有限幅波理論下小水線面雙體船非線性波激振動(dòng)研究

唐宇航， 陳志堅(jiān)

(1. 中國人民解放軍92578部隊(duì)，北京 100161； 2. 海軍工程大學(xué) 艦船工程系，武漢 430033)

船舶在較平穩(wěn)的波浪中航行時(shí)出現(xiàn)顯著的持續(xù)總振動(dòng)現(xiàn)象，稱之為波激振動(dòng)[1]。目前，關(guān)于波激振動(dòng)的描述有線性和非線性之分，導(dǎo)致非線性波激振動(dòng)原因有很多，一般人們認(rèn)為是船-波間遭遇頻率與總振動(dòng)頻率存在倍頻關(guān)系[2]以及其他非線性激勵(lì)所致，例如船舶剖面水線寬、附加質(zhì)量以及水動(dòng)力阻尼等引起的非線性效應(yīng)[3]。

海浪是海洋環(huán)境中最為復(fù)雜的自然現(xiàn)象，可分為長峰波和短峰波。波浪對(duì)船舶的擾動(dòng)可分為一階力和二階力[4]，海洋工程結(jié)構(gòu)受到的非線性波浪載荷也一直是人們關(guān)注的重點(diǎn)，其主要是對(duì)二階波浪力的研究[5-6]。微幅波作為有限幅波的一階近似，是描述線性波激振動(dòng)常用波形；高階有限幅波理論可以對(duì)波浪的高階成分進(jìn)行描述，也稱之為斯托克斯波，可以獨(dú)立于船型有效地解釋船舶在波浪航行中產(chǎn)生高階振動(dòng)激勵(lì)力的來源。

美國學(xué)者曾經(jīng)對(duì)線性和非線性波激振動(dòng)的重要性進(jìn)行了論述，發(fā)現(xiàn)某305 m長大湖型礦砂船二階和頻非線性激勵(lì)的貢獻(xiàn)能接近線性波激振動(dòng)的50%[7]。Gu等[8]也對(duì)船舶非線性彎矩的高階調(diào)諧成分進(jìn)行了試驗(yàn)和理論研究。He等[9]研究了頂浪和斜浪下入射波和頻波激振動(dòng)的二階貢獻(xiàn)，在一個(gè)典型海況計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，某些站號(hào)上非線性波激振動(dòng)的增大使得總波激振動(dòng)達(dá)到了線性波激振動(dòng)的5倍以上。顧學(xué)康等[10]對(duì)一超大型油船進(jìn)行了線性與非線性波激振動(dòng)試驗(yàn)，非線性波浪載荷中的某階倍頻成分很容易使船體梁產(chǎn)生共振。小水線面船具有與常規(guī)單體排水型船不同的特殊結(jié)構(gòu)形式，其總振動(dòng)模態(tài)較為密集，且形式多樣。因此，其總振動(dòng)受遭遇波浪影響較為嚴(yán)重，不同的遭遇波浪頻率、航向、航速以及波高均會(huì)較容易激起船體結(jié)構(gòu)的高頻振動(dòng)，而針對(duì)SWATH船的波激振動(dòng)研究較少。

為探究有限幅波中高階波浪成分對(duì)小水線面雙體船的振動(dòng)特性影響，本文從引起波激振動(dòng)激勵(lì)源入手，對(duì)波浪的頻率特性進(jìn)行分析，在結(jié)合高階有限幅波理論的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了受航速、航向、波高、波頻等因素影響下的波浪激勵(lì)力表達(dá)式，同時(shí)指出了評(píng)估波浪參數(shù)的決定方法。利用虛擬質(zhì)量法完成了雙體船流固耦合振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算，對(duì)比了該船在不同波頻參與激勵(lì)下，船體振動(dòng)響應(yīng)的差異。

1 波激振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算理論

1.1 引起波激振動(dòng)的激勵(lì)

