原子磁力儀靈敏度標定方法研究

鄢建強，崔敬忠，繆培賢，楊世宇，王劍祥，廉吉慶，涂建輝

（蘭州空間技術物理研究所真空技術與物理重點實驗室，蘭州730000）

0 引言

高靈敏度的原子磁力儀在生物醫學、基礎物理學、地球科學研究等領域得到廣泛應用[1]。目前國際上出現了Mz或Mx光泵磁力儀（Optical Pumping Magnetometer，OPM）、相干布局囚禁（Coherent Population Trapping，CPT）磁力儀，非線性磁光旋轉（Nonlinear Magneto-Optical Rotation，NMOR）磁力儀，無自旋交換弛豫（Spin-exchange Relaxation Free，SERF）磁力儀等多種原子磁力儀[2]。

靈敏度是衡量原子磁力儀性能的重要指標，靈敏度指標標定方法目前有四種：FFT均方根幅度譜（Root Mean Square，RMS）[3-6]、噪聲功率譜密度（Power Spectral Density，PSD）[7-8]、本征靈敏度[9，10]以及散粒噪聲限（Shot Noise Limit，SNL）[11-12]。對某一特定原子磁力儀來說，不同標定方法得到的靈敏度指標必然不同，如何正確評價原子磁力儀的靈敏度指標是一個值得討論的問題。首先介紹四種靈敏度標定方法，其次介紹NMOR原子磁力儀的實驗裝置，最后以NMOR銣原子磁力儀的實測數據分別討論四種標定方法，分析各標定方法的合理性及普適性。

1 靈敏度常用標定方法

1.1 均方根幅度譜和噪聲功率譜密度

在恒定的磁場背景下，以特定的磁場采樣率測量一定時長的磁場數據，頻譜分析可以用均方根幅度譜顯示，也可以用噪聲功率譜密度顯示，然后以指定頻點下的幅度值作為磁力儀的靈敏度指標。目前國際上不但有文獻用均方根幅度譜方法表征原子磁力儀靈敏度指標，而且也有文獻用噪聲功率譜密度方法表征原子磁力儀靈敏度指標。

首先介紹國際上采用均方根幅度譜表征靈敏度的文獻。美國普林斯頓大學Romalis研究組發表的Nature文章[3]中這樣描述SERF原子磁力儀靈敏度測試方法：獲得100 s磁場測量數據并對其做無窗函數快速傅里葉變換，計算在1 Hz頻點下的均方根值作為靈敏度指標。美國加利福尼亞大學Budker研究組研制的全光NMOR銫原子矢量磁力儀[4]，采用均方根幅度譜方法在0.5 Hz頻點附近測得靈敏度為65 fT/Hz1/2；Maser等[5]研究了一種氣室尺寸只有2 μm的雙光束鈷原子微型磁力儀，以均方根幅度譜方法在10 Hz頻點上獲得了5 pT/Hz1/2靈敏度；清華大學課題組[6]則是以用20 s所測磁場值的FFT幅度譜在1 Hz頻點取值作為自激振蕩NMOR銣原子磁力儀的靈敏度指標。

其次介紹國際上采用噪聲功率譜密度表征靈敏度的文獻。2014年瑞士菲麗堡大學Breschi等[7]采用數字鎖相環技術研制了一種高靈敏度銫原子CPT磁力儀，對3 500 s磁場采樣數據用噪聲功率譜密度方法處理，獲得靈敏度指標優于300 fT/Hz1/2。2016年國內國防科技大學汪之國等[8]采用噪聲功率譜密度方法得到NMOR原子磁力儀的靈敏度為0.2 pT/Hz1/2。

采用2013版LabVIEW軟件中頻譜分析模塊對一定時長的磁場數據直接處理，分別輸出均方根幅度譜和噪聲功率譜密度，然后以1 Hz頻點的值標定原子磁力儀靈敏度指標，這兩種方法處理過程中都不采用窗函數。均方根幅度譜方法與噪聲功率譜密度方法均是直接對磁場采樣值進行處理，因此當前兩種方法均被用來表征不同類型原子磁力儀的靈敏度，然而均方根幅度譜和噪聲功率譜密度在數學處理上是有差別的，必然會導致得到的靈敏度指標有差別。后文將對比這兩種方法數據處理結果，分別指出其合理性。

1.2 本征靈敏度

對于Mz光泵磁力儀，掃描激勵磁場頻率直接測量磁共振曲線，該磁共振曲線呈現出兩個基本的參量：信噪比和線寬。計算本征靈敏度的方法如式（1）[9]：式中：Δf為磁共振曲線線寬；S/N為信號信噪；γ為原子磁旋比。線寬與信噪比的比值越大，磁力儀本征靈敏度指標越佳。

