機床電主軸多結構耦合損耗因子的試驗研究

李海虹， 王 菲

(太原科技大學 機械工程學院，太原 030024)

機床電主軸作為數(shù)控機床核心功能部件之一，其動力學特性是確保其高速穩(wěn)定運行的關鍵因素，實現(xiàn)電主軸動力學精細化建模研究具有重要意義。電主軸將機床主軸與電機融合，結構復雜，其系統(tǒng)動力學模型不易求解或采用簡化建模[1]。而統(tǒng)計能量分析理論利用統(tǒng)計方法將復雜的數(shù)理方程轉為代數(shù)方程求解，從而實現(xiàn)復雜動力學系統(tǒng)的分析，目前已廣泛應用于航空、航天研究領域的振動問題求解。

統(tǒng)計能量方法分析的關鍵參數(shù)有模態(tài)密度，內損耗因子和耦合損耗因子。目前針對這些參數(shù)進行了許多研究，涉及理論計算或與試驗測試相結合的方法進行參數(shù)獲取。如張永杰等[2]研究了基于脈沖激勵的內損耗因子獲取方法。Zhao等[3]利用有限元計算空間和頻域平均的子系統(tǒng)能量比完成耦合損耗因子研究。巨樂等[4]提出用總損耗因子代替內損耗因子方法解決實際工程中子系統(tǒng)不可分離問題等。對于復雜結構，科學合理的試驗方法將更可能獲取最接近實際結構的參數(shù)。如Lin等[5]試驗研究了穩(wěn)態(tài)激勵功率輸入法獲取損耗因子。由于穩(wěn)態(tài)激勵方法需要較高的實驗條件，而且參數(shù)估計算法需要依靠較多的假設條件才能完成，周鳳敏等[6]推導了瞬態(tài)激勵條件下系統(tǒng)能量平衡 方程，建立了多結構耦合統(tǒng)計能量模型，并證明了其瞬態(tài)能量平衡方程合理性。張紅亮等[7]通過瞬態(tài)激勵實驗研究了1/3倍頻程分析中心頻率內損耗因子。但是，目前通過瞬態(tài)激勵條件下均值導納測得能量比，并用于耦合損耗因子的研究尚未有相關文獻記載。

本文針對部分不易拆卸的高速主軸系統(tǒng)，引入總損耗因子等效其內損耗因子，綜合瞬態(tài)激勵條件下均值導納法和瞬態(tài)能量平衡方程，測量兩圓柱殼體耦合損耗因子，并與理論均值導納對比驗證瞬態(tài)激勵條件下其試驗理論的可行性。

1 耦合損耗因子試驗理論

1.1 瞬態(tài)衰減法測內損耗因子

耦合系統(tǒng)內損耗因子是反映子系統(tǒng)阻尼特性的量，是系統(tǒng)在單位頻率內的損耗能量與平均存儲能量比值，為系統(tǒng)固有特性，只與材料特性有關。用于測試分析頻帶內平均內損耗因子的方法通常由穩(wěn)態(tài)能量流法和瞬態(tài)衰減法[8]。瞬態(tài)衰減法測試頻段寬，測試精度高，易于操作等優(yōu)點得到普遍應用[9]。瞬態(tài)激勵為寬頻帶激勵，損耗因子是與分析頻率相關參數(shù)，但不必求得每一頻率的損耗因子，因此一般多采用1/3倍頻程分析頻域，只需計算1/3倍頻程中心處的內損耗因子[10]。當響應信號經過1/3倍頻程濾波器截取各段1/3倍頻程頻域信號，通過Hilbert變換得響應解析信號的實信號包絡取對數(shù)更清楚反映信號幅值衰減趨勢。在實際測量中，衰減率δsn隨時間變化會出現(xiàn)明顯分段現(xiàn)象，在獲取衰減率δsn中數(shù)據的選擇、分段等總會帶有主觀性，對測量結構產生一定的誤差。此時需將相應N分段衰減率δsn進行算術平均，進而獲得加速度響應信號包絡對數(shù)曲線衰減率計算各段1/3中心頻率處fc平均內損耗因子ηsi關系式

(1)

(2)

式中：δsn為1/3倍頻程響應點加速度包絡對數(shù)曲線第n段內損耗衰減率；Asn(t1),Asn(t2)為第n段內損耗衰減率始末點幅值；ηsi為i子系統(tǒng)1/3倍頻程平均內損耗因子；fc為1/3倍頻程分析帶寬中心頻率。