理論研究和試驗(yàn)研究均認(rèn)為，非線性波激振動(dòng)是由非線性波激力產(chǎn)生，且只能產(chǎn)生于船與波浪間的相互作用。馬廣宗[11]指出，由于船體橫剖面或水線面在首部沿深度方向和長度方向的變化是非線性的，從而產(chǎn)生了非線性激勵(lì)力，并給出了單體船迎浪時(shí)的一、二階波激力表達(dá)式

(1)

式中：Ls為船長;Lw為遭遇波長;B為船寬;Hw為波高;d為吃水;C0為考慮浮力和流體動(dòng)力阻力的修正系數(shù);G2和G3為Lw/Ls的函數(shù)，ve為船與波浪的遭遇頻率。

常規(guī)單體船進(jìn)行波激振動(dòng)試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，零航速下波浪遭遇頻率變化的低頻波浪彎矩能量占主要成分，其它為一些倍頻成份；有航速時(shí)，按船體梁一階振動(dòng)頻率變化的高頻波浪彎矩占主要成份，比波浪遭遇頻率的能量大得多，即存在高階振動(dòng)現(xiàn)象。且在有船體梁一階總振動(dòng)頻率與波浪遭遇頻率之間存在倍數(shù)關(guān)系n。 若n是整數(shù)且較小，其峰值明顯，則非線性波浪載荷中的某階倍頻成份很容易使船梁產(chǎn)生共振。因此，有必要對(duì)波激振動(dòng)力中遭遇頻率的1倍頻、2倍頻、3倍頻等高階分量進(jìn)行研究。

微幅波和有限幅波是描述波浪運(yùn)動(dòng)常用理論，其波面隨位置、時(shí)間呈現(xiàn)周期性的起伏，且不變其形狀地以固定波速向前傳播，在外形上是近似的，如圖1所示，它們都屬于規(guī)則波。常用的微幅波理論是有限幅波理論的一階近似，有限幅波理論中含有高階分量，可以獨(dú)立于船型、有效地解釋船舶在波浪中產(chǎn)生高階振動(dòng)的激勵(lì)力來源。微幅波理論要依賴于船體外表面的非線性外型才能勉強(qiáng)解釋波激振動(dòng)的激勵(lì)力的成因。由于SWATH支柱體的幾何外型在垂向是直壁，故在小水線面船上，基于微幅波理論的高階激勵(lì)力成因不再存在。

圖1 有限幅波與微幅波示意圖Fig.1 Finite-amplitude wave and micro-wave diagram

1.2 有限幅波理論下波激振動(dòng)激勵(lì)力

靜水面在風(fēng)的作用下失去平衡，受重力和慣性力影響，海面在靜水面往復(fù)運(yùn)動(dòng)，形成波動(dòng)。設(shè)波的傳播方向?yàn)閤,y坐標(biāo)鉛垂向上，波動(dòng)發(fā)生的水域R由下式確定

(2)

式中：d(z,y)表示平面點(diǎn)(x,y)處的深度， 而x0(y)表示由d(x,y)=0解出的顯函數(shù)。 按勢(shì)流理論求解變化水域勢(shì)函數(shù)φ(x,y,z,t)的思想，基本方程為

(3)

且式(2)滿足-d(x,y)≤z≤ζ(x,y,t)。 如取流場(chǎng)復(fù)勢(shì)為如下形式[12]

w(x+iz)=φ(x,z)+iψ(x,z)

(4)

存在如下邊界條件形式：

(1) 自由表面運(yùn)動(dòng)學(xué)條件

ψ(x,z)z=ζ(x)=const

(5)

(2)表面動(dòng)力學(xué)條件

(6)

式(5)、式(6)中的ζ(x)為波面形狀。

(3)有界性條件

(7)

由式(4)復(fù)勢(shì)求出的自由表面具有周期性起伏， 起伏的周期(即波長)為L=2π/k， 起伏的高度(即波高)為H。 取復(fù)勢(shì)w(x+iz)的試探解為

w(x+iz)=-c(x+iz)+iβce-ik(x+iz)

(8)

令式(5)中的常數(shù)為零，則有

ζ(x)=βekζ(x)coskx

(9)

