高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型及解題技巧分析

潘玉琴

摘 要 不等式可以說(shuō)既是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是難點(diǎn)內(nèi)容，都在學(xué)生在面對(duì)不等式學(xué)習(xí)的時(shí)候都會(huì)呈現(xiàn)出一種“無(wú)可奈何”的心態(tài)，在解不等式時(shí)也總會(huì)存在各種問(wèn)題。易錯(cuò)難解就成為了高中不等式教學(xué)的困局。

關(guān)鍵詞 高中數(shù)學(xué)；不等式；解題技巧

中圖分類號(hào)：O122.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2018）06-0144-01

盡管不等式教學(xué)面臨重重困難，但也并非無(wú)法消除這些困阻，只要我們不斷研究和創(chuàng)新，還是能夠化解不等式教學(xué)的難度，提高學(xué)生的解題技巧，還是能夠提高不等式教學(xué)質(zhì)量的，本文筆者就以自己多年的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)探討如何提高學(xué)生在不等式易錯(cuò)題型中的解題技巧。

一、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要不等式

不等式作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)，數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)注重對(duì)不等式的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行合理的講解與闡述。高中數(shù)學(xué)中重要的不等式主要有均值不等式。其一直是不等式中的重要考點(diǎn)，其中有調(diào)和平均數(shù)與幾何平均數(shù)、算數(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)的大小關(guān)系歷來(lái)是常考的內(nèi)容，其中調(diào)和平均數(shù)Hn=n/（1/a1+1/a2+...+1/an）≤幾何平均數(shù)Gn=（a1a2…an）（1/n）≤算術(shù)平均數(shù)An=（a1+a2+…+an）/n≤平方平均數(shù)Qn= ，即調(diào)和平均數(shù)小于等于幾何平均數(shù)、算數(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)（Hn≤Gn≤An≤Qn）；柯西不等式、三角不等式等。這幾種不等式皆是高中數(shù)學(xué)中最為重要也是最容易出現(xiàn)在考題中的不等式類型，要巧解高中不等式，教師就應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好這幾種重要的不等式。

二、解高中不等式時(shí)存在的誤區(qū)

筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解答不等式，常常會(huì)撞得頭破血流，歸其原因，還是因?yàn)閹讉€(gè)問(wèn)題：①學(xué)習(xí)遷移能力不高，老師只是個(gè)引路人，具體該怎么走，還要靠學(xué)生自己找到途徑；②思維不夠靈活，數(shù)學(xué)中的不等式確實(shí)比較難，它的解題方法也比較單一，在解題的時(shí)候，如果想不到適當(dāng)?shù)姆椒ň蜁?huì)很難把問(wèn)題解決；③不明確問(wèn)題的解集區(qū)域，或者是在求出解集范圍后，未明確范圍的邊界，也就是不能確定邊界值；④穿根法在解題的實(shí)際使用過(guò)程中，無(wú)法明確函數(shù)所具備的升降規(guī)律，致使解題中出現(xiàn)錯(cuò)誤。除此之外，參變量符號(hào)被忽視而導(dǎo)致錯(cuò)誤的出現(xiàn)，也屬于學(xué)生學(xué)習(xí)不等式過(guò)程中最普遍的錯(cuò)誤之一。

三、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重要不等式的解題技巧

通常我們?cè)诮獠坏仁綍r(shí)可以采用數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等方法，但是不同題型的不等式也是有不同的解題技巧的，我們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中應(yīng)該靈活選擇，掌握一定的技巧。具體分析如下：

