應(yīng)用自適應(yīng)帶寬信號(hào)的BS-EMD混疊消除

蔣永華， 焦衛(wèi)東， 李榮強(qiáng)， 唐 超， 鄭佳佳， 蔡建程

(浙江師范大學(xué) 精密機(jī)械研究所，浙江 金華 321004)

在工程實(shí)際中，旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障振動(dòng)信號(hào)大部分是非平穩(wěn)、非線性信號(hào)。對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，采用傳統(tǒng)的Fourier變換無(wú)法滿足對(duì)此類信號(hào)的分析需求[1]。EMD[2-3]是美籍華人Huang提出的一種非平穩(wěn)信號(hào)自適應(yīng)分解方法[4]，其本質(zhì)是對(duì)信號(hào)進(jìn)行平穩(wěn)化處理，把復(fù)雜的信號(hào)分解成有限個(gè)本征模態(tài)分量(Intrinsic Mode Function, IMF)[5]。它是一種無(wú)需任何先驗(yàn)知識(shí)的自適應(yīng)時(shí)頻分析方法，能夠很好地體現(xiàn)非平穩(wěn)信號(hào)的局部特性，已應(yīng)用于信號(hào)檢測(cè)、橋梁故障監(jiān)測(cè)、醫(yī)學(xué)信號(hào)監(jiān)測(cè)等眾多工程領(lǐng)域[6]。但是，EMD方法仍然存在許多需要改進(jìn)的地方，如端點(diǎn)效應(yīng)、模態(tài)混疊等問(wèn)題。模態(tài)混疊現(xiàn)象最早由Huang通過(guò)對(duì)含有間斷信號(hào)的EMD分解時(shí)發(fā)現(xiàn)，它嚴(yán)重影響了EMD的應(yīng)用效果，阻礙了EMD在工程中的推廣應(yīng)用。