值得一提的是，直接測量磁共振曲線時測量信號的信噪比不可能超過測量儀器的精度。為了提高靈敏度，如Mx光泵磁力儀和NMOR原子磁力儀，可以在時域中測量原子磁矩繞外磁場進動的拉莫爾進動信號，然后將該信號轉換為頻域中的磁共振曲線，該磁共振曲線可得到更高的信噪比和更窄的線寬。本征靈敏度標定方法用一次磁共振曲線的測量不能分辨出背景磁場的噪聲，因此用來表征原子磁力儀的實際靈敏度是不合理的。

2006年，Groeger等[9]用高靈敏度Mx銫原子磁力儀依照信噪比和線寬的計算，在1 Hz頻點標定靈敏度為15 fT。浙江大學李楠等[10]在2013年對激光抽運銫原子Mx磁力儀靈敏度磁力儀進行了研究，在20 μT外磁場下磁力儀本征靈敏度1.8 pT/Hz1/2。

1.3 原子散粒噪聲限

原子磁力儀靈敏度的基本上限是原子散粒噪聲限[11]：

式中：nm為氣室中堿金屬原子數密度；γ旋磁比；V為光泵浦有效體積；τ為堿金屬原子自旋弛豫時間；t為測量時間。Allred等[12]在2002年對超導量子干涉磁力儀進行了研究，對散粒噪聲限計算值達到了2 fT/Hz1/2。2004年，Romalis等[13]研制的無自旋交換弛豫三軸矢量磁力儀散粒噪聲限靈敏度為1 pT/Hz1/2。

該靈敏度表征方法給出了原子磁力儀與原子氣室有關的靈敏度極限，該方法不但不能反映出環境磁場噪聲，一定程度上也不能反映出儀器的系統噪聲，因此描述原子磁力儀實際靈敏度指標是不適用的。

2 NMOR銣原子磁力儀原理及實驗參數

實驗采用NMOR銣原子磁力儀的實測數據討論靈敏度標定方法。NMOR原子磁力儀原理是線偏振光通過處于外磁場環境中被極化的原子介質后，由于原子對線偏振光中左、右圓偏成分不同的吸收導致光的偏振方向會產生與磁場相關的轉動。通過差分探測方式探測線偏振光偏振方向的擺動可獲得原子磁矩拉莫爾進動自由弛豫信號，由此信號可傅里葉變換得到拉莫爾進動頻率[14]。外磁場B與拉莫爾進動頻率f的依賴關系為：

式中：γ為旋磁比，87Rb原子γ/2π的值為6.995 83 Hz/nT。

圖1 為原子磁力儀實驗裝置的示意圖，其中銣泡為Ф25 mm×Ф50 mm的圓柱型氣室，氣室中充有1.3×104Pa的氮氣，采用交流無磁加熱至100℃。抽運激光被擴束為10 mm×30 mm的長方形光斑，光強為20μW/mm2；探測光為直徑2 mm的圓斑，進入銣泡前光功率為100μW。銣泡及其加熱模塊、亥姆霍茲線圈被置于磁屏蔽筒內部，磁屏蔽筒內含磁場線圈，用于產生精密待測磁場。原子磁力儀的工作過程是：穩頻的795 nm圓偏振抽運激光以特定時長作用于銣泡，完成原子極化態的制備，使87Rb原子磁矩與外磁場平行；而后信號源給亥姆霍茲線圈輸入特定時長正弦交變信號，其頻率等于式（6）中與外磁場對應的拉莫爾進動頻率，驅動87Rb原子磁矩進動到與外磁場垂直的平面內，當激勵磁場關閉后87Rb原子磁矩繞外磁場做拉莫爾進動；紅失諧6 GHz的線偏振探測光穿過銣泡，用差分探測方式獲得銣原子拉莫爾進動信號，并由自研的Labview軟件結合美國NI公司PCI-5922數據采集卡實現該信號的提取及處理，并輸出外磁場值。計算機設定數字信號處理（DSP）模塊的時序組合，分別給聲光調制器AOM、信號源和PCI-5922數據采集卡輸入電平觸發信號，分別控制抽運激光開或關，信號源輸出的開或關，以及數據采集卡的采集觸發。

圖1 銣原子磁力儀裝置示意圖[14]Fig.1 Schematic setup for rubidium atomic magnetometer

圖2 顯示外磁場為10 000 nT時原子磁力儀輸出的自由弛豫信號及磁場值處理過程。圖2（a）為原子磁力儀輸出的原始信號及時序控制示意圖，實驗中設定抽運激光作用時長為30 ms，激勵磁場作用時長為1 ms，原子磁力儀一個工作周期為100 ms，即磁場采樣率為10 Hz。圖2（b）顯示激勵磁場關閉后截取的3 ms自由弛豫信號，圖2（b）中插圖給出0.2 ms的數據，可見自由弛豫信號是正弦振蕩曲線。將圖2（b）中時域中數據傅里葉變換（FFT）得到圖2（c）中頻域的結果，自由弛豫信號的頻率為70 kHz。圖2（d）給出10 min原子磁力儀輸出的磁場值。

