巧用幾何性質解決解析幾何問題

黃真輝

【摘要】解析幾何問題在高中數學教學中是重點內容，其難度較高，運算量大.在高考試題中出現頻率較高.在分析解析幾何問題時，最常見的方法就是將代數方法與數形結合思想相結合輔以思考.而在解決解析幾何問題時，加以必要的平面幾何知識，則可以更好地幫助學生了解解析幾何特性，并有效地突破、解決解析幾何問題的難點與重點.

【關鍵詞】平面幾何；解析幾何；代數方法；數形結合

解析幾何作為高中數學重要的教學內容之一，其主要是在建立坐標系的基礎上，用坐標表示點，用方程表示曲線，通過代數運算處理幾何問題.解析幾何的基本思想是通過坐標法將幾何圖形轉化成方程，通過對方程的研究達到研究幾何圖形性質的目的，并利用坐標法，將形與數有效地統一起來.

但是，一味強調解析幾何中的計算，會導致解題過程繁瑣.如果在進行計算的同時能綜合考慮平面幾何因素，則能夠簡化運算.以“圓”為例，在解析幾何中，涉及直線和圓的有關問題時，若能抓住題設中圖形特征和數量關系，充分利用平面幾何中的有關性質，可得到簡捷解法.下面，筆者主要介紹五種基本平面幾何性質，并將其用于解決解析幾何問題.

一、利用平行四邊形的判定與性質

巧妙利用平行四邊形的判定定理——對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可把解析幾何問題中的條件綜合在一起，從而達到問題的巧解.

已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，O為坐標原點.P是雙曲線在第一象限上的點，直線PO，PF2分別交雙曲線C左、右支于另一點M，N.若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，則雙曲線C的離心率.

分析 P，M關于原點對稱，F1，F2也關于原點對稱.所以四邊形PF1MF2是平行四邊形，因此，PF1∥MF2，∴∠F1PF2=∠MF2N=60°在△F1PF2中由余弦定理可得e=ca=3.

這里體現了平面幾何性質的妙用.

二、利用平行線及等腰三角形性質

筆者研究2016高考全國卷的第20題時，進一步體會到平面幾何的妙用.并在平時教學中滲透這種思想，提高學生思維能力.

設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

（1）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（2）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

分析 本題妙用兩直線平行，同位角相等.等腰三角形中等邊對等角、等角對等邊達到問題的轉化解決.

由EB∥AC得到∠EBD=∠ACD，由|AD|=|AC|得到∠ADC=∠ACD，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.

又圓A的標準方程為（x+1）2+y2=16，從而|AD|=4，就有|EA|+|EB|=4為定值.

（2）略.

因此，在平時教學中常滲透這種思想，以提高學生思維能力，使學生在考慮問題時養成良好的思維習慣.

三、利用相似三角形性質

已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點.若FP=4FQ，則|QF|=.

分析 由拋物線定義可過點Q作QM⊥l，垂足為M，則QM∥x軸，準線l與x軸交于N點，就有△PQM∽△PFN，所以PF=4FQ，|MQ|4=|PQ||PF|=34，可得|QF|=|MQ|=3.

四、利用中垂線的性質

中垂線的基本性質有以下兩點：（1）中垂線上的任意一點到線段兩端的距離相等；（2）到線段兩端距離相等的點在這條線段的中垂線上.

教材中的習題：圓B：（x+1）2+y2=16，點A（1，0），P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l和半徑BP相交于點Q，當P點在圓上運動時，求點Q的軌跡方程.

分析 ∵p為圓O上的一動點，線段AP的垂直平分線交直線OP于點Q，則QA=QP，QA-QP=OP-OQ=r-OQ，∴QA+OQ=r>OA，故Q的軌跡是：以O，A為焦點，r為長軸的橢圓.

五、利用圓與正六邊形關系

圓的內接正六邊形的六個頂點與圓心連接把正六邊形分割成六個全等的正三角形.以此性質可巧妙地解決下面這個解析幾何題.

例題 以橢圓M：x2a2+y2=1（a>1）的四個頂點為頂點的四邊形的四條邊與⊙O：x2+y2=1共有6個交點，且這6個點恰好把圓周六等分.求橢圓M的方程.

分析 依題意，A（0，1），B（a，0），又設⊙O與AB交于M點，則△AOM為正三角形就有∠OAB=60°，從而得到a=3，由此就能求出橢圓方程.

綜上所述，解答解析幾何問題時，要切實掌握巧用平面幾何性質解決解析幾何問題這一基本思想.同時，在解題時應注意積極應用平面幾何定理，在將幾何問題化歸為代數的過程中，可以直接應用一些平面幾何知識，這是解答解析幾何問題的一種基本技巧.近幾年，應用平面幾何定理解決問題也是高考的熱點之一，這也有助于學生了解幾何特性在解決解析幾何問題中的作用.

【參考文獻】

[1]徐凌，吳寶樹.巧用平面幾何性質 簡化解析幾何運算[J].數理化解題研究，2016（25）：32.

[2]林慧斌.巧用平面幾何知識解解析幾何的問題[J].亞太教育，2016（29）：178.