針對(duì)模態(tài)混疊問(wèn)題，Huang提出通過(guò)預(yù)先設(shè)定尺度(極值點(diǎn)間距離)上限實(shí)現(xiàn)間斷判別來(lái)抑制模態(tài)混疊的思想，但是并沒(méi)給出詳細(xì)的處理方法，而且需要預(yù)先了解信號(hào)的基本特點(diǎn)，難以實(shí)現(xiàn)；馬文朋等[7]針對(duì)EMD在工程應(yīng)用中存在的端點(diǎn)效應(yīng)和模式混疊問(wèn)題，提出了一種改進(jìn)的EMD方法;Rilling等[8]提出局部EMD方法，在一定程度上改善了模態(tài)混疊，但在窗函數(shù)的寬度選擇上會(huì)帶入主觀因素；鄭源等[9]提出了一種改進(jìn)的EMD-ICA方法，以IMF的能量波動(dòng)系數(shù)為指標(biāo)設(shè)定閾值，判斷是否發(fā)生模態(tài)混疊，排除虛假IMF；禹丹江等[10]通過(guò)設(shè)置間斷頻率來(lái)避免模態(tài)混疊，使每一個(gè)IMF表示結(jié)構(gòu)的某一階固有模態(tài)，但是間斷頻率作為篩分過(guò)程的一個(gè)附件條件會(huì)對(duì)分解結(jié)果造成未知的偏差；Ryan等[11]提出了掩膜信號(hào)法，該方法對(duì)于小頻率比混合信號(hào)引起的模態(tài)混疊有較好效果，但在頻譜圖上仍能看到混疊分量存在；對(duì)此，趙玲等提出一種改進(jìn)的掩膜信號(hào)法，以能量為基礎(chǔ)對(duì)掩膜信號(hào)的選擇進(jìn)行了改進(jìn)，但是對(duì)于不同的混合信號(hào)，掩膜信號(hào)的幅值和頻率確定具有一定難度；Wu等[12]提出了總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EEMD)方法，對(duì)間斷信號(hào)引起的模態(tài)混疊具有很好的抑制效果，但是對(duì)于小頻率比信號(hào)產(chǎn)生的模態(tài)混疊效果不理想。另外，EEMD需要進(jìn)行幾十至上百次的EMD運(yùn)算，效率很低。同時(shí)，為了使EEMD實(shí)現(xiàn)理想的分解結(jié)果，預(yù)先需要知道信號(hào)的信噪比；肖瑛等[13]提出解相關(guān)EMD方法，通過(guò)在EMD過(guò)程中嵌入解相關(guān)操作來(lái)解決模態(tài)混疊問(wèn)題；陳建國(guó)等[14]采用獨(dú)立分量分析(ICA)來(lái)抑制模態(tài)混疊；湯寶平等[15]對(duì)信號(hào)進(jìn)行形態(tài)濾波后再進(jìn)行峭度最大化的ICA來(lái)實(shí)現(xiàn)混疊成分的分離，但是ICA的幅度不確定性會(huì)限制對(duì)信號(hào)能量信息的分析判斷；鄭近德等[16]針對(duì)EMD存在的包絡(luò)誤差，模態(tài)混疊，端點(diǎn)效應(yīng)等缺陷，提出了一種改進(jìn)的HHT方法(IHHT)；湯寶平等采用形態(tài)奇異值分解對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理來(lái)消除模態(tài)混疊和邊界效應(yīng)，提高EMD分解質(zhì)量；曹瑩等提出了基于形態(tài)濾波預(yù)處理與端點(diǎn)延拓相結(jié)合的方法來(lái)抑制模態(tài)混疊；胡愛(ài)軍等提出了一種高頻諧波加入法(HFHA-EMD)，通過(guò)加入高頻諧波后再進(jìn)行EMD分解來(lái)消除模態(tài)混疊。高頻諧波頻率根據(jù)采樣頻率選擇在分析頻率的上限附近，幅值取接近原始信號(hào)的幅值，據(jù)此來(lái)確定高頻諧波的幅值和頻率具有一定難度。本文利用EMD的二進(jìn)帶通濾波特性和總是先分離高頻分量的特點(diǎn)，基于高頻諧波加入法原理并對(duì)高頻諧波信號(hào)的構(gòu)造進(jìn)行改進(jìn)，根據(jù)被分析信號(hào)的BS-EMD得到的第一個(gè)IMF分量確定帶寬限制頻率和帶寬限制幅值，從而構(gòu)造出自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)。通過(guò)在原始信號(hào)中添加自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)來(lái)改變EMD帶通濾波器的中心頻率，再進(jìn)行BS-EMD分解消除模態(tài)混疊。

1 EMD模態(tài)混疊現(xiàn)象及產(chǎn)生機(jī)理

EMD的分解過(guò)程依賴信號(hào)本身包含的變化信息，是一種自適應(yīng)的信號(hào)分解方法。但是，在某些情況下，EMD得到的IMF會(huì)產(chǎn)生模態(tài)混疊現(xiàn)象。模態(tài)混疊具體有以下兩種表現(xiàn)形式：①單個(gè)IMF中包含不同尺度或頻率的多個(gè)信號(hào)；②同一尺度或頻率的信號(hào)被分解到多個(gè)不同的IMF中。表現(xiàn)為相鄰兩個(gè)IMF波形混疊，相互影響，難以辨別，致使后續(xù)的時(shí)頻分布混淆，也導(dǎo)致混疊的IMF缺乏足夠的物理意義。

產(chǎn)生模態(tài)混疊的原因主要包括以下幾個(gè)方面：①混合信號(hào)的組合分量的頻率過(guò)于接近(不滿足條件f1/f2<0.5)；②信號(hào)中含有小幅值高頻間斷信號(hào)；③信號(hào)中存在脈沖干擾和噪聲。

對(duì)于混合信號(hào)的組合分量的頻率過(guò)于接近引起的模態(tài)混疊現(xiàn)象。究其原因，是因?yàn)樾盘?hào)所包含的兩個(gè)分量頻率太過(guò)接近時(shí)，EMD很容易將這個(gè)信號(hào)解釋成由一定調(diào)制程度的IMF組成，這就偏離了原信號(hào)的本質(zhì)，因此，EMD不能將它們完全分解到兩個(gè)IMF中，造成模態(tài)混疊。