3 不同標定方法比較

目前國內外文獻中出現了FFT均方根幅度譜（RMS）、噪聲功率譜密度（PSD）、本征靈敏度以及散粒噪聲限（SNL）等多種原子磁力儀靈敏度表征方法。通過測量10 000 nT和500 nT磁場下2 h數據，討論了均方根幅度譜和噪聲功率譜密度這兩種標定方法的合理性。同時，討論本征靈敏度和原子散粒噪聲限兩種方法在標定特定原子磁力儀實際性能的適用性。

3.1 均方根幅度譜方法與功率譜密度方法對比

由第1部分可知，均方根幅度譜（RMS）和功率譜密度（PSD）在數學處理上不同，用于表征原子磁力儀靈敏度指標必然有差別。將圖2（d）中的實驗數據分別用RMS方法和PSD方法處理，結果如圖3所示。用1 Hz頻點附近11個數據的平均值代表原子磁力儀的靈敏度，用RMS方法得到靈敏度指標為0.6 pT/Hz1/2，用PSD方法到靈敏度指標為14.6 pT/Hz1/2。

圖2 外磁場為10 000 nT時原子磁力儀輸出的自由弛豫信號及磁場值處理過程曲線Fig.2 The free relaxation signal and the magnetic field value processing of the output of the magnetometer when the external magnetic field is 10 000 nT

圖3 10 000 nT附近10 min磁場數據靈敏度標定曲線Fig.3 Analysis based on magnetic field values

原子磁力儀測量的磁場由電流源產生，因此電流 源的噪聲將反映在磁力儀靈敏度指標測試中[14]。在10 000 nT和500 nT磁場下，原子磁力儀獲得2 h的磁場數據，分別截取前1 min、5 min、10 min、20 min等時長的磁場數據，用RMS方法和PSD方法在1 Hz頻點標定靈敏度指標，實驗結果如圖4所示，（a）、（b）和（c）分別代表10 000 nT磁場下測量的磁場數據、RMS和PSD處理結果；（d）、（e）和（f）分別代表500 nT磁場下測量的磁場數據、RMS和PSD處理結果。由圖4（b）和（e）可知，處理越長時間的磁場數據，即采樣的數據量越多，RMS方法得到越優異的靈敏度指標，因此用RMS方法標定特定原子磁力儀的靈敏度指標顯然不合理。由圖4（c）和（f）可知，PSD方法標定原子磁力儀靈敏度指標時與采樣時長無關，能夠合理地標定原子磁力儀靈敏度指標。分別對比2 h磁場數據的處理結果，10 000 nT磁場下用RMS方法得到的靈敏度是0.2 pT/Hz1/2，用PSD方法得到靈敏度指標是13.2 pT/Hz1/2；500 nT磁場下用RMS方法得到的靈敏度是2.3 fT/Hz1/2，用PSD方法得到靈敏度指標是0.2 pT/Hz1/2。在上述數據處理中可看到，2 h的磁場數據用PSD方法得到的靈敏度指標大約是RMS方法的100倍。與均方根幅度譜方法相比，功率譜密度通過對功率譜的歸一化處理，使測量獨立于信號持續時間和采樣數量，通過功率譜密度測量可檢測信號的本底噪聲，用于表征靈敏度指標更合理。

圖4 RMS方法和PSD方法對不同時長磁場數據的處理結果曲線Fig.4 The results of processing the magnetic field data with different durations by RMS and PSD

3.2 本征靈敏度適用性討論

對于Mz的光泵磁力儀，掃描激勵磁場頻率直接測量磁共振曲線，可用式（4）計算儀器的本征靈敏度。NMOR原子磁力儀輸出的自由弛豫信號通過傅里葉變換，可得到頻域內的磁共振曲線，這里用本征靈敏度方法對該磁共振曲線估計靈敏度指標。在10 000 nT和500 nT磁場下獲得自由弛豫信號的FFT曲線，擬合結果如圖5所示。圖5（a）與圖2（c）相同，由10 000 nT磁場下3 ms的自由弛豫信號傅里葉變換得到，高斯擬合得中心頻率為69 884 Hz，用半高寬表示的線寬為465 Hz，信噪比S/N為9.222×107，由本征靈敏度式（4）計算得靈敏度指標為1.146×10-7nT。圖5（b）由500 nT磁場下10 ms的自由弛豫信號傅里葉變換得到，高斯擬合得中心頻率為3 503 Hz，用半高寬表示的線寬為145 Hz，信噪比S/N為6.166×108，由本征靈敏度式（4）計算得靈敏度指標為5.363×10-9nT。