結(jié)合以上公式，可得

e2kζ(x)≈1+2kζ(x)

(10)

(11)

將坐標(biāo)原點(diǎn)置于靜水面，并以前進(jìn)波的形式表示波面，可得波面函數(shù)的3階表達(dá)式為(由于太過復(fù)雜，本文僅列出3階)

(12)

式中：c為波的傳播速度;H為波高;a為波幅;k為波數(shù)。式(12)為深水3階斯托克斯波，是一種有限幅波。

設(shè)SWATH表面在有限幅波中航行時(shí)所受到的脈動(dòng)壓力為p(x,y,t)， 根據(jù)伯努利方程

(13)

式中：ΦR為輻射波勢(shì)，ΦW為入射波勢(shì)，ΦD為繞射波勢(shì)。pS為船體運(yùn)動(dòng)引起的流體靜水壓力變化，pR為船體運(yùn)動(dòng)引起的輻射壓力，pW為入射波引起的波浪壓力，pD為船體對(duì)入射波的限制而引起的繞射壓力。

考慮船的航速，前進(jìn)波的入射波勢(shì)函數(shù)形式為

ΦW=-c[(x-ct+Ut)+iz]+iβce-ik(x-ct+Ut+iz)

(14)

建立隨船坐標(biāo)系如圖2所示，以固定坐標(biāo)系描述波浪，設(shè)船的航行方向與波浪傳播方向有夾角μ，則在隨船坐標(biāo)系中，入射波引起的波動(dòng)壓力為

(15)

輻射力{FR(t)}與船舶濕表面的運(yùn)動(dòng)有關(guān)，可由船舶濕表面速度與水動(dòng)力系數(shù)表示為

(16)

圖2 船體運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系Fig.2 Hull movement coordinate system

根據(jù)“相對(duì)運(yùn)動(dòng)”假設(shè)，取適當(dāng)?shù)牟ɡ舜睃c(diǎn)(如濕表面上點(diǎn))，設(shè)該點(diǎn)各自由度的速度向量為{v}， 則其繞射力{FD(t)}可近似由“等效”的輻射力表示，即

(17)

因此可知，輻射力和繞射力均為流體的附加質(zhì)量效應(yīng)和附加阻尼效應(yīng)。

1.3 評(píng)估波浪參數(shù)決定方法

式(15)即為激起波激振動(dòng)的激勵(lì)力， 其中有1階力pw1、2階力pw2、3階力pw3分量。各階力的脈動(dòng)頻率呈倍數(shù)關(guān)系。決定該激勵(lì)力量值和頻率特性的是3個(gè)參數(shù)：波幅參數(shù)a、波長參數(shù)k、波頻參數(shù)c。即存在如下比例關(guān)系：

按實(shí)際海浪觀測(cè)資料決定波激振動(dòng)激勵(lì)力的基頻和激勵(lì)波的波高、波長參數(shù)。

1986年Hogben等提供的目測(cè)資料GWS，是經(jīng)過長期的觀測(cè)統(tǒng)計(jì)給出的全球海浪統(tǒng)計(jì)資料，它為海洋結(jié)構(gòu)，特別是船舶結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和作業(yè)提供了重要的原始資料。1998年挪威Lφseth提出了對(duì)GWS的北大西洋8、9、15及16四海區(qū)經(jīng)修正后的海浪長期統(tǒng)計(jì)資料NA-1C。可按該海浪統(tǒng)計(jì)資料決定波激振動(dòng)激勵(lì)力的基頻和激勵(lì)波的波高參數(shù)。

該海浪資料的有義波高為三參數(shù)的Weibull分布、跨零波浪周期為log-normal分布。其有義波高的Weibull分布為

(18)

式中：H1=3.041，j=1.484，H0=0.66。 跨零波浪周期的log-normal分布為

(19)