對(duì)于信號(hào)中含有異常成分(小幅值高頻間斷信號(hào))引起的模態(tài)混疊現(xiàn)象。究其原因，是因?yàn)楫惓Ｊ录?如小幅值高頻間斷信號(hào))的存在造成了局部極值點(diǎn)的異常分布，為保證包絡(luò)線的光滑性，三次樣條插值產(chǎn)生的包絡(luò)不可避免會(huì)產(chǎn)生失真，比如出現(xiàn)過(guò)沖和欠沖現(xiàn)象，從而使得分解結(jié)果中包含了信號(hào)和異常事件，造成模態(tài)混疊。可以說(shuō)，在間斷信號(hào)處包絡(luò)線的過(guò)沖和欠沖現(xiàn)象是產(chǎn)生模態(tài)混疊的重要原因之一。

對(duì)于信號(hào)中存在脈沖干擾和噪聲引起的模態(tài)混疊現(xiàn)象，作者已做了相關(guān)研究，限于篇幅，不再贅述，詳見(jiàn)湯寶平等的研究結(jié)論。

2 模態(tài)混疊消除方法

2.1 BS-EMD

曲線擬合是EMD中的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，直接影響到EMD結(jié)果。三次樣條插值算法容易產(chǎn)生過(guò)沖和欠沖現(xiàn)象。而在間斷信號(hào)處包絡(luò)線的過(guò)沖和欠沖現(xiàn)象則是產(chǎn)生模態(tài)混疊的重要原因之一。B樣條曲線不僅保持了三次樣條曲線的優(yōu)點(diǎn)，而且還具有良好的局部性和連續(xù)性。此外，B樣條插值直接擬合均值曲線，無(wú)需計(jì)算上、下包絡(luò)線，因此減少了計(jì)算量，加快了擬合均值曲線的速度，提高了EMD分解的時(shí)效性。因此，在EMD的曲線擬合方法上，B樣條插值算法是一種更為理想的選擇。故本文研究基于三次B樣條曲線插值算法的EMD，簡(jiǎn)稱BS-EMD。BS-EMD分解過(guò)程如下：

(1) 求得信號(hào)x(t)的所有極值點(diǎn)(不區(qū)分極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn))；

(4) 計(jì)算x(t)與m(t)的差， 即x(t)-m(t)=h1(t)；

(5) 判斷是否為第一個(gè)IMF分量c1(t)， 否則，重復(fù)以上步驟，直至得到第一個(gè)IMF分量；

(6)x(t)減去c1(t)作為新的原信號(hào)重復(fù)以上步驟n次， 可依次得到x(t)的第n個(gè)IMF分量和第n階殘余分量rn(t)；

(7) 當(dāng)rn(t)成為一個(gè)單調(diào)函數(shù)不能再?gòu)闹刑崛MF分量時(shí)，循環(huán)結(jié)束，整個(gè)分解過(guò)程也終止。

用仿真算例說(shuō)明BS-EMD優(yōu)于三次樣條EMD。采用兩個(gè)頻率接近的余弦信號(hào)疊加生成的信號(hào)，如下

x1(t)=cos(2π10t)+cos(2π14t)

(1)

信號(hào)由幅值為1、頻率分別為f1=10 Hz和f2=14 Hz的兩個(gè)余弦信號(hào)組成。采樣頻率為500 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為500點(diǎn)。

顯然，信號(hào)不滿足條件f1/f2<0.5。 其時(shí)域波形如圖1所示。 采用基于三次樣條的EMD對(duì)x1(t)進(jìn)行分解， 結(jié)果如圖2所示， 其Hilbert譜如圖3所示。

圖2 仿真信號(hào)x1(t)三次樣條EMD的分解結(jié)果Fig.2 Decomposition result of x1(t) by cubic spline based

圖3 仿真信號(hào)x1(t)三次樣條EMD的Hilbert譜Fig.3 Hilbert spectrum of x1(t) by cubic spline based EMD