1.2 瞬態(tài)衰減法測總損耗因子

瞬態(tài)衰減法測量子系統(tǒng)內損耗因子ηsi試驗理論同樣適用于測量子系統(tǒng)總損耗因子ηTsi。與其區(qū)別之處在于測量條件的要求： 總損耗因子ηTsi主要針對多系統(tǒng)裝配體而言，激勵其一子系統(tǒng)測得等效內損耗因子。對于測量子系統(tǒng)內損耗因子ηsi時，須使其水平自由懸掛，自由邊界條件下可忽略子系統(tǒng)邊界損耗因子，減少邊界條件對能量傳遞的影響，便可解除子系統(tǒng)間耦合而獨立測量； 對于測量總損耗ηTsi因子時，將耦合系統(tǒng)水平自由懸掛，脈沖外力依次激勵子系統(tǒng)i時，采集子系統(tǒng)i上響應點加速度信號并計算總損耗因子ηTsi。

(3)

(4)

式中：ηTsn為1/3倍頻程響應點加速度包絡對數(shù)曲線第n段總損耗衰減率；ATsn(t1),ATsn(t2)為第n段總損耗衰減率始末點幅值；ηTsi為子系統(tǒng)i的1/3倍頻程平均總損耗因子。

1.3 均值導納法求子系統(tǒng)能量比

均值導納表示子系統(tǒng)間的振動能量比，綜合了統(tǒng)計能量分析法和導納法的優(yōu)點，克服了經典統(tǒng)計能量分析法假設條件的局限性。耦合子系統(tǒng)能量比是當其一子系統(tǒng)受到外部激勵時，兩個子系統(tǒng)的振動能量比值同時表示振動能量在整個耦合系統(tǒng)中的傳遞特性。同一子系統(tǒng)上任意兩點的傳遞導納可以用平均傳遞導納表示，同一連接處的輸入點導納也可以用平均輸入點導納來近似。對于一個子系統(tǒng)的平均輸入點導納和平均傳遞點導納僅僅表示子系統(tǒng)本身的特性，因此同樣須要解除與其相鄰子系統(tǒng)耦合而獨立測量。根據均值導納法求子系統(tǒng)能量比表達式[11]

(5)

(6)

式中：E21為僅當子系統(tǒng)1受瞬態(tài)激勵時，子系統(tǒng)2與子系統(tǒng)1的平均能量之比值E2/E1；E12為僅當子系統(tǒng)2受瞬態(tài)激勵時，子系統(tǒng)1與子系統(tǒng)2的平均能量之比值E1/E2；n1,n2為子系統(tǒng)1,2分析頻帶中心頻率fc平均模態(tài)密度；G1,G2為子系統(tǒng)1,2輸入點力導，量值上等于輸入點導納實部；Y1,Y2為子系統(tǒng)1,2連接處的輸入點均值導納；y1,y2為子系統(tǒng)1,2傳遞點均值導納；M為獨立連接點個數(shù)。

在試驗測量分析頻帶中心頻率fc的均值輸入點導納時， 通過瞬時激勵力自功率譜Sff(fc)與相應加速度互功率譜Sfa(fc)比值求得精度高于通過激勵力與響應速度比值，因此試驗測得輸入點均值導納Ysi公式[12]

(7)

同樣，試驗測得均值傳遞點導納ysi公式

(8)

分析頻帶中心頻率fc的模態(tài)密度ni公式[13]

ni=4miRe{Yi},i=1,2

(9)

式中：mi為子系統(tǒng)i的質量。

1.4 瞬態(tài)激勵耦合損耗因子

耦合損耗因子與系統(tǒng)結構形式和結合面連接形式密切相關，是統(tǒng)計能量分析中唯一用于表示耦合系統(tǒng)間功率流傳遞和耗散的重要參數(shù)。區(qū)別內損耗因子ηsi和總損耗因子ηTsi之處在于： 耦合損耗因子ηij針對耦合系統(tǒng)而言，主要用來表示連接處的振動能量損耗。瞬態(tài)激勵下耦合系統(tǒng)的統(tǒng)計能量分析的平衡方程與穩(wěn)態(tài)激勵下能量平衡方程形式類似，瞬態(tài)激勵主要以功率流的形式來表示，不同激勵方式能量流動不同，子系統(tǒng)間能量比就不同，通過式(2)～ 式(4)測得子系統(tǒng)i總損耗因子ηTsi和內損耗因子ηsi， 一般情況下耦合損耗因子η12≠η21， 則可由瞬態(tài)能量平衡方程

(10)

(11)

(12)

由式(10)～式(12)得簡化瞬態(tài)能量平衡方程

ηTs1=2(ηs1+η12-η21E21)

(13)

ηTs2=2(ηs2-η12E12-η21)

(14)

將式(13)、式(14)簡化整理得耦合損耗因子并轉換為噪聲(聲壓)級dB表達式

(15)

(16)