2 整船有限元波激振動(dòng)響應(yīng)模型的建立

2.1 整船有限元模型的建立

雙體船具有與常規(guī)單體船不同的結(jié)構(gòu)形式，振型多樣也更為復(fù)雜[13]，總振動(dòng)頻率較為密集。雙體船模型相關(guān)尺度見表1，依據(jù)模型資料構(gòu)造全船有限元模型，縱向基本按1個(gè)肋位間距，橫向按縱骨間距，垂向基本按縱向構(gòu)件間距劃分，上建甲板層高間劃分為5個(gè)單元，單元的長寬比盡可能控制在1∶3內(nèi)。骨架結(jié)構(gòu)采用梁單元模擬，甲板板、艙壁板、外板等板材采用板單元模擬，加強(qiáng)筋和主要支撐構(gòu)件用梁單元模擬，大設(shè)備及液艙質(zhì)量按點(diǎn)質(zhì)量單元模擬，使用MPC法加載設(shè)備質(zhì)量。

表1 計(jì)算模型的參數(shù)

采用全自由邊界條件模擬水聲測(cè)量船在波浪中的情形，采用“剔除剛體模態(tài)”的方法實(shí)現(xiàn)全自由邊界條件模擬。全船有限元模型如圖3所示，共有95 760個(gè)節(jié)點(diǎn)，212 518個(gè)單元。

圖3 有限元整船模型Fig.3 Whole ship finite element model

2.2 舷外水效應(yīng)處理

如“1.2”節(jié)所述，舷外水與船體的相互作用體現(xiàn)為入射波力、輻射波力和繞射波力這三種形式，且入射波力是導(dǎo)致波激振動(dòng)的激勵(lì)力，輻射波力、繞射波力是一種慣性效應(yīng)和阻尼效應(yīng)，即慣性力和阻尼力。

對(duì)于輻射波力、繞射波力中的慣性效應(yīng)部分，則采用MSC.Nastran程序中基于流固耦合理論的有限元技術(shù)進(jìn)行模擬，即虛擬質(zhì)量法。該方法利用Helmholtz理論，通過在外部邊界上分布一組“源”，每個(gè)“源”產(chǎn)生一個(gè)微分方程的簡單解，求解Laplace方程。推導(dǎo)出一個(gè)虛流體體積產(chǎn)生一個(gè)質(zhì)量矩陣，該質(zhì)量矩陣表達(dá)流體與一個(gè)結(jié)構(gòu)單元組成的邊界耦合和其它影響。

表2 整船總振動(dòng)頻率和振型數(shù)值計(jì)算結(jié)果

虛質(zhì)量法適合于下列問題類型：

(1) 包圍部分結(jié)構(gòu)的無限流體；

(2) 帶自由界面、內(nèi)含可彎曲變形結(jié)構(gòu)的流體；

(3) 由上述情形組合的多個(gè)流體體積。例如：漂浮在水中的一半，帶有幾個(gè)內(nèi)部容器，內(nèi)部容器具有自由界面和對(duì)稱邊界。

表2給出了考慮流固耦合效應(yīng)的總振動(dòng)固有頻率及其對(duì)應(yīng)振型。

由海浪理論和實(shí)測(cè)海浪譜可知，主要規(guī)則波波頻多在0.1 Hz附近，且一般不會(huì)超過1 Hz。據(jù)表2中固有頻率可見，該船總振動(dòng)的低階固有頻率值均遠(yuǎn)大于波浪頻率，不會(huì)發(fā)生線性波激振動(dòng)。但波浪的倍頻成分及其激勵(lì)力幅值、結(jié)構(gòu)剛度、結(jié)構(gòu)阻尼均會(huì)影響結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)的劇烈程度，由波浪高階分量產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題不可忽視。

秦鐵崖伸手示意：“這是刑部趙大人交給我的差事，現(xiàn)在交差。我已給老仙翁說好，騰一座小院出來，專供你表姐居住。”說罷拱手告辭。

2.3 波浪載荷的施加

受波浪作用的船體，在載荷作用的每個(gè)變化周期內(nèi)，波浪在船體水線附近的作用位置(濕表面)是變化的，即力的作用點(diǎn)是“場(chǎng)變的”，此外，這部分船體濕表面所受的波浪力是隨時(shí)間變化的、是非連續(xù)的，即力的大小和方向是“時(shí)變的”[14]。本文采用移動(dòng)波浪激勵(lì)力直接加載技術(shù)進(jìn)行波激振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算[15]，將式(15)所描述的波動(dòng)壓力以面壓力的方式直接作用在整船有限元模型的濕表面上。

