線段圖之較復雜的分數應用題

劉善娜

【教學時機】

人教版六年級上冊《分數除法解決問題》新授學習完畢后。

【教學過程】

一、看懂“量率對應”

師：看圖，輕聲說說其中蘊含的數學問題，并口答列式。

問1：這四幅線段圖，從數據標注上，你們能發現什么共同點？

生：分率寫在上面，具體量寫在下面。

師：這樣有什么好處？

生：便于發現“率”與“量”的對應關系。

問2：上面兩幅圖和下面兩幅圖最大的不同是什么？

小結：分別居于上、下的“率”與“量”，有時是直接對應；有時是間接對應轉化為直接對應。

【設計意圖：此環節重在分析和回憶。在分數乘法、分數除法單元教材中，學生已經解讀了大量的類似問題線段圖。學生對線段圖大多停留在“讀懂”的階段，自己獨立作圖分析的能力較弱?！?/p>

二、根據要求畫圖

1.會區分“率”和“量”，上下分開。

（2）嘗試畫線段圖（草圖）。

（3）交流，反饋。

學生一般會畫出兩類圖：

問1：信息和問題都在線段圖上表示出來了嗎？

問2：哪幅圖更能找到對應的“率”和“量”？

再次強調：“率”和“量”分上、下表示，能更方便找到“對應”的“率”和“量”。

【設計意圖：此題中的具體數量和分率都是分數，且對應關系不明顯，在畫線段圖時，如果讓學生把分率和具體數量都表示在線段的一側，不但不能顯現出量率對應關系，還容易使學生產生誤解，對分析數量關系產生干擾。如果強調把分率和具體數量分開，分別表示在線段的上、下兩側，就能有效地避免這個干擾，并從線段圖中直觀地看出千米對應的分率是（】

2.會“量、率”對應，靈動變化位置。

（2）嘗試畫圖（草圖）。

（3）交流，反饋。

●反饋一：展示能做好“率上量下”的作業。

問1：線段圖上每一個“率”“量”的標注是怎么想的？誰來解說一下？

小結：需要分辨清楚每個“率”“量”在線段圖上的起點到終點位置（長度）。

問 2：這個圖上，“量”有三個——10頁、14頁、150頁，“率”也有三個——“1”、怎么通過它們找到一組對應的“率”和“量”？你能找到嗎？

小結：雖然率上量下很清楚，但由于“率”和“率”之間有疊加部分，很難在圖上清楚地找到對應的“率”和“量”。

【設計意圖：“率上量下”掌握起來不難。畫錯的學生一般找不準“第二天的”是從哪個點開始畫，因為需要與“第一天的”有交叉，第一天并沒有看完。所以，畫線段圖的過程，就是深度理解題目信息的過程。】

●反饋二：教師示范“分開畫法”。

問1：剩下的150頁怎么畫？從哪個點畫到哪個點？為什么？

問2：在這個圖上，“量”有三個——10頁、14頁、150頁，“率”也有三個——“1”、現在你能通過它們找到那一組對應的“率”和“量”嗎？

師：誰能上來指認？

【設計意圖：較為復雜的線段圖畫出來后，通過已有的量和率去尋找對應的量和率，對學生而言并不容易，因此需要放慢腳步，讓學生找一找、想一想，掌握一些實用的步驟?！?/p>

3.會識別單位“1”的變化，分步算，分步畫。

（2）理解題意。

問2：如果不好算，能否換個角度想想，能不能簡化題目，倒推著來？

小結：第三次用去15米，剩下6米，可以合并為“兩次用去后，還剩21米”。

問3：仔細觀察“量”重復的部分，你能發現什么新的信息？

小結：當分數問題中單位“1”發生變化，得不到清晰的“率”時，從“量”入手，一步步簡化，一步步觀察“對應”，標注數據，往往能推算得到新的“率”。

（3）嘗試畫圖，解決問題。

（4）反饋交流。

師：你接下來求的是什么？為什么求這個？

小結：每一步“量”的合并，會帶來新的“率”，新的“率”又幫助求出新的“量”，于是謎底慢慢揭開，數學思考的樂趣就在此。

（5）試著完整地畫一遍，并完成列式計算。

【設計意圖：通過學生講解思考過程，教師追問跟進，在互動交流中突出畫分數問題線段圖的重點與難點。交流、分析、理解，然后再完整地畫一次，感受線段圖的優越性?！?/p>

三、跟進練習

四、全課總結（略）

【教學建議】

分數問題的線段圖，學生在分數乘法、分數除法的學習中已經積累較多的直觀經驗。線段圖往往作為理解問題的抓手，而當學生理解了這一類問題后，教師就會更傾向讓學生利用“量率對應”的規律去解題，不會專門再抽時間去教畫線段圖解決較難的分數應用題。

在實際教學中，有兩點建議：

一、畫簡單的分數問題線段圖是基礎

學習分數乘法應用問題時，教材的例題均帶有線段圖以幫助學生理解。這些線段圖，不能僅僅定義為分析該題的一個直觀輔助，更不能想當然地認為三言兩語學生就能看懂會用，而是需要讓學生一步一步理解“量”“率”如何在線段圖上表示，理解什么是圖上的“對應”，能夠根據圖編數學問題，根據數學問題畫出圖。教學簡單的分數問題時，就重視這些環節的落實，到了較復雜的分數問題教學，學生就有能力較快地掌握技能，深度理解問題。事實上，畫分數應用題線段圖的過程，就是不斷理解數量關系、理解量率對應的過程。未必要求每位學生都能做對，但通過教學和訓練，使學生都能從“量率對應”的角度用線段圖表示出全部的或部分的已知信息和問題，學生在此過程中，對分數問題本身就會有更深程度的理解。

二、難度要根據學情一點點推進

本課設計面對的是前期有畫圖基礎的學生，如果學生基礎較弱，可以將本節課內容劃分成兩部分來教學——不變化位置的復雜問題和需要變化的復雜問題，從“強化對應”走向“如何巧妙對應”。畫線段圖的過程中，分數問題的特征會被一次次強化。學生一旦掌握了在線段圖上找“量率對應”的辦法，解決分數問題就簡單又充滿樂趣了。

接觸較難的分數問題，本質上就是為了強化鍛煉學生尋找對應的“率”與“量”的能力。經歷過這樣的分析思考過程，學生拿到一般分數問題會有比較強的尋找對應量率的意識，同時在解決這樣的問題過程中，學生充分感受到了線段圖分析分數問題的優越性，畫圖的意識和能力將得到大幅提升。