高等數學中反常積分教學的例談

車晉

【摘要】積分學是高等數學中一個非常重要的內容.對于一元函數而言，其積分學主要包括兩種類型，即定積分與反常積分.定積分在高數中的討論較多，對于反常積分的研究和計算亟須強化.本文以舉例的方法，著重闡述了高等數學中反常積分的基本概念以及兩種常見的反常積分（無窮積分與瑕積分）的計算方法，旨在為更好地開展高數反常積分教學提供參考.

【關鍵詞】高等數學；反常積分；教學；無窮積分；瑕積分；收斂性質

一、引 言

積分學是微積分理論體系中的一個十分重要的部分.一元函數的積分學主要包括定積分與反常積分兩種類別，而反常積分又包括兩種主要類型：無窮積分與瑕積分.不管何種類型的反常積分，均可視為定積分的推廣，其本質屬于極限形式.與定積分不同的是，反常積分屬于一種更加一般的積分.在實際教學過程中，不能將定積分與反常積分混為一談，二者應該區分開來.從定義而言，定積分并不具備反常積分的某些性質.由此可以得知，反常積分相較于定積分而言，研究其基本性質及計算方法等則更具意義.

圖1

二、反常積分的基本概念

（一）引 例

例1 如圖1所示，求曲線y=1x2，x軸與直線x=1的右邊所圍成的“開口曲邊梯形”的面積大小.

解 根據上圖及題干中的題意可以得知，該圖形屬于非封閉式的曲邊梯形，而在x軸的正方向是開口的，即這時的積分區間為[1，+∞）.

由此可得：對于b>1，那么“開口曲邊梯形”的面積可用下式進行表示：

∫b11x2dx=-1xb1=1-1b.

很顯然地，b發生變化時，“開口曲邊梯形”的面積也隨之而發生變化，

所以，當b→+∞時，可得：

limb→+∞∫b11x2dx=limb→+∞1-1b=1.

由上述計算結果可得，圖1中“開口曲邊梯形”的面積為1.

（二）無窮積分與瑕積分的定義

1.無窮積分的定義

定義1 設函數f（x）在區間[a，+∞）上連續，取b>a，如果極限limb→+∞∫baf（x）dx存在，則稱此極限為函數f（x）在無窮區間[a，+∞）上的無窮限的反常積分，可記為：

∫+∞af（x）dx=limb→+∞∫baf（x）dx.（1）

此時，也稱反常積分∫+∞af（x）dx收斂；若上述極限不存在，就稱反常積分∫+∞af（x）dx發散，這時記號∫+∞af（x）dx不再表示數值了.

圖2

例如，如圖2所示，求灰色部分的面積.

解 ∫+∞011+x2dx

=limb→+∞∫b011+x2dx

=limb→+∞[arctanx]b0=limb→+∞arctanb

=π2.

類似地，設函數f（x）在區間（-∞，b]上連續，取a

∫b-∞f（x）dx=lima→-∞∫baf（x）dx.（2）

這時也稱無窮積分∫b-∞f（x）dx收斂；若上述極限不存在，就稱反常積分∫b-∞f（x）dx發散.

設函數f（x）在區間（-∞，+∞）上連續，若反常積分∫0-∞f（x）dx和反常積分∫+∞0f（x）dx均為收斂積分，則稱上述兩無窮限的反常積分之和為函數f（x）在區間（-∞，+∞）上的反常積分，可將其記作為如下式：

∫+∞-∞f（x）dx=∫0-∞f（x）dx+∫+∞0f（x）dx

=lima→+∞∫0af（x）dx+limb→+∞∫b0f（x）dx.（3）

此時，也稱無窮積分∫+∞-∞f（x）dx收斂；否則就稱無窮積分∫+∞-∞f（x）dx發散.

根據如上定義，可舉例：計算反常積分∫+∞-∞dx1+x2.

解 ∫+∞-∞dx1+x2=∫0-∞dx1+x2+∫+∞0dx1+x2

=lima→-∞∫0a11+x2dx+limb→+∞∫b011+x2dx

=lima→-∞[arctanx]0a+limb→+∞[arctanx]b0

=-lima→-∞arctana+limb→+∞arctanb

=--π2+π2=π.

2.瑕積分

定義 設函數f（x）在區間（a，b]上連續，而在點a的右鄰域內無界，取ε>0.如果極限：limε→0+∫ba+εf（x）dx存在，那么稱此極限為無界函數f（x）在（a，b]上的反常積分，且仍然將該積分記為：∫baf（x）dx=limε→0+∫ba+εf（x）dx.（4）

這時也稱反常積分∫baf（x）dx收斂，如果上述極限不存在，就稱反常積分∫baf（x）dx發散.

類似地，設函數f（x）在區間[a，b）上連續，而在點b的左鄰域內無界，取ε>0.

如果極限limε→0+∫b-εaf（x）dx存在，那么則可以做如下定義：

∫baf（x）dx=limε→0+∫b-εaf（x）dx.（5）

否則，就稱反常積分∫baf（x）dx發散.

