概念教學(xué)，守樸日新

摘 要：數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)注重其本質(zhì)，即概念的生長(zhǎng)過程，這一內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要課題。文章結(jié)合一課例具體闡述數(shù)學(xué)概念的三種類型分別是如何自然質(zhì)樸地生成的，論述說明其巧妙創(chuàng)新地被學(xué)生發(fā)現(xiàn)、發(fā)明和發(fā)展這一過程，以及這三種類型的概念在同一節(jié)課例的設(shè)計(jì)中相互融合、相互生長(zhǎng)最終構(gòu)成新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)系統(tǒng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；概念教學(xué)；屬性下的概念；規(guī)則下的概念；結(jié)點(diǎn)下的概念；生長(zhǎng)體系

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2018-02-26

作者簡(jiǎn)介：鄒婉清（1983-），江蘇張家港人，中教一級(jí)教師，本科，研究方向：教材、教學(xué)研究。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：概念教學(xué)要返璞歸真，努力揭示概念的發(fā)生發(fā)展及其本質(zhì)，學(xué)生應(yīng)親身經(jīng)歷概念的自然形成過程。如何讓概念教學(xué)發(fā)揮質(zhì)樸的教學(xué)功能與靈動(dòng)的教學(xué)價(jià)值，讓核心素養(yǎng)落地生根？還得從數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)結(jié)構(gòu)上去認(rèn)識(shí)與把握，數(shù)學(xué)概念通常有三種類型：一是屬性下的概念，二是規(guī)則下的概念，三是結(jié)點(diǎn)下的概念。下面筆者以《線段、射線、直線》第一課時(shí)的教學(xué)為例，談?wù)勛约旱慕虒W(xué)實(shí)踐與感悟。

一、守真創(chuàng)新的情境設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”屬性下的概念

日常教學(xué)中，情境設(shè)置分為兩類，一是從守真的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境引發(fā)學(xué)生思考，二是從創(chuàng)新角度數(shù)學(xué)內(nèi)部出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境引發(fā)學(xué)生思維困惑。本節(jié)課亦是如此。一開始教師以剛剛過去的期中考試為切入點(diǎn)，表揚(yáng)班級(jí)涌現(xiàn)的一批學(xué)霸，他們做任何事有始有終，自然地提問：“在數(shù)學(xué)上也有一種圖形具備這種特征，你們知道是什么嗎？我們做事一定不能有始無終，更不能無始無終，你們知道哪些圖形也分別具備這樣的特征嗎？”線段、射線、直線自然貼切地出現(xiàn)了。接著教師再問：“小學(xué)時(shí)我們已經(jīng)了解了這三種圖形的特征，哪位同學(xué)來說說？”PPT展示表格，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)創(chuàng)設(shè)問題情境，對(duì)三個(gè)概念模型回顧，守真務(wù)實(shí)。本課在傳統(tǒng)守真的情境引入下，又創(chuàng)新設(shè)置了以下從生活數(shù)學(xué)化、知識(shí)內(nèi)需化出發(fā)的情境：“今天我們將繼續(xù)探究線段、射線、直線的性質(zhì)特征，今天是‘雙十一，老師網(wǎng)購(gòu)沒搶到想買的東西，決定明天驅(qū)車前往無錫市奧特萊斯商城采購(gòu)，老師了解了以下三種去無錫的路線，請(qǐng)看PPT，走哪條路相對(duì)近一些？”（如圖1所示）

問：“從張家港到無錫能否修一條最短的路？如果能，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣修？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出這條路。”這個(gè)環(huán)節(jié)在生活數(shù)學(xué)化的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一個(gè)生活常識(shí)：兩點(diǎn)之間所有連線中，線段最短和一個(gè)基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短。師：“這條路最短，大家一定非常想知道張家港到無錫的直線距離吧？老師告訴大家，大概是60Km，那么這個(gè)60 Km可以看成是這兩點(diǎn)間的距離，也可以看成是？”在生活實(shí)例下學(xué)生發(fā)現(xiàn)和體味“線段的長(zhǎng)度即為兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度”這一概念生成的必要性和必然性。

二、自然必然的標(biāo)準(zhǔn)制定，激發(fā)學(xué)生“發(fā)明”規(guī)則下的概念

在日常教學(xué)中教師往往將規(guī)則下的概念直白地告知學(xué)生，然后操作訓(xùn)練，筆者認(rèn)為應(yīng)該讓學(xué)生自主建構(gòu)規(guī)則，制定標(biāo)準(zhǔn)，用問題驅(qū)動(dòng)來激發(fā)學(xué)生的發(fā)明創(chuàng)造、構(gòu)建解決問題的規(guī)則規(guī)矩，從而把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)化為一種自覺的思維形式。基于此，本節(jié)課設(shè)置了第二個(gè)活動(dòng)探究，學(xué)生在錫張高速公路的命名實(shí)例下，老師提問：“線段如何表示呢？需要幾個(gè)字母？大寫小寫？有沒有順序要求？”由于現(xiàn)實(shí)引領(lǐng)，此種標(biāo)準(zhǔn)的建立比較自然。教師再問：“那么射線怎么表示？需要幾個(gè)字母？大寫小寫？有沒有順序要求？”學(xué)生花時(shí)間討論，有的認(rèn)為和線段表示一模一樣，馬上就有反對(duì)的聲音：“射線的延伸方向不同，字母順序有要求。”有的表示射線只有一個(gè)端點(diǎn)，所以只要一個(gè)字母，但顯然一個(gè)字母不能明確方向，學(xué)生遇到了難題，此刻激發(fā)了探索創(chuàng)新欲，有學(xué)生提出在線段上再取一點(diǎn)表示方向，然后學(xué)生對(duì)這個(gè)點(diǎn)應(yīng)該取在哪展開了討論，最后得出合理化的標(biāo)準(zhǔn)。此時(shí)射線表示的必然性與合理性就深入學(xué)生的內(nèi)心了，讓學(xué)生在最近聯(lián)想的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生正遷移，找到給射線、直線命名的母系，在其上生長(zhǎng)、發(fā)展直至產(chǎn)生規(guī)則。在學(xué)生積極參與、教師環(huán)環(huán)相扣的問題引領(lǐng)下制定標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生成了規(guī)則下概念的發(fā)明者、創(chuàng)造者，其樂無窮。