從圖2可知，分解出了4個(gè)IMF分量和一個(gè)余項(xiàng)。其中，IMF1和IMF2分別為14 Hz和10 Hz的兩個(gè)余弦信號(hào)。但是，EMD沒(méi)有將兩個(gè)余弦分量完全分解到IMF1和IMF2中，10 Hz的IMF2分量的一部分信息被分解到了14 Hz的IMF1分量中。因此，EMD沒(méi)有將它們完全分解到兩個(gè)IMF中，分解結(jié)果無(wú)論是幅值還是頻率都有誤差，產(chǎn)生了模態(tài)混疊。從圖3中可看出，兩個(gè)信號(hào)分量的頻率波形很大，且相互混疊，很難準(zhǔn)確地分辨出兩個(gè)余弦信號(hào)的頻率，即模態(tài)混疊致使時(shí)頻分布混淆。此外譜線的兩端出現(xiàn)了明顯的端點(diǎn)效應(yīng)。

究其原因，是因?yàn)樾盘?hào)所包含的兩個(gè)分量頻率太過(guò)接近時(shí)，EMD很容易將其解釋成由一定調(diào)制程度的IMF組成，這就偏離了原信號(hào)的本質(zhì)，因此，EMD不能將它們完全分解到兩個(gè)IMF中，造成模態(tài)混疊。

對(duì)仿真信號(hào)x1(t)采用BS-EMD方法進(jìn)行分解，結(jié)果如圖4所示，其Hilbert譜如圖5所示。

圖4 仿真信號(hào)x1(t)的BS-EMD分解結(jié)果Fig.4 Decomposition result of x1(t) by BS-EMD

圖5 仿真信號(hào)x1(t) BS-EMD的Hilbert譜Fig.5 Hilbert spectrum of x1(t) by BS-EMD

對(duì)比圖2與圖4可知，盡管BS-EMD也存在著模態(tài)混疊現(xiàn)象，但仍可看出BS-EMD的結(jié)果要優(yōu)于三次樣條EMD。三次樣條EMD的IMF1的幅值達(dá)到了2.5且波形相較于余弦信號(hào)而言更接近于調(diào)制信號(hào)，同時(shí)，IMF2的幅值卻不足0.5且波形兩端存在著明顯的發(fā)散現(xiàn)象，此外，虛假分量IMF3的幅值也較大。相比較而言，BS-EMD的IMF1和IMF2更接近于真實(shí)的余弦信號(hào)，且IMF2端點(diǎn)處無(wú)明顯發(fā)散現(xiàn)象。這是因?yàn)锽樣條插值算法是直接擬合均值曲線，避免了三次樣條插值算法的過(guò)沖與欠沖現(xiàn)象，減小了EMD的分解誤差，提高了EMD分解精度。

進(jìn)一步地，對(duì)比圖3和圖5可知。雖然BS-EMD的兩個(gè)信號(hào)的頻率也存在著一定的波動(dòng)，但是相比較三次樣條EMD而言波動(dòng)要小的多，尤其是第二個(gè)頻率分量。從圖5中已能夠準(zhǔn)確地區(qū)分出兩個(gè)余弦信號(hào)的頻率，即10 Hz和14 Hz。此外，譜線兩端的端點(diǎn)效應(yīng)也沒(méi)三次樣條那么明顯。因此，基于BS-EMD的頻率分辨能力也要優(yōu)于三次樣條EMD。雖然BS-EMD的Hilbert譜可以區(qū)分出兩個(gè)余弦分量的頻率，但是譜線并不是兩條直線，而是具有一定的波動(dòng)性，這是由于模態(tài)混疊造成的。

促銷活動(dòng)，主要是為了更多地促進(jìn)本公司產(chǎn)品的銷售，而在一定時(shí)間內(nèi)對(duì)產(chǎn)品的營(yíng)銷。對(duì)于南通鵬越紡織有限公司而言，人員推銷、直復(fù)營(yíng)銷等方式，是其使用較為頻繁的促銷方式。一方面，通過(guò)促銷人員對(duì)潛在客戶和直接客戶的溝通交流，去推賣產(chǎn)品；另一方面，南通鵬越紡織有限公司的直復(fù)營(yíng)銷種類較多，其中電話營(yíng)銷是其運(yùn)用最多的營(yíng)銷方式。通過(guò)電話的對(duì)接，與客戶進(jìn)行多次的明確的溝通交流，按照客戶要求確定數(shù)量和產(chǎn)品，生產(chǎn)包裝，并啟動(dòng)物流送達(dá)客戶手中。

