解決數學問題的路徑芻探

張敏

摘 要：解決數學問題不是僅僅指解決數學應用的實際問題，發現數學規律、證明數學結論、計算數學算式，都可以看作解決數學問題。解決數學問題要貫穿數學學習過程的始終，文章主要研究解決數學問題的心理模式和解決數學問題的路徑（包括了解問題情境、明確問題的條件和目標、尋求解決方法、尋求解答并檢驗、回顧反思）。

關鍵詞：數學教學；解決問題；路徑；教學方法

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2018）19-0027-01

解決問題是數學的核心，既是數學學習應該達到的目標，又是學習數學的基本途徑。客觀而言，解決數學問題不是僅僅指解決數學應用的實際問題，發現一個數學規律、證明一個數學結論、計算一個數學算式，都可以看作解決數學問題。因此，解決數學問題要貫穿數學學習過程的始終。

一、解決數學問題的含義

1.數學問題

數學問題是指需要采取適當的行動，去達到可預見但又不能立即達到的數學目標。數學問題的構成要素有三個：一是給定信息，是對問題初始狀態的一系列描述；二是目標，是對問題結果的描述；三是障礙，是指在解決問題過程中會遇到的各種需要解決的因素。數學問題有以下三個基本特征：一是障礙性，問題具有一定的認知障礙，學生事先不知道問題的答案和解決途徑，需要經歷一個探索過程才能解答；二是探究性，問題具有一定的挑戰性，學生往往不能按照已有的常規模式去套，而需要被迫去探索思考解決方法；三是可接受性，問題能激發學生的興趣、引發認知沖突，讓學生愿意去解決，并經過一段時間的探索才能解決，從中獲得認知上的發展。

2.解決數學問題

解決數學問題，是指面對一個數學問題，經歷一段時間的探究思考，確定其是否可以解答，在能解答的情況下尋求一個或者多個答案，或者探究解答的途徑。因此，對學生來講，解決數學問題具有以下特點：一是新穎性。解決問題指的是解決初次遇到的新情境、新問題，如果解決以前解決過的類似問題，那就僅僅是做練習。二是過程性。解決數學問題意味著一個積極思考探索、克服障礙的思維活動過程。它的途徑與方法相對學生而言是新的或者含有某些新的成分。三是收益性。解決數學問題之后，學生能夠掌握一些解決數學問題的策略和方法。

二、解決問題的心理模式

長期以來，教育學家、心理學家和數學家都對數學問題解決的心理模式進行了研究，并概括出不同的心理模式。

1.杜威的“探究”模式

杜威提出了關于問題解決的“探究”模式，具體包括以下五步。（1）聯想。面對一個情境，產生認知困惑，認識到矛盾的存在，并伴有解決的欲望。（2）問題。分析情境，識別出問題所在，包括尋找目標標志和要達到的目標狀態。（3）假設。將情境中的問題與認知結構聯系起來，聯想有關的知識背景和先前的思維方法，提出解決的猜想、建議，或者嘗試解答。（4）推理。根據假設，展開設想，尋求解決問題的方法。（5）檢驗。自己發現這些設想、假設的真實性和有效性。

2.波利亞的“啟研”模式

數學教育家波利亞（George Polya）提出了數學問題解決的“啟研”模式，揭示了問題解決的心路歷程，引導了20世紀數學教育中“問題解決”的熱潮。波利亞關于數學問題解決的“啟研”模式，由理解題意、擬訂計劃、執行計劃、回顧反思四個部分構成。

三、解決數學問題的路徑

人們對數學問題解決的心理模式持有不同的觀點，但對數學問題解決的基本過程卻已形成共識。數學教育界普遍認為，數學問題解決的基本過程依次為：了解問題情境、明確問題的目標、尋求解決方法、尋求解答和檢驗、進行回顧反思。（1）了解問題情境。認識數學問題，知道問題敘述的內容是什么，背景是怎樣的，它可能與什么問題相關。（2）明確問題的條件和目標。要將已知條件和要達成的目標從問題情境中分離出來，同時，明確從條件到目標的障礙是什么。（3）尋求解決方法。探索用什么方法可能突破障礙，實現預期目標，并對如何實施擬訂一個比較完備的計劃，設想主要經歷、步驟，每個步驟大致出現什么結果。（4）尋求解答并檢驗。實施制訂的解題計劃，看看能否順利解決問題。如果不能解決，則回到上一階段修訂計劃；如果能解決，則檢驗一下結論是否正確。如果正確，則問題解決了；若不正確，再重新修正。（5）回顧反思。反思問題是如何解決的，怎么得到的思路，用了哪些方法，這些方法在哪里還用過，還有沒有其他方法，問題是否可以拓展，問題的一般形式是怎樣的，解決這個問題對你有哪些啟發。

綜上所述，數學教學的本質在于使學生學會解題，數學教育的核心是培養學生的數學問題解決能力。要成為數學問題解決者，弄清問題、擬訂解題計劃、實現解題計劃、回顧反思四者不可缺少，而且是需要花大力氣的四個環節。解決問題的教學能夠培養學生解決問題的意識和能力，培養學生的創新精神，鞏固學生的數學知識技能，讓學生更好地掌握解決問題的思想和方法。

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