微型拉瓦爾噴管的流體仿真分析和優化

喻巍嶺，馮煜東，周 暉，曹生珠，張曉宇

（蘭州空間技術物理研究所 真空技術與物理重點實驗室，蘭州 730000）

0 引言

液化氣推進是冷氣推進的一種，指工質液化后以氣液共存的形式貯存于密閉容器內，當打開閥門后，在液化氣自身飽和蒸氣壓的作用下，以氣體的形式噴出[1]產生推力的方式。因液化氣工質存儲密度高、壓力要求低，省去了高壓氣瓶等影響集成度和質量的部件與結構。因此具有無污染、控制沖量小、成本低、結構簡單、可靠性高，適合微小衛星應用的優點。基于非硅基MEMS技術[2-3]的液化氣微推進系統[4]具有微型模塊化的特點，主要應用于立方星上。在上個世紀末至本世紀初，國外基于非硅基MEMS技術的液化氣微推進系統已在軌成功驗證并多次獲得應用，同時采用非硅基MEMS加工的高集成度一體化平面管道、閥門、噴嘴設計可省去傳統管道、接頭帶來的復雜結構和較大的體積和質量資源占用[5]。從而可大幅提高系統集成度、縮小質量和體積。實現在立方星所能承受的資源條件下為其提供基于推進系統的姿軌控能力，為高性能、低成本衛星技術和任務模式提供技術支撐。因此，基于微機電系統的液化氣推進技術在微小型化方面具有獨特的優勢，在未來的航天任務中將會有非常大的發展潛力和優勢。

1 數學模型

1.1 拉瓦爾噴管結構

微推進系統的噴管采用拉瓦爾噴管，示意圖如圖1所示。

從圖1可以看出，拉瓦爾噴管共有五個尺寸因素：入口直徑、喉部直徑、出口直徑、收縮段長度和擴張段長度，為毫米量級。噴管的主要性能指標為推力和有效比沖。研究中要求噴管推力F≥50 mN，有效比沖Isp≥50 s，與當前國外微推進系統性能水平基本一致。確定微推進系統的推進劑，通過對噴管的仿真分析和優化，得到優化結果。

1.2 控制方程

對于拉瓦爾噴管而言，噴管內的流動可視為定常、一維流動，而且在流動過程中滿足絕熱和無摩擦的條件[6-7]。同時，理想狀態下的噴管流動還滿足能量守恒方程、連續性方程（質量守恒方程）、動量守恒方程、理想氣體定律和等熵過程方程。

（1）能量守恒方程：

（2）連續性方程：

（3）動量守恒方程：

式中：ρ為密度；u為速度矢量；p為靜壓，τ為黏性應力張量；E為單位質量的總能量；q為熱通量。

（4）理想氣體定律。對于理想氣體，其狀態參數滿足式（4）規律：

（5）等熵過程方程。氣體在噴管中的流動可以看作一個等熵過程，其表達式為：

利用連續性方程、等熵關系方程及排氣速度公式不難得到一般條件（流管中不一定會存在臨界截面的情形）下通過某一截面x的理想氣體定常等熵流動的質量流量公式：

由能量守恒方程可得：

式中：ic和ie分別為單位質量工質在噴管入口截面c和噴管出口截面e的焓；vc為工質在噴管入口截面c的速度。

又流動為等熵流動，根據等熵方程式，可以將式（7）改寫為：

一般情形下噴管的推力公式為：

代入式（9）中，推力公式[7-10]可以改寫為：

或可表示為：

其中：

式中：k為比熱比；p0為入口壓力；pe為出口壓力；pb為環境壓力，取0.001 Pa，近似為0；At為喉部截面面積；Ae為出口截面面積。

有效比沖指單位推進劑的量所產生的沖量，用質量來描述推進劑的量，則比沖擁有時間量綱，如式（13）：

式中：Isp為有效比沖，s；g0為標準重力加速度，值為常數，不隨所處引力場位置變化而變化，取9.8 m/s2。

2 推進劑選擇

作為液化氣推進劑的氣體一般具有的性質為：可常溫下液化貯存，其液態密度遠高于氣態密度；推進劑的液化壓力較低，不需要配置高壓氣瓶和管路來貯存和輸送，從而可降低推進系統的系統質量；比沖較大，在達到相同總沖時所需推進劑質量較小；無毒性，不易燃，從而可免除推進劑加注時的嚴格防護，降低發射和制造成本。