2.2 自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)法

EMD分解是從高頻到低頻逐次分解的過(guò)程，含高頻成分的IMF總是最先被分解出來(lái)。因此，本文利用EMD分解的二進(jìn)帶通濾波特性和總是先分離高頻分量的特點(diǎn)，借鑒胡愛(ài)軍等的高頻諧波加入法(HFHA-EMD)原理，采用在原始信號(hào)中添加帶寬限制信號(hào)的方法，來(lái)改變EMD帶通濾波器中心頻率。由于帶寬限制信號(hào)頻率較高，因此，EMD分解總是最先把這個(gè)帶寬限制信號(hào)的所有信息分解出來(lái)，包含在第一階IMF分量中，由于帶寬限制信號(hào)已知，因此，將第一個(gè)IMF減去帶寬限制信號(hào)便可得到原始信號(hào)真正的第一個(gè)IMF分量。若原始信號(hào)中含有異常成分，則第一階IMF即為帶寬限制信號(hào)和異常成分，而原始信號(hào)中的第一個(gè)真實(shí)分量將基本不會(huì)被分解到這階IMF中，因此，可直接將這階IMF去掉。

因此，如何構(gòu)造一個(gè)合理的帶寬限制信號(hào)是關(guān)鍵。胡愛(ài)軍等建議構(gòu)造高頻諧波時(shí)，其頻率根據(jù)采樣頻率選擇在分析頻率的上限附近，其幅值取接近原始信號(hào)的幅值，據(jù)此來(lái)確定高頻諧波的幅值和頻率具有一定難度。此外，這種方法構(gòu)造的高頻諧波信號(hào)沒(méi)有充分利用被分析信號(hào)自身的特點(diǎn)，因此也不具有自適應(yīng)性。本文對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，根據(jù)被分析信號(hào)自身的特點(diǎn)進(jìn)行自適應(yīng)構(gòu)造帶寬限制信號(hào)。具體構(gòu)造方法如下：

(1) 對(duì)信號(hào)x(t)進(jìn)行BS-EMD分解， 得到第一階IMF分量c1(t)和一個(gè)余項(xiàng)r1(t)， 即：x(t)=c1(t)+r1(t)；

(2) 對(duì)c1(t)做Hilbert變換，根據(jù)式(2)計(jì)算平均頻率favr：

(2)

式中：a1(t)和f1(t)分別為c1(t)瞬時(shí)幅值和瞬時(shí)頻率。

(3) 根據(jù)式(3)得到帶寬限制信號(hào)頻率fbr：

fbr=αfavr

(3)

式中：α為帶寬限制頻率系數(shù)。

(4) 根據(jù)式(4)計(jì)算c1(t)的平均幅值aavr：

(4)

abr=βaavr

(5)

式中：β為帶寬限制幅值系數(shù)。

(6) 根據(jù)fbr和abr構(gòu)造帶寬限制信號(hào)：

xbr(t)=abrcos(2πfbrt)

(6)

由于帶寬限制信號(hào)頻率fbr和帶寬限制信號(hào)幅值abr都是根據(jù)被分析信號(hào)的第一個(gè)IMF分量c1(t)計(jì)算得到， 而EMD本身是一種自適應(yīng)的信號(hào)分解方法，因此， 由fbr和abr構(gòu)造的帶寬限制信號(hào)也具有自適應(yīng)性，稱之為自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)。

帶寬限制頻率系數(shù)α的取值，對(duì)于頻率相近信號(hào)之間相互作用引起的模態(tài)混疊問(wèn)題， 信號(hào)c1(t)的平均頻率favr介于幾個(gè)真實(shí)分量頻率之間， 因此系數(shù)α可適當(dāng)取大一些，使得最終構(gòu)造的帶寬限制信號(hào)頻率高于信號(hào)自身最高頻率分量的頻率，實(shí)驗(yàn)分析表明α=1.4為宜(此值附近適當(dāng)調(diào)整取值，確定最佳取值，以下類同)；對(duì)于異常成分(小幅值高頻間斷信號(hào))引起的模態(tài)混疊問(wèn)題，由于異常成分是高頻信號(hào)(通常情況下都是比信號(hào)大好多倍)，使得信號(hào)c1(t)的平均頻率favr通常比較高，因此，α可適當(dāng)取小一些，取α=0.5為宜。帶寬限制幅值系數(shù)β的取值與α類似，但是，實(shí)驗(yàn)表明EMD方法對(duì)于帶寬限制信號(hào)的幅值取值的敏感性遠(yuǎn)不及頻率的取值，因此，取β=1.6為宜。

