值列于表3(由于篇幅原因，只精確到三位有效數字)。得到最終的去噪結果如圖9所示。由圖可知軸承振動時域信號經過去噪后無法從波形直接分辨去噪效果，因此需對其進一步分析。

圖9 新閾值函數去噪后軸承振動信號Fig.9 Bearing vibration signal after new threshold functionde-noising

(a)原始振動信號功率譜

(b)硬閾值去噪后信號功率譜

(c)軟閾值去噪后信號功率譜

(d)文獻[4]改進閾值去噪后信號功率譜

(e)新閾值去噪后信號功率譜圖10 去噪后信號功率譜對比Fig.10 Power spectrum comparison of signal after de-noising

由于軸承外圈故障而產生周期性脈沖信號，其表現形式為調制信號，即以軸的轉動頻率為調制頻率，而軸承外圈故障頻率為載波頻率，形成邊頻帶，通常，由于故障特征微弱且有噪聲干擾的存在，軸承故障特征及其調制特征往往無法清晰顯露。但由于本文中軸承轉速較快，在高轉速工況下軸承故障沖擊較強，盡管此時噪聲污染嚴重，但通過信號去噪處理后，利用功率譜分析應能獲取到軸承故障特征頻率，且不同的去噪方法得到的功率譜分析效果也應不同。因此本文為對軸承振動信號頻率成分的還原情況進行直觀分析，對原始信號與各閾值方法去噪后信號進行功率譜分析，得到結果如圖10。且以軸承特征頻率顯露情況為去噪效果評判標準，具體分析如下。

從圖10可直觀的看出，由于受到噪聲干擾，原始信號功率譜受噪聲干擾嚴重，雖然能分辨出軸轉動頻率1 000 Hz及其倍頻2 000 Hz，但由于噪聲影響，無法很好的分辨出軸承故障頻率以及調制成分。含噪振動信號經由硬閾值法去噪后減少了部分噪聲，能夠清晰分辨出基頻及其倍頻成分與軸承外圈故障頻率2 552.9 Hz，但由于一些干擾頻率的存在，并不能準確的判斷該故障頻率的真實性。而經過軟閾值法去噪后，雖然噪聲去除較為徹底，但原始信號除基頻外的一些頻率成分也同時被扼殺嚴重。Cui等改進閾值去噪后信號基頻及其諧波以及軸承的故障頻率2 552.9 Hz及其邊頻3 552.9 Hz都被很好的還原出來，但邊頻附近仍然存在一些高頻噪聲。利用本文提出的新的自適應閾值函數去噪法去噪得到的信號功率譜顯示，信號基頻與倍頻以及軸承外圈故障頻率2 552.9 Hz清晰可見，且在軸承故障邊頻3 552.9 Hz以及兩倍頻5 105.8 Hz附近存在明顯波峰，且噪聲干擾頻率較少。

表3 實驗信號各小波包節點對應參數

綜上所述，本文提出的基于Shannon熵的自適應小波包閾值函數去噪算法較其他算法而言去除噪聲信號更加徹底，同時也更好還原了軸承信號的頻率特征，適用于振動信號去噪實踐，且能有效地提高故障診斷準確率。

4 結 論

(1)為了克服傳統閾值函數在小波去噪實踐中的不足，提出了一種新的帶參數的閾值函數，將Shannon熵算法作為信號含噪情況評判參數，根據噪聲信號在各個小波包分解系數上分布的不同自適應地調整閾值函數，以達到自適應去噪的目的。

(2)將本文去噪方法應用于仿真信號中，并與傳統軟、硬閾值函數和Cui等改進閾值函數相對比，結果表明本文提出的自適應閾值去噪算法在信噪比、均方根誤差和平滑度方面效果更好。對滾動軸承實驗信號進行去噪，并對去噪后的信號進行功率譜分析，結果顯示本文提出的算法很好的消除了噪聲干擾，且保留了原始信號的頻率特征，還原了軸承的故障特征，是一種更為有效的信號去噪算法，具有較高的實用價值。