設(shè)在固定坐標(biāo)系O-X1Y1Z1中， 記某瞬時(shí)的波型方程為ξ(x1,y1)， 波軸在靜水面上。 對(duì)所選取的波浪在OX1Y1面內(nèi)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換可得在隨船坐標(biāo)系O-XYZ中的波型方程ξ′(x,y)。 設(shè)小水線面船在靜水中的吃水用隨船坐標(biāo)系表示為ξ0(x)， 則

ξJ(x,y)=ξ0(x)+ξ′(x,y)

(20)

以板殼單元離散小水線面船的船體表面， 設(shè)第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為(xi,yi,zi)， 則有第i個(gè)節(jié)點(diǎn)吃水為

di=ξJ(xi,yi)-zi

(21)

在隨船坐標(biāo)系中，記波浪壓力載荷為q(x,y,z)， 對(duì)于第e個(gè)單元，其平均壓力為

(22)

式中：Se為第e個(gè)單元的面積。

當(dāng)單元?jiǎng)澐值米銐蛐r(shí)

(23)

將波浪載荷函數(shù)轉(zhuǎn)換成用PCL語言描述的Field函數(shù)作用于船體上，即實(shí)現(xiàn)了波浪對(duì)小水線面船整船有限元模型的加載。

3 波激振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果

3.1 計(jì)算工況

按實(shí)際海浪觀測(cè)資料決定波浪激勵(lì)力的基頻和波高參數(shù)，重點(diǎn)對(duì)5級(jí)、6級(jí)、7級(jí)海況進(jìn)行分析，定義波高為3.25 m、5 m、7.5 m，對(duì)應(yīng)于各級(jí)海況波高的上下限均值。船體強(qiáng)迫振動(dòng)位于共振區(qū)時(shí)需考慮阻尼，將其與內(nèi)阻尼合并考慮，按照規(guī)范中關(guān)于水面艦艇模態(tài)阻尼系數(shù)的規(guī)定[16]，見圖4(取低阻尼)。

圖4 水面艦艇模態(tài)阻尼系數(shù)Fig.4 The modal damping coefficients of surface ship

根據(jù)NA-1C海浪長期統(tǒng)計(jì)資料的波浪參數(shù)概率分布規(guī)律， 計(jì)算波浪取最大概率波浪，即在本級(jí)海況有義波高條件下，波浪周期有最大發(fā)生概率p(tz/hs)的規(guī)則波，p(tz/hs)按式(19)進(jìn)行計(jì)算。

表3中列出了5級(jí)、6級(jí)海情下波浪參數(shù)和概率。表4中給出了15個(gè)計(jì)算工況，其中包括5級(jí)海情下0 kN、6 kN和12 kN航速， 180°、135°和90°浪向角的9個(gè)組合工況，6、7級(jí)海情下12 kN航速， 180°、135°和90°浪向角的6個(gè)組合工況。對(duì)于各個(gè)組合工況分別對(duì)比計(jì)算由三階有限幅波、二階有限幅波和一階有限幅波(微幅波)激勵(lì)下的船體波激振動(dòng)響應(yīng)。

表3 波浪參數(shù)及發(fā)生概率計(jì)算表

表4 數(shù)值仿真試驗(yàn)計(jì)算工況

3.2 非線性波激振動(dòng)響應(yīng)對(duì)比結(jié)果

采用瞬態(tài)響應(yīng)分析對(duì)船體動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行預(yù)報(bào)，參考《水面艦艇振動(dòng)評(píng)價(jià)基準(zhǔn)》中關(guān)于評(píng)價(jià)區(qū)域的要求，對(duì)1甲板艏、艉端的左、右舷邊以及船舯的左、右舷邊的6個(gè)位置處的加速度響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，取總時(shí)長40 s內(nèi)的時(shí)域響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行處理。以頂浪工況組為例，圖5給出了A-01、B-01、C-01和D-01三種有限幅波激勵(lì)作用下1甲板艉端左舷邊的時(shí)域加速度響應(yīng)。