3 仿真分析與比較

(1) 仿真分析一：對(duì)含頻率相近分量的信號(hào)分解

考察3.1章節(jié)中的仿真信號(hào)x1(t)。首先根據(jù)對(duì)分析信號(hào)x1(t)進(jìn)行BS-EMD分解，再構(gòu)造自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)。由式(2)和式(4)可得favr=13.34 Hz、aavr=1.22。 取α=1.4、β=1.6則fbr=19、abr=2。因此，自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)xbr(t)=2cos(2π19t)， 如圖6所示。采用本文所提的基于自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)的BS-EMD方法方法對(duì)x1(t)進(jìn)行分解， 其BS-EMD分解結(jié)果和Hilbert時(shí)頻譜分別如圖7和8所示。

圖6 自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)的時(shí)域波形Fig.6 The waveform of adaptive bandwidth constrained

從圖7和圖8可看出，兩個(gè)分量已經(jīng)被完全分解到IMF1和IMF2中，頻率分別為14 Hz和10 Hz，幅值范圍均為[-1,1]，可知分解結(jié)果準(zhǔn)確地反應(yīng)了原始信號(hào)的特征。對(duì)比圖5和圖6可以說(shuō)明，基于自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)的BS-EMD方法可以有效抑制混合信號(hào)的組合分量的頻率過(guò)于接近引起的模態(tài)混疊現(xiàn)象。

圖7 基于自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)的BS-EMD分解結(jié)果Fig.7 Decomposition result of x2(t) by the proposed method

圖8 基于自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)的BS-EMD的Hilbert譜Fig.8 Hilbert spectrum of x2(t) by the proposed method

(2) 仿真分析二：對(duì)含異常成分(小幅值高頻間斷信號(hào))的信號(hào)分解

采用參考文獻(xiàn)[4]中的示例信號(hào)，由下式給出

x2(t)=sin(2π8t)+i(t)

(7)

式中：i(t)為幅值0.1， 頻率160 Hz的三段間斷正弦信號(hào)(分別為[287,337]、[537,587]、[787,837])。

采樣頻率為2 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1 200點(diǎn)，其時(shí)域波形如圖9所示。參考胡愛(ài)軍等給出采用三次樣條EMD的x2(t)分解結(jié)果，限于篇幅，本文不再重復(fù)給出。但在后續(xù)章節(jié)的其他內(nèi)容中會(huì)給出相應(yīng)的處理結(jié)果。

圖9 仿真信號(hào)x2(t)的時(shí)域波形Fig.9 The waveform of simulation

由式(2)和式(4)可得favr=268.33 Hz、aavr=0.58。 取α=0.5、β=1.6則fbr=134、abr=0.9。 構(gòu)造自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)xbr(t)=0.9cos(2π134t)， 如圖10所示。對(duì)x2(t)進(jìn)行分解，BS-EMD結(jié)果如圖11所示。

圖10 自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)的時(shí)域波形Fig.10 The waveform of adaptive bandwidth constrained signal

圖11 基于自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)的BS-EMD分解結(jié)果Fig.11 Decomposition result of x2(t) by the proposed method

從圖11可知，間斷信號(hào)和帶寬限制信號(hào)都已被分解到IMF1分量中，且間斷信號(hào)完全被帶寬限制信號(hào)所“淹沒(méi)”，而8 Hz的低頻正弦信號(hào)則基本被完全分解到IMF2分量中。將IMF1分量減去圖11的帶寬限制信號(hào)，則可以得到原始信號(hào)中的間斷正弦信號(hào)，結(jié)果如圖12所示。因此，此仿真分析說(shuō)明基于自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)的BS-EMD方法可以有效抑制異常成分(小幅值高頻間斷信號(hào))引起的模態(tài)混疊。