式中：p0為噪聲基準(聲壓)級。

2 耦合損耗因子試驗

2.1 瞬態(tài)激勵試驗方案及內損耗因子的測量

瞬態(tài)激勵試驗研究對象為兩子系統(tǒng)耦合結構-小型高速電主軸，其子系統(tǒng)1為由轉子、定子、筒體組成多結構裝配且不可拆卸的高速電主軸主體，以測量其總損耗因子等效為子系統(tǒng)1內損耗因子ηs1[14]；子系統(tǒng)2為單結構的圓柱殼體端蓋， 其內損耗因子ηs2必須要求與子系統(tǒng)1解除耦合而獨立測量。以子系統(tǒng)2為例說明，試驗采用高彈性橡皮繩系子系統(tǒng)2兩端使其水平懸吊處于自由邊界條件下測量內損耗因子ηs2。瞬態(tài)激勵試驗方案及試驗設備如圖1所示，子系統(tǒng)2體積較小，圓周環(huán)形均布了4×1個激勵點，多點激勵一點響應方式順序多次激勵，力傳感器采集瞬態(tài)激勵力信號，加速度傳感器采集響應點加速度信號。

圖1 瞬態(tài)激勵試驗方案及試驗設備Fig.1 Transient excitation test scheme and test equipment

瞬態(tài)激勵試驗現(xiàn)場搭建如圖2所示，首先錘擊分布在子系統(tǒng)2圓周面上一激勵點，以觸發(fā)激勵方式開始采樣，采樣頻率20 kHz采集8 192個連續(xù)數(shù)據點，加速度傳感器采集響應信號經電荷放大器、數(shù)據分析儀通道傳輸?shù)椒治鲕浖崛№憫c加速度數(shù)據，導入MATLAB軟件消除直流分量、50 Hz工頻項等信號數(shù)據預處理，如圖3所示。

圖2 瞬態(tài)激勵試驗現(xiàn)場布置圖Fig.2 Transient excitation test site layout

圖3 子系統(tǒng)1響應點加速度時域信號Fig.3 Response point acceleration time domainsignal of the subsystem 1

以分析頻帶中心頻率fc=1 000 Hz為例，通過1/3倍頻程帶通濾波截取各頻段信號，經Hilbert變換得解析信號包絡，對相應頻段內包絡解析信號幅值取對數(shù)lnAsn(t)如圖4所示其衰減率δsn出現(xiàn)明顯分段現(xiàn)象，根據式(1)、式(2)計算瞬態(tài)衰減包絡曲線衰減率δsn再取算術平均值。

圖4 解析響應信號包絡取對數(shù)ln Asn(t)Fig.4 Parse the response signal envelope to takethe logarithm ln Asn(t)

按照上述瞬態(tài)激勵試驗過程，依次多次激勵不同激勵點分析相對應加速度響應求得平均子系統(tǒng)i內損耗因子ηsi。如圖5測量數(shù)據顯示可得出子系統(tǒng)i內損耗因子ηsi多分布在10-4～10-3量級且總體趨勢隨中心頻率fc增大而降低。

圖5 子系統(tǒng)i內損耗因子ηsiFig.5 The damping loss factors ηsiof subsystem i

2.2 子系統(tǒng)總損耗因子的測量

將子系統(tǒng)1與子系統(tǒng)2由4個螺栓緊固連接，兩端自由懸吊，以子系統(tǒng)1總損耗因子測量過程為例，正如總損耗因子ηTs1試驗測量圖6所示，在子系統(tǒng)1圓周面布置4×4個激勵點，同樣多點激勵一響應，依次瞬態(tài)激勵子系統(tǒng)1上分布點，獲取響應點數(shù)據，同測量子系統(tǒng)內i損耗因子ηsi過程。根據式(3)、式(4)分析計算子系統(tǒng)i總損耗因子ηTsi，如圖7所示。

圖6 子系統(tǒng)1總損耗因子ηTs1試驗測量圖Fig.6 The total loss factor ηTs1test instrumentationof subsystem 1

圖7 子系統(tǒng)i總損耗因子ηTsiFig.7 Subsystem i the total loss factor ηTsi

正如圖7測量數(shù)據所示子系統(tǒng)i總損耗因子同樣分布在10-4～10-3量級且總體趨勢是隨中心頻率fc增大而降低。根據穩(wěn)態(tài)激勵條件下功率流平衡方程[16]，只當子系統(tǒng)1受激勵時

(17)

穩(wěn)態(tài)內損耗因子ηsi作為總損耗因子ηTsi算術和的一部分， 子系統(tǒng)總損耗因子ηTsi總是大于子系統(tǒng)內損耗因子ηsi； 而根據瞬態(tài)激勵條件下功率流平衡方程，只當子系統(tǒng)1受激勵時

(18)

式中： 瞬態(tài)子系統(tǒng)總損耗因子ηTsi與內損耗因子ηsi不存在絕對大小關系， 須考慮子系統(tǒng)內損耗因子ηsi之間的參數(shù)大小。