由計算可知，對于NMOR原子磁力儀自由弛豫信號FFT變換得到的頻域內磁共振曲線來說，用本征靈敏度方法計算得到的靈敏度指標非常高，這是不合理的。得到該結果的原因是圖5為數學處理后的結果，并非是實際物理過程測量得到，大于107的信噪比用現有最先進的儀器也無法測量。另一方面，本征靈敏度方法僅從磁共振曲線的一次測量來標定靈敏度也是不合理的，這樣無法分辨出儀器的噪聲和背景磁場的噪聲。分析可知，NMOR原子磁力儀靈敏度指標應高于Mz光泵磁力儀，而且本征靈敏度不能夠反映出原子磁力儀的實際性能指標。

圖5 自由弛豫信號的FFT變換曲線擬合曲線Fig.5 Fitting graph of FFT transform of the signal amplitude

3.3 散粒噪聲限方法適用性討論

散粒噪聲限方法給出了原子磁力儀靈敏度的基本上限，在保證堿金屬原子氣室溫度和體積不變、原子磁力儀測量時間不變的情況下，表達式（2）中給出散粒噪聲限決定的靈敏度指標依賴于原子系綜的橫向弛豫時間。這里引用繆培賢等[14]數據來簡單討論散粒噪聲限表征原子磁力儀實際靈敏度指標的合理性，與筆者描述的是同一套NMOR原子磁力儀實驗系統。圖6（a）給出了原子系綜橫向弛豫時間隨外磁場大小的變化曲線，可以看出隨著磁場的增加，橫向弛豫時間逐漸減小，這是由于銣泡所在區域磁場梯度的增加導致了原子系綜宏觀磁化強度的弛豫加快[14]。圖6（b）給出由PSD方法得到的原子磁力儀靈敏度指標與外磁場大小的依賴關系，背景磁場的噪聲與精密電流源的輸出量程有關，PSD方法得到的靈敏度指標能夠反映出背景磁場的本底噪聲，該原子磁力儀系統的極限靈敏度為0.2 pT/Hz1/2。由圖6（a）可知，散粒噪聲限決定的靈敏度指標將隨著外磁場的增加而連續的減小；圖6（b）給出PSD方法得到的靈敏度指標強烈依賴于背景磁場的本底噪聲，隨著外磁場的增加靈敏度指標呈階梯式上升。顯然，同本征靈敏度表征方法一樣，散粒噪聲限決定的靈敏度指標也無法分辨出儀器的噪聲和背景磁場的噪聲。因此，散粒噪聲限決定的靈敏度指標也無法合理地標定特定原子磁力儀的實際指標。

各種原子磁力儀雖然所利用的物理原理不同，但都面臨四個共同的噪聲源：原子自旋投影噪聲、光子散粒噪聲、儀器系統噪聲和背景磁場噪聲。前兩種噪聲受到海森伯不確定性原理約束而導致的基礎性噪聲，是基于量子力學的計量學能達到的標準量子極限。實際的原子磁力儀靈敏度相對于標準量子極限要低很多，因此儀器系統噪聲和背景磁場噪聲才是影響原子磁力儀實際靈敏度指標的主要因素。

圖6 橫向弛豫時間隨磁場的變化曲線和原子磁力儀靈敏度指標（或線圈電流大小）與外磁場的依賴關系[14]Fig.6 The relationship between the relaxation time and external magnetic field and the relationship between the sensitivity of atomic magnetometer（or coil current）and external magnetic field

4 結論

以NMOR銣原子磁力儀系統測量的實驗數據，分別討論了均方根幅度譜、噪聲功率譜密度、基于線寬和信噪比的本征靈敏度和原子散粒噪聲限四種靈敏度指標評價方法。采用均方根幅度譜方法時，實驗中發現隨著采樣時間的延長會得到更優的靈敏度指標，顯然用于表征原子磁力儀的靈敏度指標不合理；基于線寬和信噪比的本征靈敏度和原子散粒噪聲限兩種方法無法分辨出儀器噪聲和背景磁場噪聲，用于表征原子磁力儀的實際靈敏度指標也不是很合理；噪聲功率譜密度使測量獨立于信號持續時間和采樣數量，可檢測信號的本底噪聲，能夠分析出儀器的極限靈敏度，用該方法表征原子磁力儀的實際靈敏度指標將具有普適性，不同原子磁力儀儀器或實驗裝置間的靈敏度指標才有可比性。以上結論對原子磁力儀的靈敏度標定具有指導作用。