高中數(shù)學(xué)教材人教A、B版三角函數(shù)內(nèi)容的比較

張濡川 鄭秀

【摘要】2003年4月，教育部向全國各個(gè)省份頒布《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》這一標(biāo)準(zhǔn)，全國各省份統(tǒng)一在2004年正式開始進(jìn)行新一輪高中課程改革，在《新課標(biāo)》的基本理念和要求下有五套教材通過審定.本文的研究將選擇人民教育出版社A版、B版教材，這兩個(gè)版本中三角函數(shù)這部分內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比研究.

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；人教A版教材；人教B版教材；比較

一、任意角三角函數(shù)概念引入的比較

任意角三角函數(shù)定義方法有單位圓定義法和終邊坐標(biāo)定義法，具體內(nèi)容如下：

（一）單位圓定義法

如圖1所示，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么：（1）y叫作α的正弦，記作sinα，即sinα=y；（2）x叫作α的余弦，記作cosα，即cosα=x；（3）yx叫作α的正切，記作tanα，即tanα=yx（x≠0）.

圖1

圖2

（二）終邊坐標(biāo)定義法

一般地，設(shè)α是一個(gè)任意角，P（x，y）是終邊上的任意一點(diǎn)，P與原點(diǎn)的距離為r，如圖2所示.那么，（1）比值yr叫作α的正弦，記作sinα，即sinα=yr；（2）比值xr叫作α的余弦，記作cosα，即cosα=xr；（3）比值yx叫作α的正切，記作tanα，即tanα=yx.

人教A版和人教B版都是從學(xué)生在初中所學(xué)習(xí)過的直角三角形中的銳角三角函數(shù)引入的，不同點(diǎn)在于人教A版在任意角三角函數(shù)的引入部分采用了以下方式：（1）直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)；（2）象限角為載體的銳角三角函數(shù)；（3）單位圓上的點(diǎn)表示銳角三角函數(shù)；（4）任意角的三角函數(shù).在定義上采用的是單位圓定義法.[1]人教B版在引入部分則采用了以下方式：（1）復(fù)習(xí)銳角三角比值；（2）比值與終邊上點(diǎn)的選取無關(guān)；（3）任意角的三角函數(shù)定義.在定義方式上采用的是終邊坐標(biāo)定義法.

這兩種定義方式曾在學(xué)術(shù)界引發(fā)爭鳴，章建躍認(rèn)為單位圓定義法更加合適用于任意角三角函數(shù)的定義，并從三角函數(shù)的特殊性質(zhì)、知識(shí)結(jié)構(gòu)、歷史發(fā)展和后續(xù)學(xué)習(xí)四個(gè)方面來解釋“單位圓定義法”的優(yōu)勢.而孫孜、涂榮豹等從歷史發(fā)展，概念本質(zhì)，認(rèn)知規(guī)律，便于解題等方面闡述“終邊坐標(biāo)法”更適用的依據(jù).[2]

這兩種方法在任意角三角函數(shù)的定義上各有優(yōu)勢，單位圓定義法能夠清晰地展現(xiàn)三角函數(shù)的周期性，并且能夠從圖像上直觀地看出三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等基本性質(zhì)，有利于學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的提高.終邊坐標(biāo)定義法更符合三角函數(shù)的形成和發(fā)展，采用比值定義的形式更能夠反映出任意角三角函數(shù)的本質(zhì).并且終邊坐標(biāo)定義法從學(xué)生初中所學(xué)過的銳角三角函數(shù)入手，以此為過渡，符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，使學(xué)生更容易接受和理解.在實(shí)際教學(xué)中可以根據(jù)具體情況結(jié)合這兩種方式，取長補(bǔ)短，合理地選擇教學(xué)策略.

二、三角函數(shù)公式和定理引入的比較

人教A版采用的引入方式為：（1）由電視塔的高度引出任意角的兩角和與差三角函數(shù)值的思考；（2）特例驗(yàn)證猜想公式.證明方法采用三角函數(shù)線和向量法.人教B版則是直接給出公式，并用向量法證明.

相比之下人教A版教材更為重視公式的引入，教材首先通過實(shí)際的例子明確提出了要探索的問題，再通過推翻學(xué)生憑直覺易得出的式子，最后推導(dǎo)證明公式.人教A版在閱讀材料方面有探究與發(fā)現(xiàn)、思考，這些閱讀材料安排在教科書中，對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展，提有很大的幫助.學(xué)生們可以通過閱讀這些材料，了解到更多的課外知識(shí).

相對(duì)來說，人教B版教材就是最直接的，沒有公式的引入和探究過程，直接給出公式，再對(duì)公式進(jìn)行證明.這種方式對(duì)于理解能力較弱的同學(xué)有一定的難度，很難真正理解公式，難以做到靈活運(yùn)用.[3]

三、三角函數(shù)圖像變換的教學(xué)內(nèi)容比較

觀察圖像是學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)的最佳方法，函數(shù)圖像能夠直觀地反映出函數(shù)的性質(zhì).本文選取函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像為研究圖像變換的對(duì)象.通過比較可以得出，兩個(gè)版本知識(shí)點(diǎn)的含量是相同的，但在知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)的順序上有所不同.人教A版開篇就來探索參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的影響，三個(gè)參數(shù)探索完畢后，再指出振幅、周期、頻率等物理量的命名.[4]這種順序安排方式，信息容量比較大，學(xué)生學(xué)習(xí)起來比較吃力，很難理解.人教B版在學(xué)習(xí)正弦函數(shù)后，緊接著給出了正弦型函數(shù)，并簡單說明周期、頻率的含義，再以例題的形式分別探究參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的作用，在每個(gè)參數(shù)單獨(dú)探討后再給出相應(yīng)的名稱.這種順序的安排，層次比較清晰，相對(duì)降低了理解的難度.

四、總 結(jié)

通過本文的比較分析，兩個(gè)版本的教材在教材體例，教材內(nèi)容選取，教材難度上基本一致.在教材編寫特色方面，人教A版較為突出，真正體現(xiàn)了“以學(xué)生的發(fā)展為主體”的教學(xué)理念.人教B版教材的內(nèi)容編排應(yīng)試觀念較突出，沒有體現(xiàn)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的理念，并且教材習(xí)題量過大，在一定程度上造成了學(xué)生的負(fù)擔(dān).

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]杜蕊.人教A版與B版高中數(shù)學(xué)教材比較研究[D].福建師范大學(xué)，2014.

[3]人民教育出版社課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)教材實(shí)驗(yàn)研究組.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)4必修A版[M].北京：人民教育出版社，2004.

[4]人民教育出版社課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)教材實(shí)驗(yàn)研究組.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)4必修B版[M].北京：人民教育出版社，2009.