2.3 子系統(tǒng)耦合損耗因子測量及理論預測對比

根據瞬態(tài)能量平衡方程式(13)、式(14)可知，耦合損耗因子的求解子系統(tǒng)振動能量比的獲取是關鍵所在。由均值導納法及經典機械導納理論主要包括輸入點導納和傳遞點導納，反映了單位力單點激勵下結構上某點的振動響應特性。特定結構有其特定的導納代表本身特性，在試驗過程中，可以解除耦合獨立測量，對于大多數(shù)機械結構，試驗測量其子系統(tǒng)傳遞點導納ysi遠小于輸入點導納Ysi[17]，通過試驗也證實了此理論，因此均值導納法求子系統(tǒng)能量比式(5)、式(6)可簡化為以子系統(tǒng)1為例說明，均值導納的引入極大的簡化試驗的繁瑣程度，子系統(tǒng)1與子系統(tǒng)2間用4個螺釘緊固連接，可視為多點連接的情況，僅僅通過依次激勵子系統(tǒng)1螺釘連接處分布的4個激勵點，測得響應點加速度響應信號，同時通過力傳感器測得力信號，根據式(7)計算輸入點均值導納Ysi。

(19)

(20)

表1 子系統(tǒng)耦合損耗因子計算參數(shù)

在理論分析圓柱殼體的耦合損耗因子時，須考慮曲率對其的影響，以環(huán)頻率fr為分析圓柱殼體耦合損耗因子臨界頻率點。環(huán)頻率之前，輸入點均值導納隨頻率增大，環(huán)頻率之后，輸入點均值導納趨于穩(wěn)定，理論預測圓柱殼體輸入點導納YLi[18]表達式

(21)

(22)

(23)

(24)

式中：CL為子系統(tǒng)縱向波速；hi為子系統(tǒng)i殼體厚度；Mi為子系統(tǒng)i彎曲剛度。

根據表1子系統(tǒng)參數(shù)及式(21)～式(24)理論預測輸入點均值導納YLi， 并與試驗測量值Ysi對比如圖8所示， 瞬態(tài)激勵條件下測量的1/3倍頻程中心頻率fc的子系統(tǒng)輸入點均值導納Ysi總體趨勢沿著理論預測值YLi趨勢上下波動，驗證輸入點均值導納瞬態(tài)試驗測量的正確性。

最后將瞬態(tài)試驗測得均值導納值Ysi與理論預測值YLi代入由瞬態(tài)能量平衡方式推導的系統(tǒng)耦合損耗因子η12，η21表達式(15)、式(16)計算結果如圖9、圖10所示。

圖8 子系統(tǒng)i輸入點均值導納試驗與理論預測值對比圖Fig.8 The average admittances of input point the lossfactors between test and theory of subsystem i

圖9 瞬態(tài)試驗與理論預測耦合損耗因子η12Fig.9 The coupling loss factors η12betweentransient test and theory predicting

圖10 瞬態(tài)試驗與理論預測耦合損耗因子η21Fig.10 The coupling loss factor η21betweentransient test and theory predicting

根據瞬態(tài)試驗測得1/3倍頻程分析中心頻率fc耦合損耗因子η12，η21與理論預測結果相對比，上下波動趨勢保持一致，平均誤差小于5 dB，驗證了瞬態(tài)激勵條件下測量耦合損耗因子試驗理論的可行性。

3 結 論

本文提出了瞬態(tài)條件下利用均值導納和瞬態(tài)能量平衡方程預測耦合損耗因子的試驗方法，并通過理論對比驗證了該方法的可行性，得到以下結論：

(1) 該方法試驗驗證了瞬態(tài)激勵條件下利用均值導納法和瞬態(tài)能量平衡方程預測耦合損耗因子的試驗理論的合理性，克服了傳統(tǒng)穩(wěn)態(tài)激勵條件下，試驗不易進行且過多引入傳統(tǒng)統(tǒng)計能量分析的假設條件等不足。

(2) 瞬態(tài)激勵試驗過程可充分利用瞬態(tài)衰減法、均值導納法的快速、簡便的優(yōu)勢并避免了穩(wěn)態(tài)激勵試驗過程中隨時間變化的響應信號便宜而產生的較大誤差。

(3) 鑒于瞬態(tài)激勵下的耦合圓柱殼體振動特性復雜，為了避免隨機誤差造成的1/3倍頻程分析帶寬中心頻率處的統(tǒng)計能量參數(shù)值產生較大波動，采用多次測量取平均值的方式能夠有效提高試驗分析的精度。

(4) 該方法可以高效、高精度的預測耦合損耗因子，為高速數(shù)控機床電主軸統(tǒng)計能量分析模型振動系統(tǒng)初步設計及主動控制系統(tǒng)響應提供有效數(shù)據參考。