20以內數加減法的教材比較研究

王張妮

美國數學家哈爾莫斯指出“只有數學問題才是數學的心臟”。在數學課程中，課程內容和目標都可以并需要通過數學問題得以體現。某種意義上，它是教育者、學習者、教學內容三者之間有效溝通的橋梁，更是課程意志最直觀的表達。因此通過對教材中所設計問題的研究，可以更好地探知教材的價值取向，開展自覺有效的教學實踐活動。

一、研究對象

本研究選取人教版和浙教版教材中20以內數的運算部分進行比較研究。人教版教材普及面較廣，浙教版教材頗具特色，兩個版本的教材均廣受關注。

二、研究框架

1.框架。

目前國際上的教材比較主流的有橫向分析、縱向分析、背景分析等方法，鑒于三種分析方法都存在一定的優勢與劣勢，Charalambos Y.Charalambous等人曾經在研究中生動地刻畫橫向縱向交織的教材分析框架，對于本研究中關于人教版和浙教版兩種版本的20以內數的運算的比較分析框架的建立而言，無疑具有參考價值。在本研究中，與原始文本中所涉及到的知識內容有一定差異，因此做出一定修正來比較兩種教材所涉及的題目，盡可能更好地揭示教材的本質特征。

橫向上，我們比較20以內數的運算所包括的知識序列。縱向上，則著重于每個問題所呈現的知識的廣度和深度的探索，構建了任務多樣性、認知水平、思維類型、作答方式等四個方面的比較。

2.編碼。

在統計時需要對問題進行編碼，編碼方式舉例如下：

案例 1：把 2、3、4、5、6、7、8 這七個數填在每個圖的圓圈里，使每排及外圓圈上三個數的和相等（浙教版）。

該題可以編碼為：1.任務多樣性：運算與推理；2.認知水平：探究；3.思維類型：抽象邏輯；4.作答方式：推理論證。

除上所陳述之外，其中任務多樣性中，也應涉及“選數字構等式”這個形式，因為它是整個序列題訓練之后高度抽象的練習。但是在我們的編碼過程中則主要選取最能代表的一種形式，不拘泥于把所有可能涉及的點一一窮盡。

三、數據結果與分析

1.橫向比較。

橫向上，對兩個教材的學習序列進行深刻剖析，人教版教材將20以內數的運算直接鑲嵌在數的認識中，即會認某一段數，就要會簡單計算，任務要求相對簡單且任務結果更易于評價。而浙教版教材的安排則在前面認數中更重視感性的認知，以此為經驗基礎，著重對20以內數的運算問題進行探究。其中，浙教版教材還將2的乘法口訣納入到20以內數的運算當中，作為一個連續的板塊與加法銜接，這個安排契合數學內部的聯系，且符合兒童認知規律。

浙教版教材將乘法的意義及2的口訣前移，從聯系和發展的角度，用兒童已有的知識去促成新知的學習，而不是將乘法運算割裂開來。眾所周知，乘法是表示同數連加的一種方法，實際上是加法的一種特殊形式，浙教版教材在前期加法練習中就滲透了很多同數連加的經驗，在已經具備一定加法基礎的同時引入乘法，由2個2個量的累加作為漸進線索，探究了1～9的數與2相乘的結果，減輕了后繼乘法的學習負擔，也準確定位了兒童的最近發展區，為發展兒童數學學習的可能性創造更多空間。

2.任務多樣性的比較。

研究過程中抽取所有關于20以內數的加法習題，并總結出以下幾大類的題型進行頻率統計。

表1 任務類型的統計

通過表格的描述不難發現，人教版教材在題型安排上相對收斂，更注重基礎題的訓練，把主要內容集中在直接計算、看圖提問、看圖列式上。其中看圖提問、看圖列式關注具體情境的設置，符合低段兒童的心理特性，基于兒童已有的經驗學習新知，有助于兒童對知識的把握。但是在問題表征的多樣性上還未見有明顯突破。形如下題這樣的看圖列式題較多。

案例2：一共有10根蘿卜，小兔子拿走了3根，還剩下幾根？（人教版）

浙教版教材在任務設計上更加開放，不但創設了豐富的數學情境，而且有大量獨創的問題。特別是，使用數學的方式從多個角度表征運算的意義，別具內涵。

案例3：看圖填數。（浙教版）

如案例3用數軸的直觀變化來觸發兒童理解11向后增加5格得到16的理解，有效破除加法即離散數量疊加的困局，讓兒童在自然而然的過程中生發連續數量概念的意義，這實際上是數與運算學習過程中進一步的抽象；此外，在整個數軸上，兒童可以清晰的理解自然數的構成原理，一個數向前進與向后退的意義，在數軸上十分直觀且易于操作。

