數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

汪鵬

【摘要】數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見(jiàn)的如在解方程和解不等式問(wèn)題中，在求函數(shù)的值域、最值問(wèn)題中，或者在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)解題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅可以直觀地找到解題途徑，而且可以避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程，教師要注意培養(yǎng)學(xué)生的這種思想意識(shí)，學(xué)生應(yīng)爭(zhēng)取做到“心中有圖”“見(jiàn)數(shù)想圖”，以開(kāi)拓自己的思維視野.下面舉例說(shuō)明，以達(dá)拋磚引玉之意.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)

一、從數(shù)到形，利用形的直觀，削弱復(fù)雜的推理

例1 求sin210°+cos240°+sin210°cos240°的值.

解析1 原式可變形為sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos120°，它的結(jié)構(gòu)與形狀和三角形中的余弦定理相似，借助幾何圖形，可作△ABC，由余弦定理和正弦定理得：sin因?yàn)锳=10°，B=50°，C=120°，

所以sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos120°=sin120°=34.

這種解法避開(kāi)了繁雜的三角化簡(jiǎn)運(yùn)算，只用到正弦、余弦定理，方便直觀.

解析2 原式可變形為cos280°+cos240°-2cos80°cos40°cos120°，如圖2所示，構(gòu)造直徑為1的⊙O，以A為頂點(diǎn)在直徑AC一側(cè)作∠BAC=40°，∠DAC=80°，由Rt△ABC與Rt△ADC知，AB=cos40°，AD=cos80°，由正弦定理DB=sin120°，所以cos280°+cos240°-2cos80°cos40°cos120°=sin2120°=34.

例2 已知圓C：（x+2）2+y2=1，p（x，y）為圓C上任意一點(diǎn).

（1）求y-2x-1的最大、最小值；

（2）求x-2y的最大、最小值.

分析 （1）由y-2x-1容易聯(lián)想到它的幾何意義是點(diǎn)（x，y）與（1，2）所確定直線的斜率.

（2）由x-2y可聯(lián)想到“目標(biāo)函數(shù)”，可視為動(dòng)直線的截距問(wèn)題.

解 （1）如圖3所示，設(shè)Q（1，2），由p（x，y）得y-2x-1=k的最大、最小值分別為過(guò)Q點(diǎn)的圓C的兩條切線的斜率，將上述整理得kx-y+2-k=0，由C（-2，0）到直線kx-y+2-k=0得距離為1，得d=|-2k+2-k|1+k2=1，∴k=3±34，∴y-2x-1的最大值為3+34，最小值為3-34.

（2）令x-2y=u，則可視為一組平行線系，當(dāng)直線與⊙C有公共點(diǎn)時(shí)，u的范圍可求，最大值必在直線與⊙C相切時(shí)取得d=|1-2-u|5=1，∴u=-2±5，∴x-2y的最大值為-2+5，最小值為-2-5.

二、從形到數(shù)，以形助數(shù)，借助數(shù)的精確性來(lái)闡述形的某些屬性

例3 如圖4所示，四面體V-ABC中，VA，VB，VC兩兩互相垂直，求證：S2△ABC=S2△VAB+S2△VBC+S2△VCA.

解析 四面體是最簡(jiǎn)單的多面體，三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形，由它們之間的這種相似性出發(fā)，由立體圖形類(lèi)比到平面圖形，再由平面圖形的證明類(lèi)比到立體圖形的證明.由圖4類(lèi)比到圖5中，四面體V-ABC中所求證的結(jié)論，類(lèi)比為直角三角形中的勾股定理.

在圖5中，過(guò)C作CD⊥AB，D為垂足，則AC2+BC2=AD·AB+BD·AB=AB·（AD+BD）=AB2，于是，可類(lèi)比得本題的證明方法：

如圖4所示，過(guò)V作截面VAD⊥BC，則截面VAD⊥面ABC，

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三、總 結(jié)

數(shù)形結(jié)合的解題思想，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使形象思維和抽象思維結(jié)合起來(lái)，使初看很難或很繁雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，為我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了多條渠道，使靈活性、創(chuàng)造性的思維品質(zhì)在其中得到更大限度的發(fā)揮，它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及思維能力起到重要作用.