三、清晰生長(zhǎng)的體系聯(lián)接，喚醒學(xué)生“發(fā)展”結(jié)點(diǎn)下的概念

數(shù)學(xué)概念的存在不是孤立地作為知識(shí)點(diǎn)存在于數(shù)學(xué)海洋中，概念之間需要聯(lián)接，需要與更多的數(shù)學(xué)內(nèi)容建立更加廣泛的聯(lián)系。此時(shí)概念就是聯(lián)系的網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)下的概念教學(xué)需要清晰生長(zhǎng)的體系來喚起學(xué)生有意識(shí)去發(fā)展結(jié)點(diǎn)下的概念。學(xué)生只有在概念的體系結(jié)構(gòu)中反復(fù)認(rèn)識(shí)理解，才能促進(jìn)思維的成長(zhǎng)，才能加深對(duì)概念的理解。本課中學(xué)生對(duì)單一的屬性概念“線段”明晰之后，教師創(chuàng)造性地提問：“由線段怎么生長(zhǎng)成射線？如何用規(guī)范的語言來描述作圖過程？之后又如何長(zhǎng)成直線？”這就是一個(gè)結(jié)點(diǎn)的延伸，體系產(chǎn)生自然必要。結(jié)點(diǎn)構(gòu)成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)系統(tǒng)，明晰各結(jié)點(diǎn)的邏輯關(guān)聯(lián)，從而將概念連成線、結(jié)成網(wǎng)、形成邏輯體系。概念教學(xué)在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系中生長(zhǎng)、才能看清它的母系，理清結(jié)構(gòu)、明晰邏輯。同時(shí)例題創(chuàng)造性的編制也是促成生長(zhǎng)，使結(jié)點(diǎn)生根發(fā)芽的關(guān)鍵，它可以喚起學(xué)生發(fā)展知識(shí)體系、鞏固概念的意識(shí)。筆者選取本節(jié)課中設(shè)置的如下例題與變式片段來體會(huì)。

例2：（1）過點(diǎn)A可以畫幾條直線？（如圖2所示）師：畫一條直線l，問：點(diǎn)A在直線l上嗎？點(diǎn)B在直線l上嗎？

（2）過點(diǎn)A、B可以畫幾條直線？（如圖3所示） 師：你剛才畫的直線中有這一條嗎？點(diǎn)A很特殊，你發(fā)現(xiàn)了什么？歸納：直線l與直線AB交于點(diǎn)A.了解基本的幾何語言是學(xué)好幾何的基本要素。基本事實(shí)：兩點(diǎn)確定一條直線。

（3）再增加一點(diǎn)E，過其中的兩點(diǎn)可以畫幾條直線？思考E點(diǎn)的位置？可以在直線AB上，也可以在直線AB外。請(qǐng)同學(xué)們分別畫一畫，并交流。

已知平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn)，過其中的兩點(diǎn)畫直線可以一條或三條。

剛才我們學(xué)會(huì)了畫直線，那么線段、射線你會(huì)畫么？我們不妨試一試。

變式訓(xùn)練：已知點(diǎn)A、B、E（如圖4）①畫線段AB，畫射線AE、直線BE（教師板書，教授規(guī)劃的作圖語言）；②在線段AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C，畫射線EC；③延長(zhǎng)線段BC到D，連接DE；④觀察圖形，說說點(diǎn)E的特殊性。

好的例題不僅可加深學(xué)生理解概念本身，而且可以加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的思維訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生理清上位概念、本位概念、下位概念之間的區(qū)別與聯(lián)系的意識(shí)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。“例題變化”是學(xué)生具備舉一反三能力的有效手段。例2（1）（2）從點(diǎn)到畫直線到判斷點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，交代了教材關(guān)于幾何作圖的機(jī)械化規(guī)定的同時(shí)，又引發(fā)學(xué)生思考畫直線與規(guī)范的作圖語言概念之間的聯(lián)系。第（2）小題變化到第（3）小題增加一點(diǎn)E，E的位置的思考順利地幫助學(xué)生鞏固畫直線這一作圖概念的同時(shí)，又自然的解決了“已知平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn)，過其中的兩點(diǎn)畫直線可以是一條或三條”的難點(diǎn)。接下來的變式訓(xùn)練從畫線段到射線、直線，讓學(xué)生再次在具體操作中感知概念教學(xué)結(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系與生長(zhǎng)，幫助學(xué)生把所學(xué)的概念融會(huì)貫通，從而讓學(xué)生在無窮的變化中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，體會(huì)結(jié)點(diǎn)下的概念在知識(shí)體系中的支撐與發(fā)展作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]王紅兵，卜以樓.生長(zhǎng)過程——概念教學(xué)的本質(zhì)標(biāo)志[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（20）：27-29.

[2]李致洪.數(shù)學(xué)概念教學(xué)與思維訓(xùn)練[J].課程·教材·教法，2000（4）：29-32.