浙教版教材中具有代表性的是代數思維的提前萌發。在習題的分析中蘊含了大量的圖形等式和不等式的概念。在代數思維之前，有一個很重要的概念在學習中被建立起來，即“=”號除“得出”的含義之外，還有更為要緊的意義“平衡”。因此，在整個序列的訓練中，浙教版的教材中加入了大量的構建等式的練習，典型的題目是：

案例4：從1～9這九個數中，各選一個填入□里，每個數只能用一次。（浙教版）

□+□+□=□+□

經過大量的等式鋪墊，訓練兒童有序思考，獨立反思的能力。而在兒童形成平衡概念時，通過托盤天平的直觀結合引出圖形式，例如下題就是一個不定圖形等式，在兒童嘗試填空時會明顯感知給出定值時，兩個圖形都未知，則數值不唯一，這其中就有非常重要的代數與函數的意味，為兒童代數啟蒙提供了有意義的支撐。

案例5：6=○+△，○、△表示的數分別有哪些可能？

此外，在建構主義理論支撐下，浙教版教材在引出新知的過程中大量調用兒童已有知識與能力，而不僅限于活動，有效地升華了數學學習的主題。例如，大量類比題目的設置，加法算式與減法算式的類比、10～20數運算與10以內數運算的類比、定值的類比等等。

案例6：先計算，再選兩個計算式說一說被減數、減數與差。（浙教版）

5-4 4-2 16-3 13-2

15-4 14-2 3+16 2+11

由此可以看出浙教版教材的任務類型更為多樣，尤其可以滿足學習能力強的兒童的學習要求，當然，這對教師教學、評價的要求也很高。而人教版教材的任務類型則多指向于得出一個清晰、易于評價的答案，易于教學操作，利于普及，但在題目靈活性、多樣性方面相對較弱。

3.認知水平的比較。

數據中顯示人教版教材習題集中在識記、理解兩個層次，而在難題應用、探究方面難有突破。而浙教版教材問題靈活，并長于在學習過程中埋下伏筆，等待時機成熟時引入綜合類題型進行思維的突破。因而，在識記層面花費時間相對減少，強調兒童通過多樣化的任務自主建構知識、方法，在探究層面上尋求突破。

表2 兩個版本教材習題認知水平比較

4.思維類型的比較。

在題目的設置中實際上已經滲透了編者的指導思想，一個題目要訓練兒童哪些思維品質，在哪些能力上需要點撥升華，當然兒童在思維方面的提升受多種因素的影響，我們不能完全歸因于教材的問題設置，但可以從題中看出這種價值導向。

表3 兩個版本教材習題在體現的思維類型方面的比較

直觀動作思維是指在思維過程中以具體、實際動作作為支柱而進行的思維，這種思維所要解決的任務目標一般總是直觀的、具體的。具體形象思維是指在思維過程中借助于表象而進行的思維。抽象邏輯思維則是在思維過程中以概念、判斷、推理的形式來反映事物本質屬性和內在規律。

通過數據比對我們可以非常明顯地看到浙教版教材在兒童抽象邏輯思維的訓練方面相較人教版更加重視，有更多這方面的題目。

5.作答方式的比較。

人教版教材在題目設置中較為謹慎，作答類型更為收緊，其中單一答案的問題占53.9%，而在更為開放的題型上則鮮少有精力投入。而浙教版教材則在作答類型中都有涉及，且分布平均，尤其在概括類型方面的要求，更體現教材期望兒童在學習中能發展的創新思維能力和高層次數學思維能力。

表4 兩個版本教材作答類型的比較

兩個版本教材作答類型的比較

四、結論與啟示

與課程目標一致，兩個版本教材主要教學階段沒有顯著差異，都涵蓋了《數學課程標準（2011版）》中的具體知識點，但是在范例呈現與任務組織中則呈現出非常大的差異性。當任務使用多種表述和結構呈現多樣性，并提供多種解決方法時，對于學習者學習質量就有更直接的影響，他們將有更多的機會發展對20以內數的運算的理解和運用。而在問題的呈現中，則更應注重多元思維能力的開發、高認知水平的激活、多樣性任務的呈現、多角度的問題解答等。

除教材的呈現方式完整地展現在視線中之外，實際上以上數據尤其傳達了教材關于學習者的成就期望。浙教版教材力求每一個題都達到預期成就，因此不單在量上做疊加，而是力求以不同的任務類型促進量級的變化。比對數據我們不難發現，認知要求與思維水平在任務的安排上具有指導意義，直接定位了預設問題的價值與呈現方式，后續我們將更進一步進行相關性研究，探尋這種指導意義的實效性。