理解問題的角度，決定了解題的方向

徐劍飛

【摘要】解題就是把問題歸結(jié)為已經(jīng)解決的題目，從不同角度去理解就會(huì)形成對(duì)問題的不同歸結(jié)，解法自然會(huì)有較大的差異.本文以一道模考題為例，分別從二次函數(shù)最值，絕對(duì)值不等式性質(zhì)角度，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)角度等三個(gè)角度去理解，從而得出不同的問題轉(zhuǎn)化方向.抓住理解問題的角度和轉(zhuǎn)化問題的方向，也就是解題教學(xué)的關(guān)鍵所在.

【關(guān)鍵詞】理解問題的角度；轉(zhuǎn)化問題的方向；二次函數(shù)值差

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家亞諾夫斯卡婭認(rèn)為，解題就是把題歸結(jié)為已經(jīng)解決的題.同為蘇聯(lián)的弗里德曼在《怎樣學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題》中也認(rèn)為，識(shí)別給定問題的類型是解題的第一件事.當(dāng)然，還有些時(shí)候不容易鑒別或者歸類（這當(dāng)然與解題者的能力有關(guān)）.此時(shí)，對(duì)問題理解角度的不同，就會(huì)形成對(duì)問題歸結(jié)的不同，解法自然會(huì)有較大差異.

問題 設(shè)f（x）=4x+1+a·2x+b（a，b∈R），若對(duì)于x∈[0，1]，|f（x）|≤12都成立，則b=.

令2x=t∈[1，2]，則已知為g（t）=4t2+at+b，對(duì)t∈[1，2]，|g（t）|≤12恒成立.

角度一 將|g（t）|≤12理解為-12≤g（t）≤12，即g（t）max≤12且g（t）min≥-12，從而將問題定性為g（t）的最大（小）值問題，于是有以下的解法.

解法一

當(dāng)-a8≤1時(shí)，g（t）max=g（2），g（t）min=g（1），

從而16+2a+b≤12，

4+a+b≥-12，

-a8≤1.

由①②可得，12-2a-16≥b≥-12-4-a，從而a≤-11與③矛盾，此時(shí)無解；

當(dāng)-a8≥2時(shí)，同理有4+a+b≤12，16+2a+b≥-12，

解得a≥-13，但與a≤-16矛盾，此時(shí)無解.

同理分析當(dāng)1<-a8≤32時(shí)，32<-a8<2.

可知，僅有b=172滿足.（此時(shí)a=-12）

說明：把本題視為簡(jiǎn)單的二次函數(shù)最值問題入手容易，除討論稍顯復(fù)雜以外解法顯得厚重，然而關(guān)鍵之處還在于利用二元不等式組先行求得a的范圍（或值），消去b還是消a對(duì)解題的影響較大.事實(shí)上大多數(shù)學(xué)生面對(duì)形如①②③這樣的不等式組是會(huì)有抵觸情緒的，尤其是一個(gè)填空題.當(dāng)然，還可以從線性規(guī)劃角度來考查這些不等式組并進(jìn)而求得b及a的值.但由于有二元二次不等式存在，作圖的精確性也難以把握.

角度二 將|g（t）|≤12恒成立理解為關(guān)于a，b的幾個(gè)絕對(duì)值不等式，借助絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求解.

解法二 分別令t=1，32，2，可得

|4+a+b|≤12，|16+2a+b|≤12，9+32a+b≤12，

故2≥|4+a+b|+|16+2a+b|+29+32a+b

≥|4+a+b+16+2a+b-（18+3a+2b）|

=2.

由等號(hào)成立條件可知，有|4+a+b|=|16+2a+b|=9+32a+b，且4+a+b與16+2a+b同號(hào)，與9+32a+b異號(hào)，

故4+a+b=16+2a+b=12，9+32a+b=-12，①

或4+a+b=16+2a+b=-12，9+32a+b=12，②

解①得a=-12，b=172；解②得方程組無解.

綜上所述，b=172.

說明：從恒成立到特殊的幾個(gè)值成立是本解法的關(guān)鍵之處，然而也正是取特殊值令該解法充滿了迷幻色彩——為何取這三個(gè)值？是否具有一般性？

角度三 回歸到對(duì)函數(shù)本身的理解上，問題即為尋找一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)確定的二次函數(shù)，使其在區(qū)間[1，2]上，圖像始終介于兩平行直線y=±12之間.

更直觀地：將曲線y=4x2怎樣平移，可使其在x∈[1，2]上始終夾在y=±12之間.

解法三 退一步的先考查函數(shù)y=4x2，研究其在長(zhǎng)為定值1的區(qū)間上的最大值和最小值之差Δy，由此若要曲線能夾在間距為1的兩水平直線間，只有對(duì)稱軸恰為t=32，不妨令g（t）=4t-322+c.

由g（t）min≥-12知c≥-12.

又g（t）max≤12知c+1≤12，解得c≤-12，

故c=-12.

從而g（t）=4t-322-12=4t2-12t+172，即b=172.

說明：相較于解法一的厚重與解法二的奇巧，解法三更依賴于函數(shù)本身的性質(zhì)，或者說該解法揭示了二次函數(shù)的一項(xiàng)重要性質(zhì).

縱觀三種解法，源自三個(gè)不同的理解角度——或最值或絕對(duì)值不等式或二次函數(shù)的值差，從而也就得出三種不同的問題轉(zhuǎn)化方向，而每種轉(zhuǎn)化都是熟悉的，乃至是根本的.是否可以這樣形容：理解問題的角度是解題的靈魂，轉(zhuǎn)化問題的方向是解題的核心；抓住這兩者，自然不會(huì)因?yàn)榻忸}過程的區(qū)別與多樣性而迷失.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]朱佳英.探討初中數(shù)學(xué)“二次函數(shù)”的教學(xué)實(shí)踐[J].理科考試研究，2014（20）：2.