例談圓錐曲線中求范圍問題

河北易縣中學 邊紅霞

圓錐曲線中求范圍的問題，綜合性強、靈活性高，往往沒有固定的解題模式，有利于考查學生的靈活應變能力，考查學生分析和解決問題的能力，是高考復習的重點內容。

一、創建函數

范圍問題中包含求離心率、斜率、截距的范圍等。這類問題一般變量多，條件少。其基本思路：根據條件列出變量間的等量關系式，將所求變量做為主變元，其余引起主變元變化的量，設為自變量，然后分離變量，即將主變元從中分離出來，創建函數，通過求函數的值域獲取范圍。

思考：若 2a2-c2=（a2-c2）a2是關于 a，c的齊次式，方程兩邊同除以a的最高次，得到關于e的方程，能求出e的具體值，但這道題求的是范圍，左邊是關于a，c的二次，右邊是四次，所以不是齊次式，這是在意料之中，因此就要另辟蹊徑。為出現離心率e，同時條件中給定了a的范圍，這樣考慮以e為主變元，以a為自變量，方程兩邊同除以a2，目標保留e，a，創建e關于a的函數，通過求函數的值域得解。

二、構造不等式

如何構造不等式，要深刻挖掘題目條件，充分利用圓錐曲線的定義及幾何性質，并關注解答過程中出現的各種信息，靈活選用方法，構造出不等式，常見有以下幾種。

1.根據圓錐曲線的幾何性質。

2.根據題目條件，由題干條件列出含參數的不等式。

3.利用基本不等式，根據各變量間的關系，利用圓錐曲線的定義等創造條件。

解：設 |F1P|=m，|F2P|=n，∵m+n=2a，在△PF1F2中，由余弦定理得，cos120°=

∴3a2≤4c2

思考：此題是利用基本不等式求解。根據橢圓的定義，橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為定值，積有最大值，從而利用基本不等式，進行放縮得解。在實際問題中，基本不等式是構造不等關系最常見的方法。

三、利用數形結合

解析幾何的實質是用代數的方法研究幾何問題。因此，圖形是分析問題的基礎，充分利用圖形中幾何量的關系，建立不等式或方程，然后用代數方法進行研究，也是求解范圍問題的一種方法，特別是在解選擇題、填空題中更為常見。

例 3 已知雙曲線 x2-my2=1（m＞0）的右焦點為A，而B，C是雙曲線右支上的兩點，如果△ABC是正三角形，求m的取值范圍。

解：數形結合，由雙曲線的對稱性，若右支上存在正三角形△ABC，則B，C必關于x軸對稱，且直線AB的斜率為tan30°此時直線AB必與漸近線l有交點，∴kAB＞kl，而漸近線所以有，即 m＞3。

思考：數形結合是解決圓錐曲線問題的典型方法，利用圓錐曲線的幾何性質，其圖形的規律性、對稱性等，為解題提供了很多信息，并通過對圖形的分析找到解題的突破點。

根據以上例題可以看出，解析幾何中求范圍問題，常轉化為函數或不等式解決。分析的關鍵，就是利用圓錐曲線的定義和幾何性質，根據圖形能夠敏銳地發現變量間的關系，并依據關系合理選擇主變元進行轉化實施分離變量，最后構建函數關系，或轉化為不等式。其中，熟練掌握圓錐曲線的概念是基礎，全面列出變量關系是前提，靈活選用方法準確運算是關鍵！