有魔性的單位“1”
——《分數除法》解決問題教學設計與解讀

陸 雅

【教學內容】

人教版六年級上冊第三單元《分數除法》解決問題例7。

【教學設計】

一、創設情境，質疑釋疑

1.課件出示信息：一段公路長30千米，工程隊修10天完成。

師：讀到了什么？想到了什么？

師：為了便于表述，我們把這三個量稱為——工作總量，工作效率，工作時間。（板書后，簡要講解三者意義及關系）

【解讀：本課是單元最后一個例題，因此問題情境簡潔，快速入題。通過簡要復習，回顧工作總量、工作效率、工作時間的關系。同時明白工作效率既可以指具體的量“每天修3千米”，也可以是抽象的量“每天修總長度的”。】

2.出示主題圖：兩個修路隊修一條路。工程一隊單獨修10天完成，工程二隊單獨修15天完成。兩隊合修多少天完成？

（1）提出問題，嘗試解決。

師：猜猜兩隊合修需多少天？

生：工程一隊單獨修10天完成，二隊來幫忙肯定比10天少。

師：你覺得解決這個問題，信息夠嗎？先思考，再用手勢表示。

生：信息不夠，不知道這條路有多長。

師：你是一位善于思考的學生。這樣吧，如果覺得信息不夠，那么老師提供了這些數據，你可以選擇一個計算。如果覺得信息夠了，那就按你自己的想法解決。

出示：一段公路長30千米、長60千米、長120千米、長240千米。

（學生嘗試計算，反饋交流）

生：用 30 千米。30÷（30÷10+30÷15）=30÷（3+2）=30÷5=6（天）。

（師生理解算式每一步表示的意義）

生：用 60 千米。60÷（60÷10+60÷15）=60÷（6+4）=60÷10=6（天）

（2）質疑。

生：不用算也知道是6天。

師：不用算也知道，你相信嗎？

生：不相信。

師：不相信怎么辦？

生：再算，驗證。

師生一起計算：120÷（120÷10+120÷15）=120÷（12+8）=120÷20=6（天），240÷（240÷10+240÷15）=240÷（24+16）=240÷40=6（天）

師：現在相信了嗎？

生：相信了。

【解讀：由前測可知，近40%的學生能利用單位“1”解決問題，但是只有不到10%的學生理解其中的道理，教師讓學生先想想信息夠不夠，再用手勢表示，目的在于促使每位學生都能真正思考，展現真實的想法，而不受他人的影響。教師提供四個數據，供學生選擇計算，使“走得快”和“走得慢”的學生都有路可走。果然反饋交流時有學生迫不及待地提出：“不用算也知道。”但是教師把關注點再次轉向“走得慢的學生”，問：“你相信嗎？”“不相信怎么辦？”經過再次計算，學生心里自然種下一粒猜想的種子：“是不是與總長度無關？”這種“迂回”的過程，既是本課學習所需，更是學習知識的一條基本道路?！?/p>