圖5 頂浪航行狀態(tài)下1甲板左舷端時(shí)域響應(yīng)Fig.5 Time-domain response of 1st deck stern side port side in the state of surfing sailing

為直觀對(duì)比波浪的高頻成分對(duì)船舶振動(dòng)響應(yīng)的影響，計(jì)算得到平均振動(dòng)加速度級(jí)

(24)

式中：n為測(cè)點(diǎn)總數(shù);Li為第i個(gè)測(cè)點(diǎn)的振動(dòng)加速度級(jí)曲線，dB； 振動(dòng)加速度基準(zhǔn)值：a0=10-6m/s2。振動(dòng)加速度總級(jí)為：

(25)

式中：Li為測(cè)點(diǎn)第j個(gè)頻率點(diǎn)的振動(dòng)加速度級(jí)， dB；m為頻率點(diǎn)總數(shù)。

將時(shí)域響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行頻域轉(zhuǎn)換，得到船體1甲板上6個(gè)響應(yīng)測(cè)點(diǎn)在0～10 Hz內(nèi)三階有限幅波、二階有限幅波和一階有限幅波(微幅波)激勵(lì)下的船體波激響應(yīng)平均振級(jí)，測(cè)點(diǎn)的頻帶平均總振級(jí)見表5。

表5 1甲板6測(cè)點(diǎn)平均加速度響應(yīng)總振級(jí)

可見，零航速下(如A-01～A-03工況)，受斜浪和橫浪載荷作用時(shí)，船舶振動(dòng)更為劇烈，總振級(jí)較其它兩個(gè)工況高出約5 dB；有航速狀態(tài)下，船舶高航速時(shí)振動(dòng)更為劇烈(如A～C工況比較)；斜浪航行下，船舶振動(dòng)普遍較為劇烈，且與海況成正比關(guān)系。

根據(jù)表5中按不同階次的有限幅波載荷作用下的振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果，波浪中的高階成分對(duì)船舶激勵(lì)具有不可忽略的影響，隨著海情的升高，這種非線性效應(yīng)表現(xiàn)的更為顯著。例如在D-03、E-03工況中(見圖6)，按微幅波理論與按三階有限幅波理論的總振級(jí)計(jì)算結(jié)果分別相差2.77 dB、5.85 dB。在某些特殊的低海情下，三階有限幅波、二階有限幅波、一階有限幅波加速度響應(yīng)振級(jí)基本相當(dāng)，有限幅波的高階成分未能顯著激起船舶的非線性振動(dòng)，所得計(jì)算結(jié)果與微幅波理論較為接近。因此，在研究高海況下的船舶波激振動(dòng)時(shí)，非線性波激振動(dòng)問題應(yīng)予以重視。

圖6 加速度響應(yīng)振級(jí)對(duì)比Fig.6 Comparison of acceleration response vibration level

4 結(jié) 論

本文從引起波激振動(dòng)激勵(lì)的源頭出發(fā)，通過有限幅波理論，在獨(dú)立于船型情況下有效地解釋了船舶在波浪中產(chǎn)生高階振動(dòng)的激勵(lì)力來源。對(duì)比計(jì)算了某雙體船在不同波頻參與激勵(lì)下，船體振動(dòng)響應(yīng)的差異。可見，在大多數(shù)海情下(特別是高海情)，即使船舶總振動(dòng)固有頻率與波浪頻率相差較大，有限幅波中高階成分亦可對(duì)船舶產(chǎn)生高頻激勵(lì)，因此，利用有限幅波理論分析船舶高頻振動(dòng)更具有指導(dǎo)意義。