目前已實際應用的幾種液化氣推進劑有丙烷（C3H8）、異丁烷（C4H10）、氨（NH3）和一氧化二氮（N2O）等，性能如表1所列。

表1 所列幾種液化氣推進劑中，一氧化二氮貯存壓力遠高于其他三種推進劑的貯存壓力，造成貯存單元和系統管路質量較大，系統質量難以滿足微納衛星的要求。如圖2所示，常用的丙烷、異丁烷和氨三種推進劑中，雖然氨的飽和蒸氣壓與丙烷相當，貯箱壓力也相對較低，且比沖較高，但是氨的氣化熱較大，充分氣化需要的加熱功率較大。如圖3所示，丙烷和異丁烷在性能上差別不大。兩者密度比沖接近，推進系統簡單，質量較小，氣化熱比較接近，具有無毒、無污染和貯存壓力低的特點，在微納衛星上得到廣泛應用。但在同等溫度條件下，丙烷的飽和蒸氣壓大約是異丁烷的三倍，這有利于獲得更大的推力比沖，因此選擇丙烷作為推進劑。

表1 幾種液化氣推進劑的性能Table1 Properties of several liquefied gas propellants

圖2 氨、丙烷和異丁烷的氣化熱曲線Fig.2 Vaporization heat of ammonia，propane and isobutane

圖3 丙烷與異丁烷的飽和蒸氣壓曲線Fig.3 Saturated vapor pressure of propane and isobutane

3 流體仿真

3.1 仿真參數設置

流體仿真對象為微噴管，參數取值為絕對值；求解器類型為基于密度且穩態軸對稱的類型；模型為無黏模型并滿足能量方程，流體為理想氣體狀態的丙烷；邊界條件包括壓力入口邊界條件、壓力出口邊界條件、軸對稱邊界條件和壁面邊界條件。由于推進劑以飽和蒸氣壓的壓力從貯箱進入管道，因管道較短忽略其壓力損失，所以壓力入口邊界條件取推進劑飽和蒸氣壓，約為0.9 MPa；出口壓力取0.001 Pa，近似為0。此外，初始溫度取300 K，其余參數默認。求解方法為二階迎風耦合隱性，適用于高速可壓流體，所有參數殘差皆取10-5。

3.2 仿真結果

流體仿真采用正交試驗[11-12]優化方法，可以得到一定范圍內的推力和有效比沖。正交試驗優化方法是一種可以研究多因素、多水平的設計方法，正交性從全面試驗中挑選出部分有代表性的點進行試驗，這些點具備了“均勻分散，齊整可比”的特點，是一種高效率、快速、經濟的實驗設計方法。

根據正交試驗結果得知，在入口直徑1～3 mm、喉部直徑0.3～0.9 mm、出口直徑1.2～3.6 mm、收縮段長度0.4～2.0 mm、擴張段長度2～8 mm范圍內時，推力范圍大致在100～1 000 mN之間，有效比沖范圍大致在50～80 s之間。出口直徑的極差為15.26，對目標函數的影響最大；喉部直徑的極差為13.42，對目標函數的影響次之；收縮段長度的極差為3.73，對目標函數的影響次之；入口直徑的極差為1.18，對目標函數的影響次之；擴張段長度的極差為0.29，對目標函數的影響最小。后三個因素的極差相比前兩者小很多，視為次要因素。

由比沖和推力要求較低，可以適當減小噴管尺寸，以減小噴管結構大小和質量。因此，從正交實驗中選擇有效比沖為72.66 s，推力為120.58 mN的試驗結果作為初始值，進行單項因素優化。

圖4 喉部直徑對推力和有效比沖的影響曲線Fig.4 Effect of throat diameter on thrust and effective specific impulse

從圖4中可以看出，喉部直徑對有效比沖和推力的影響很明顯。喉部直徑越大，有效比沖越小，推力越大。在同等初始溫度和壓力的條件下，由于入口壓力不變，喉部直徑的增加，會使得處于擴張段的氣流壓力降得更快，流體速度與之相比也會有所減小。在單位時間內從噴口噴出的流體質量增加，推力增加是必然的。由推力公式亦可得知，推力與喉部直徑是正相關的。對于有效比沖，雖然喉部直徑的增加導致了推力的增大，但同時質量流量也有很大增加，因此有效比沖變化幅度較小，隨喉部直徑增加而有所減小。

