一種利用求反函數推廣反三角恒等式的方法

馬志良

【摘 要】通過對三角函數在一般單調區間上求反函數，得出了反三角函數在一般單調區間上的解析式，并應用對應的反三角恒等式對反三角求值問題進行了求解。

【關鍵詞】反函數；反三角恒等式；反三角恒等式的推廣式

1.反三角恒等式

通常所說的反三角恒等式是指以下三個等式：

arc sin（sin x）=x x∈[-■，■]

arc cos（cos x）=x x∈[0，π]

arc tan（tan x）=x x∈[-■，■]

應用這組恒等式求解問題要求x必須屬于上述特殊單調區間，但是很多時候x不屬于該區間。一種可行的辦法就是把上述恒等式在一般單調區間上進行推廣，進而得到一般區間的反三角恒等式。

2.反三角恒等式的推廣

由于反三角恒等式是把三角函數限制在特殊單調區間上求反函數并做代換得到的一類等式。那么推廣式也應是把三角函數限制在一般單調區間上求反函數并做代換得到的等式。下面是三個反三角恒等式具體推導過程。

（1）arc sin（sin x）在一般區間上的恒等式

下面求y=sin x在[kπ-■，kπ+■]的反函數。

令x=t+kπ，則t∈[-■，■]，y=sin（t+kπ）=sin t cos kπ+cos t sin kπ=（-1）■sin t故t=arc sin[（-1）■y]=（-1）■arc sin y

所以y=sin x在[kπ-■，kπ+■]的反函數為x= kπ+（-1）■arc sin y

把y=sin x代入上式，得恒等式arc sin（sin x）=（-1）■（x-kπ）

（2）arc cos（cos x）在一般區間上的恒等式

下面求y=cos x在[kπ，（k+1）π]的反函數。

令x=t+kπ，則t∈[0，π]，y=cos（（t+kπ）=cos t cos kπ-sin t sin kπ=（-1）■cos t故。t=arc cos[（-1）■y]=■-（-1）■（■-arc cos y）=■[1-（-1）■]+（-1）■arc cos y

所以y=cos x在[kπ-■，kπ+■]的反函數為x=kπ+■[1-（-1）■]+（-1）■arc cos y

把y=cos x代入上式，得恒等式arc cos（cos x）=（-1）■（x-kπ）+■[1-（-1）■]

（3）arc tan（tan x）在一般區間上的恒等式

下面求y=tan x在[kπ-■，kπ+■]的反函數。

令x=t+kπ，則t∈[-■，■]，y=tan（t+kπ）=■=tan t

t=arc tan y x-kπ=arc tan y x=kπ+arc tan y

所以y=tan x在[kπ-■，kπ+■]的反函數為x=kπ+arc tan y

把y=tan x代入上式，得恒等式arc tan（tan x）=x-kπ

3.反三角恒等式推廣式的應用

有了在一般單調區間上的反三角恒等式，對于反三角的求值問題可以通過先確定的取值，再代入對應的恒等式即可求解。

例1求arc cos[cos（-■π）]的值

解：因為當x∈[kπ，（k+1）π]時，arc cos（cos x）=（-1）■（x-kπ）+■[1-（-1）■]

由于-3π<-■π<-2π，所以k=-3

arc cos[cos（-■π）]=（-1）■[（-■π）-（-3）π]+■[1-（-1）■]=■π

例2求arc tan[tan（-■π）]的值

解：因為當x∈[kπ-■，kπ+■]時，arc tan（tan x）=x-kπ

由于-3π-■<-■π<-3π+■，所以k=-3

arc tan[tan（-■π）]=（-■π）-（-3π）=■π

【參考文獻】

[1]馮國勇，賈青慧.一元微積分及其應用[M].北京：北京理工大學出版社，2010年

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