（3）驗證。

師：是不是所有的數據都這樣？（學生猶豫不決）再給你們一次假設的機會。

生：21千米。

師生一起計算：21÷（21÷10+21÷15）=21÷（2.1+1.4）=21÷3.5=6（天）。

師：現在你有什么想說的？

生：路的長度變了，但是合修天數不變。

●關鍵提問1：為什么總長度變化，合修天數卻不變？

師：我用30千米和60千米為例，畫了線段圖。（出示下圖）

師：你有什么想說的？

生：總長度變長了，兩隊每天修的長度也變長了，所以合修時間不變。

生：總長度60千米是30千米的兩倍，兩隊每天修的長度也是原來的兩倍，所以合修時間不變。

師：你們很會思考。總長度變長，但是一隊仍用10天修完，二隊仍用15天修完，因此每天修的路程也變長。

（4）提煉單位“1”。

●關鍵提問2：剛才大家發現總長度變了，兩隊合修一天的長度也變了。那什么始終不變？

生：工作時間不變。

生：每天修的路占總長度的幾分之幾沒變，也就是工作效率不變。

●關鍵提問3：剛才同學們說總長度變了，每天修的路程也要變，你卻說工作效率不變，這又是什么意思？

師：既然兩隊合修一天的長度占總長的幾分之幾是不變的，那就可以把這長度看作——

生：單位“1”。

（教師在黑板上畫線段圖）

【解讀：“是不是所有數據都這樣”問題一出，學生“不是”的聲音蓋過了“是”。由此可見，學生心中的疑惑并沒有真正解決。這是不完全歸納法的缺陷，需要足夠多的數據來支撐。而且，即便有大量數據，仍無法說服個別“愛鉆牛角尖”的學生。再給一次機會，學生選擇了“21米”。接下來是說理過程，即演繹歸納的過程，這是本課的重、難點，通過三次關鍵提問實現理解。教師先以具有倍數關系的“30千米”和“60千米”為例，用線段圖直觀呈現總長度變、修路天數不變。接著著重關注工作效率的“變”與“不變”，即工作效率的具體量變，“分率”這一抽象量不變，再次用線段圖直觀演示、至此把道理講清講透，自然提煉出把總路程看作“1”。】

3.小結：通過計算、比較、假設、驗證，最后得出結論。像這樣的問題，可以把工作總量看作單位“1”來解決。

二、建立模型，解釋應用

1.模塊練習。

師：除了修路問題，下面還有幾個問題。你們對哪個問題最感興趣？

衣：一匹布，可以做10件上衣，或者做15條褲子，現在想做成套裝，可以做幾套這樣的套裝？

食：一袋毛豆，爸爸單獨剝要10分鐘，我單獨剝要15分鐘。現在我和爸爸合作，幾分鐘可以剝完這袋毛豆？

?。阂粋€走廊，如果只鋪A瓷磚要鋪10塊，如果只鋪B瓷磚要鋪15塊。如果以“ABAB”這樣鋪，兩種瓷磚分別要鋪多少塊？

行：從寧波到武漢，一輛汽車要行10小時，一輛貨車要行15小時?，F在兩車分別從兩地同時出發相向而行，幾小時后相遇？

（學生選擇后逐題出示）

師：老師發現同學們越做越開心了，為什么？

生：我發現這些題都一樣。

生：單位“1”可以表示很多很多數。

生：我覺得單位“1”太厲害了。

師：你能體會到單位“1”的厲害，你也十分厲害！同學們，這就是數學，它可以把許多題變成一道題，如果你能透過這五道題看出一道題來，那么你已經具備了數學的眼光。

2.自主編題。

師：你還能編出可以用這個算式解決的問題嗎？

生：給幼兒園小朋友買果凍和餅干。我帶的錢可以買10個果凍，或者買15包餅干?，F在把一個果凍和一包餅干作為一份禮物，我帶的錢能買幾份禮物？

生：我和爸爸吃面條。一碗面條，我單獨吃完要15分鐘，爸爸單獨吃完要10分鐘，現在我們倆一起吃，幾分鐘吃完？

【解讀：“工程問題”在原實驗稿教材中退隱，而在新修訂稿教材中重出江湖，其意圖在教師教學用書明確指出：“要以工程問題為載體，讓學生經歷把現實問題模型化的過程，透過各種現實表象，找出隱藏其后的數量關系?！辈娬{教學時要注意避免加深難度?！耙率匙⌒小钡倪x擇，本身就激發學生的好奇心，而“越做越開心”的背后，是有魔性的單位“1”。學生自主編題，體現了他們對這“一類”問題的理解，做到了學以致用?！?/p>

三、鞏固練習，發展思維

2.某地遭遇暴雨，水庫水位已經超過警戒線，需泄洪。這個水庫有兩個泄洪口。只打開A口，8小時可以完成任務，只打開B口，6小時可以完成任務。如果兩個泄洪口同時打開，幾小時可以完成任務？

指揮部一開始只打開A口，3小時后發現汛情比預計的嚴重，于是同時打開B口，問再過幾小時可以完成任務？

【解讀：練習設計有層次、有變化，突出重點，在運用數量關系的同時進一步發展了學生的思維能力。】

四、總結收獲（略）