當喉部直徑為0.1 mm時推力14.83 mN，不滿足推力要求；喉部直徑為0.2 mm時推力56.01 mN，基本達到推力要求。又由有效比沖要求，喉部直徑越小越好。因此，喉部直徑選擇在0.2～0.3 mm之間。

從圖5中可以看出，出口直徑越大，有效比沖整體趨勢增大，推力越大。在其他尺寸因素不變的條件下，出口直徑越大，使得出口流體速度越大，質量流量越大，因而推力和有效比沖也會增大。從圖中可以看出，在出口直徑為1.8～2.0 mm的時候，有效比沖有一個明顯的突降，推力增加幅度也有所減小。由于出口直徑小于2.0 mm時，小于入口直徑，質量流量較小；當出口直徑等于入口直徑時，質量流量有較大增加，而推力基本不變，因而造成有效比沖的突降。

圖5 出口直徑對推力和有效比沖的影響曲線Fig.5 Effect of outlet diameter on thrust and effective specific impulse

如圖6所示，有效比沖在收縮段長度小于1 mm時變化較大，而在收縮段長度大于1 mm時幾乎無變化。由于拉瓦爾噴管的特性，超聲速氣流必定在喉部直徑出達到當地聲速，因此在收縮段長度增加到一定值時，收縮段長度對有效比沖的影響會逐漸減小，即只有在收縮段長度較小時與有效比沖存在較好的耦合性。因此收縮段長度對質量流量和推力的影響也小，可認為推力變化與收縮段長度無關。因此，收縮段長度可以適當選擇較小的數值，以減小結構尺寸，有利于推進器的集成。

圖6 收縮段長度對推力和有效比沖的影響曲線Fig.6 Effect of contraction length on thrust and effective specific impulse

如圖7和圖8所示，出口直徑和擴張段長度的變化對質量流量等因素影響很小，入口直徑和擴張段長度的改變對推力和有效比沖幾乎沒有影響，推力的差值小于0.4 mN，有效比沖的差值小于0.2 s，基本可以忽略不計。

圖7 入口直徑對推力和有效比沖的影響曲線Fig.7 Effect of inlet diameter on thrust and effective specific impulse

圖8 擴張段長度對推力和有效比沖的影響曲線Fig.8 Effect of expansion length on thrust and effective specific impulse

因此，最后選擇喉部直徑、出口直徑和收縮段長度三個因素在更小的范圍進行優化，得出噴管的優化尺寸。使入口直徑、擴張段長度分別固定為1 mm、2 mm，其余三個因素在一定尺寸范圍內：喉部直徑0.2～0.3 mm、出口直徑0.8～1.2 mm和收縮段長度0.3～0.9 mm，進行正交試驗得到一個較好的優化尺寸。最終，進一步仿真分析得到噴管優化尺寸為：入口直徑1 mm，喉部直徑0.25 mm，出口直徑0.8 mm，收縮段長度0.6 mm，擴張段長度2 mm。此時，噴管有效比沖為69.80 s，推力為72.89 mN，質量流量為0.107 g/s，出口軸向平均速度可達620.67 m/s。

4 結論

采用Fluent軟件對微型模塊化液化氣微推進系統的拉瓦爾噴管進行了仿真分析，得到了噴管各個尺寸因素對有效比沖和推力的影響關系，并給出了噴管的最終優化尺寸。

（1）出口直徑、喉部直徑和收縮段長度對有效比沖和推力的影響較大；入口直徑和擴張段長度對有效比沖和推力的影響很小，可忽略不計。

（2）喉部直徑越大，有效比沖越小，推力越大；出口直徑越大，有效比沖和推力越大，收縮段長度在小于1 mm時對有效比沖有較大影響，對推力基本無影響。

（3）噴管最終優化尺寸為：入口直徑1 mm，喉部直徑0.25 mm，出口直徑0.8 mm，收縮段長度0.6 mm，擴張段長度2 mm。噴管有效比沖為69.80 s，推力為72.89 mN，質量流量為0.107 g/s，出口軸向平均速度可達620.67 m/s。