圖12 從IMF1中提取出的間斷正弦信號(hào)Fig.12 Intermittent sinusoidal signal obtained from IMF1

對(duì)比胡愛(ài)軍等的仿真計(jì)算(圖4)可知，兩種方法在抑制異常成分(小幅值高頻間斷信號(hào))引起的模態(tài)混疊方面都取得了較為理想的效果。為了不失一般性，胡愛(ài)軍等采用的仿真信號(hào)的三個(gè)間斷信號(hào)偏離了正弦信號(hào)的正峰位置。而為了便于與EMD和BS-EMD比較，也限于篇幅，本文沒(méi)有采用與胡愛(ài)軍等相同的信號(hào)進(jìn)行比較，應(yīng)該說(shuō)本文所用信號(hào)的情況更加復(fù)雜惡劣，也更易引起模態(tài)混疊現(xiàn)象。另外，本文在構(gòu)造自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)上更加明確可行，還充分利用了被分析信號(hào)自身的特點(diǎn)，因此也更具自適應(yīng)性。

胡愛(ài)軍等將HFHA-EMD與EEMD進(jìn)行了比較，證明了其比EEMD更有優(yōu)勢(shì)，因此，本文不再與EEMD做類似比較。此外，胡愛(ài)軍等沒(méi)有考慮到混合信號(hào)的組合分量的頻率過(guò)于接近引起的模態(tài)混疊現(xiàn)象，而本文則對(duì)此展開(kāi)了較為翔實(shí)的論證，因此，本文所做工作與胡愛(ài)軍等的研究工作互為補(bǔ)充、互為驗(yàn)證，也為EMD模態(tài)混疊問(wèn)題做了一個(gè)較為全面的分析和討論。

4 實(shí)際信號(hào)分析與比較

現(xiàn)以一實(shí)際信號(hào)來(lái)驗(yàn)證本文方法的有效性。圖13為使用加速度傳感器采集的某旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子測(cè)量面缺陷信號(hào)，采樣頻率為2 000 Hz，工頻為46.01 Hz。

圖13 旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子測(cè)量面缺陷信號(hào)Fig.13 Signal of the Rotor with measurement surface defects

圖14為該信號(hào)的三次樣條EMD分解結(jié)果，從圖中可以看出，信號(hào)時(shí)域波形含有脈沖、噪聲等異常成分， IMF3與IMF4之間存在著明顯的調(diào)制特征，表明出現(xiàn)了模態(tài)混疊現(xiàn)象。圖15為IMF3與IMF4兩個(gè)分量的功率譜，圖16(a)中，IMF3分量中不僅出現(xiàn)了二倍頻，還出現(xiàn)了功率較大的三倍頻和四倍頻；圖15(b)中，IMF4分量除了工頻成分及邊頻外，還出現(xiàn)了二倍頻，模態(tài)混疊現(xiàn)象嚴(yán)重。EMD分解結(jié)果不能體現(xiàn)設(shè)備的真實(shí)狀態(tài)。

圖14 轉(zhuǎn)子信號(hào)的三次樣條EMD的分解結(jié)果Fig.14 Decomposition result of the rotor signal based on EMD

利用本文方法進(jìn)行分析，由式(2)和式(4)得該轉(zhuǎn)子測(cè)量面缺陷信號(hào)favr=488.73 Hz、aavr=0.68。 取α=0.6(0.5附近適當(dāng)調(diào)整取值，確定最佳取值為0.6)、β=1.6(與α取值同理)， 則fbr=293、abr=1.1。 構(gòu)造自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)xbr(t)=1.1cos(2π293t)， 分解結(jié)果如圖16所示。可以看出，各IMF分量沒(méi)有明顯的調(diào)制現(xiàn)象，表明模態(tài)混疊現(xiàn)象得到了有效抑制。相較于三次樣條EMD得到的9個(gè)IMF分量，本文方法僅有7個(gè)分量，說(shuō)明本文方法能更好的消除虛假分量。