（一）歸納不等式類型，以各個(gè)擊破

例如在解絕對(duì)值不等式，遇到求解不等式|4x-1|>x+4時(shí)，常用做法是將不等式兩邊同時(shí)平方，然后將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉尾坏仁絾?wèn)題，但正是這種慣性思維讓我忽略了其中的問(wèn)題，造成了錯(cuò)誤，同時(shí)這也是由于對(duì)于絕對(duì)值的理解存在一定的問(wèn)題。因此對(duì)于這樣的問(wèn)題，老師告訴我正確的解法應(yīng)是先考慮絕對(duì)值內(nèi)（4x-1）的正負(fù)問(wèn)題，當(dāng)（4x-1）>0時(shí)，可以直接去掉絕對(duì)值符號(hào)，按照一元一次不等式求解，如果（4x-1）<0，則應(yīng)該在兩邊同時(shí)乘以-1，然后再求解。因此我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的時(shí)候，需要從細(xì)節(jié)進(jìn)行抓取，加強(qiáng)絕對(duì)值對(duì)于不等式求解的影響，讓自己認(rèn)識(shí)到怎樣考慮問(wèn)題，只有全面思考，才能夠正確解答不等式。

（二）運(yùn)用線性規(guī)劃解決不等式問(wèn)題

在日常學(xué)習(xí)過(guò)程中，線性規(guī)劃和不等式問(wèn)題結(jié)合的題型出現(xiàn)頻率較高，且還逐漸發(fā)現(xiàn)與面積求解、定義域等知識(shí)有關(guān)，因此在解題過(guò)程中，就需要注意最大值與最小值，熟練掌握線性規(guī)劃與不等式性質(zhì)，明確上述兩知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，讓自己轉(zhuǎn)變解題思路，以逆向思維求解，從而保證解題的正確率。如：已知條件如下：a>0，x、y均符合x(chóng)≥1，y≥a（x-3），x+y≤3的要求，若z=2x+y，且最小值是1，求a值。我在解答這道題時(shí)，會(huì)對(duì)上述題目先進(jìn)行觀察與分析，然后發(fā)現(xiàn)該題的重點(diǎn)是對(duì)三直線確立的三角形及其面積的計(jì)算，與常規(guī)的最值求解存在很大區(qū)別，并且該題已經(jīng)率先給了最小值，所以我僅需找出題目中存在的不等式關(guān)系，明確可行域范圍與三角形可行域，對(duì)其中某條直線位置的變量進(jìn)行求解。

（三）加強(qiáng)知識(shí)的聯(lián)系，有趣味性的學(xué)習(xí)

不等式作為一項(xiàng)數(shù)學(xué)知識(shí)，事實(shí)上同我們的現(xiàn)實(shí)生活、工作等密切相關(guān)，因此我們要善于將看似抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)同簡(jiǎn)單的現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來(lái)，以此來(lái)激發(fā)自己的學(xué)習(xí)熱情和信心。比如，在正式進(jìn)入不等式知識(shí)學(xué)習(xí)前，我可以舉出一個(gè)與自己生活密切相關(guān)的例子，如某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元每千米，起步價(jià)為10元，最初的4千米計(jì)費(fèi)10元，如果我身上只有23元錢，而我要去17千米的地方，那么我至少得步行多遠(yuǎn)呢？當(dāng)我自己舉出這一例子時(shí)，會(huì)立刻進(jìn)入生活化情境中，將自己帶到乘坐出租車的真實(shí)體驗(yàn)中，從而進(jìn)入思考狀態(tài)，帶著興趣和熱情來(lái)分析問(wèn)題，然后通過(guò)分析已知條件，結(jié)合題目中的未知變量，經(jīng)過(guò)思考、分析，列出了一個(gè)不等式，建立起已知條件與未知變量間的關(guān)系，并利用不等式的相關(guān)性質(zhì)來(lái)解不等式，以通過(guò)這樣的方式，達(dá)到訓(xùn)練自己思維的目的。

四、結(jié)論

總之，在高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)中，教師們要不斷更新自己的教學(xué)策略，形成一個(gè)完整不等式教學(xué)體系，培養(yǎng)和提高學(xué)生不等式的解題能力，進(jìn)而打造高效的數(shù)學(xué)教學(xué)課堂。

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