設函數f（x）在區間[a，b]上除點c（a

∫baf（x）dx=∫caf（x）dx+∫bcf（x）dx=limε→0+∫c-εaf（x）dx+ limε′→0+∫bc+ε′f（x）dx.（6）

否則，就稱反常積分∫baf（x）dx發散.

例如，討論反常積分∫1-1dxx2的收斂性.

解 被積函數f（x）=1x2在積分區間[-1，1]上除了x=0外連續，且 limx→01x2=∞，

由于∫0-11x2dx=limε→0+∫0-ε-11x2dx=limε→0+-1x-ε-1=limε→0+1ε-1=+∞.

即反常積分∫0-1dxx2發散，因此，反常積分∫1-1dxx2發散.

又如，討論瑕積分∫101xpdx（p>0）的收斂性.

解 被積函數f在（0，1]上連續，x=0是瑕點.由于：

∫101xpdx=11-p（1-u1-p），p≠1，-lnu，p=1（0

因此，當0

∫101xpdx=limu→0+∫1u1xpdx=11-p；

當p≥1時，瑕積分發散于+∞.

根據如上關于無窮積分與瑕積分的定義及相關舉例探討，需要注意的是：反常積分與定積分不同，尤其是瑕積分，它與定積分采用同一種表達方式，但其含義卻不同，遇到有限區間上的積分時，要仔細檢查是否有瑕點.反常積分中，N-L公式，換元積分公式、分部積分公式仍然成立，但是，代入上、下限時代入的是極限值.

三、無窮積分與瑕積分的收斂性質與判別

（一）無窮積分的收斂性質與判別

1.無窮積分的性質

性質1 若∫+∞af1（x）dx與∫+∞af2（x）dx都收斂，k1，k2為任意常數，則∫+∞a[k1f1（x）+k2f2（x）]dx也收斂，且

∫+∞a[k1f1（x）+k2f2（x）]dx=k1∫+∞af1（x）dx+k2∫+∞af2（x）dx.

性質2 如果f在任何有限區間[a，u]上可積，a

∫+∞af（x）dx與∫+∞bf（x）dx同收斂同發散，且

∫+∞af（x）dx=∫baf（x）dx+∫+∞bf（x）dx.

2.無窮積分的判別法

（1）柯西準則.無窮積分∫+∞af（x）dx收斂的充分必要條件是：

ε>0，G≥a，只要u1、u2>G，那么則有：

∫u 2u1f（x）dx<ε.

（2）狄利克雷判別法.如果F（x）=∫uaf（x）dx在[a，+∞）上有邊界，g（x）在[a，+∞）上當x→+∞的時候單調趨于0，那么：∫+∞af（x）g（x）dx收斂.

（3）阿貝爾判別法.如果∫+∞af（x）dx收斂，g（x）在[a，+∞）上單調有界，那么：

∫+∞af（x）g（x）dx收斂.

例如，探討如下無窮積分的收斂性：

（1）∫+∞1xaexdx.

（2）∫+∞0x2（x5+1）dx.

解 （1）對于任何一個α∈R，那么則有：

limx→+∞x2·xαe-x=limx→+∞xα+2ex=0，

根據柯西判別法，∫+∞1xaexdxα∈R均收斂.

（2）由于limx→+∞x12·x2x5+1=1，根據柯西判別法，則有∫+∞0x2（x5+1）dx發散.

（二）瑕積分的性質與判別法

1.瑕積分的性質

性質1 若f的瑕點為x=a，c∈（a，b）為任意常數，

則瑕積分∫baf（x）dx與∫caf（x）dx同斂態，且

∫baf（x）dx=∫caf（x）dx+∫bcf（x）dx.

性質2

若函數f的瑕點為x=a，f在（a，b]的任一內閉區間[u，b]上可積.則當∫+∞a|f（x）|dx收斂時，∫baf（x）dx必收斂，且

∫baf（x）dx≤∫ba|f（x）|dx.

2.瑕積分的判別方法

（1）柯西判別法.設f定義在（a，b]（a為瑕點）且在任何區間[u，b]（a，b]上可積，那么：

當f（x）≤1（x-a）p，且0

當f（x）≥1（x-a）p，且p≥1時，∫baf（x）dx收斂.

（2）A-D判別法.如果下列2個條件之一滿足，均有：

∫baf（x）g（x）dx收斂，① （Abe1判別法）∫baf（x）dx收斂，g（x）在[a，b）上單調有界.

② （Dirichlet判別法）F（η）=∫b-ηaf（x）dx在[a，b）上有界，g（x）在[a，b）上單調且 limb-g（x）=0.

四、結 論

綜上所述，由上述關于反常積分概念及無窮積分、瑕積分定義、性質及判別方法等的介紹可知，不管是無窮積分還是瑕積分，二者均屬于定積分的推廣.上述兩種類別的反常積分的收斂性首先要以某類有限區間上的可積性作為根本前提.此外，還要求積分的上下限在某一個趨勢條件的變限積分的極限存在.所以，在實際教學過程中，筆者從定義出發，對不同類型的反常積分的性質差異等進行區分，從而對學生更好地理解反常積分具有十分重要的意義.

【參考文獻】

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2006.