圖15 轉(zhuǎn)子信號(hào)三次樣條EMD分解結(jié)果的功率譜Fig.15 Power spectrum of EMD of the rotor signal

圖16 轉(zhuǎn)子信號(hào)基于自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)的BS-EMD結(jié)果Fig.16 Decomposition result of the rotor signal x2(t)by the proposed method

取α=0.5、β=1.6(僅改變?chǔ)寥≈担瑴p小α)，則fbr=244、abr=1.1。 構(gòu)造自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)xbr(t)=1.1cos(2π244t)， 分解結(jié)果如圖18所示。

相較于圖16結(jié)果可知，分解質(zhì)量沒(méi)有圖16高，IMF分量存在一定的調(diào)制現(xiàn)象，模態(tài)混疊現(xiàn)象雖得到了一定抑制但效果不夠理想。此外，分解得到8個(gè)分量，雖比三次樣條EMD得到的9個(gè)分量要好，但是比圖16的7個(gè)分量要差。同樣，對(duì)IMF3和IMF4兩個(gè)分量做功率譜分析，結(jié)果如圖19所示。圖19(a)中，IMF3分量除了含有二倍頻成分，還出現(xiàn)了工頻與三倍頻分量；圖19(b)中，IMF4分量出現(xiàn)了一定的邊頻。總體而言，比圖15所示的三次樣條EMD結(jié)果好，但是不如圖17所示的最佳參數(shù)BS-EMD結(jié)果好。

圖17 轉(zhuǎn)子信號(hào)基于本文方法EMD分解結(jié)果的功率譜Fig.17 Power spectrum of decomposition result of the rotorsignal based on the proposed method

圖18 轉(zhuǎn)子信號(hào)基于自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)的BS-EMD結(jié)果Fig.18 Decomposition result of the rotor signal by the proposedmethod with different adaptive bandwidth constrained signal

圖19 轉(zhuǎn)子信號(hào)基于本文方法EMD分解結(jié)果的功率譜Fig.19 Power spectrum of decomposition result of the rotorsignal based on the proposed method

取α=0.7、β=1.6(僅改變?chǔ)寥≈担龃螃?，則fbr=342、abr=1.1。 構(gòu)造自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)xbr(t)=1.1cos(2π342t)， 分解結(jié)果如圖20所示。IMF3和IMF4兩個(gè)分量的功率譜如圖21所示。對(duì)比分析可知，取α=0.7與α=0.5時(shí)情況類似，優(yōu)于三次樣條EMD方法效果，但是不如本文取值結(jié)果。

β的取值與α類似，限于篇幅，不再贅述。

圖20 轉(zhuǎn)子信號(hào)基于自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)的BS-EMD結(jié)果Fig.20 Decomposition result of the rotor signal by the proposedmethod with different adaptive bandwidth constrained signal

圖21 轉(zhuǎn)子信號(hào)基于本文方法EMD分解結(jié)果的功率譜Fig.21 Power spectrum of decomposition result of therotor signal based on the proposed method

5 結(jié) 論

(1) 針對(duì)EMD的模態(tài)混疊現(xiàn)象，本文對(duì)模態(tài)混疊的具體表現(xiàn)形式、引起模態(tài)混疊的主要原因進(jìn)行了歸納，對(duì)模態(tài)混疊的產(chǎn)生機(jī)理進(jìn)行了分析。

(2) 借鑒高頻諧波加入法原理，提出了基于自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)的BS-EMD方法。充分利用被分析信號(hào)自身的特點(diǎn)，構(gòu)造出自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)。仿真分析和實(shí)際含復(fù)雜異常事件的轉(zhuǎn)子故障信號(hào)分析驗(yàn)證了所提方法的有效性和可行性。

(3) 與EMD、BS-EMD的對(duì)比分析驗(yàn)證了本文方法的優(yōu)越性。與HFHA-EMD的對(duì)比仿真分析表明，兩種方法都可以有效消除模態(tài)混疊現(xiàn)象，但是本文方法在構(gòu)造自適應(yīng)帶寬限制信號(hào)上更加明確可行，也更具自適應(yīng)性。