在教學(xué)中做好初高中知識(shí)的銜接淺議

田媛媛

【摘 要】教學(xué)從學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，可以促進(jìn)他們更好的建構(gòu)知識(shí)。本文分別分析了函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的定義以及概率這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)初高中的區(qū)別與聯(lián)系，從教學(xué)的角度提出了做好初高中銜接的建議。

【關(guān)鍵詞】初高中知識(shí)的銜接；函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)的定義；概率

由于數(shù)學(xué)大綱的變化，教材的改版，“初高中的銜接”問(wèn)題成為近年來(lái)很多教師研究的問(wèn)題，特別是基礎(chǔ)知識(shí)方面的銜接。研究發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)相關(guān)內(nèi)容都是給高中學(xué)生補(bǔ)充原初中教材有現(xiàn)在教材已經(jīng)去掉，而高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中又要用到的知識(shí)，比如十字相乘法、立方和立方差公式、射影定理、梯形的中位線定理、射影定理等。這些，都是顯性知識(shí)的補(bǔ)充。而任何學(xué)習(xí)都是由“為什么—是什么—應(yīng)怎樣—該是否” （Why-What-How-If）組成的循環(huán)圈，所以在教學(xué)中深挖初高中知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生感到高中知識(shí)有些不是完全陌生的，只是在初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)，并清楚繼續(xù)學(xué)習(xí)的知識(shí)初高中的區(qū)別在哪里，弄清楚“為什么”學(xué)，也是做好初高中知識(shí)銜接的一個(gè)很重要的方面。

函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的定義和概率，這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)學(xué)生初高中都要學(xué)習(xí)。根據(jù)教材螺旋上升的特點(diǎn)，這些知識(shí)都經(jīng)歷了由淺入深的過(guò)程。教學(xué)中充分了解學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，幫助學(xué)生了解知識(shí)的來(lái)龍去脈，做好初高中的銜接，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)起著事半功倍的作用。

一、函數(shù)單調(diào)性的銜接

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，初高中都有涉及。初中對(duì)函數(shù)單調(diào)性的描述是通過(guò)圖像直觀描述的：“從左向右看，圖像是上升的（下降的）”，或者“隨著x的增大，y增大（或減小）”，學(xué)生只要學(xué)會(huì)看圖像，函數(shù)的單調(diào)性便一目了然。高中教材中“函數(shù)是增加的”的概念是：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間A上，如果對(duì)于任意兩個(gè)自變量x■，x■，當(dāng)x■f（x■），那么就稱(chēng)f（x）在區(qū)間A上是減少的，或者說(shuō)f（x）在區(qū)間A上是遞減的。很明顯，高中對(duì)函數(shù)單調(diào)性的描述將“圖形語(yǔ)言”轉(zhuǎn)換為“文字語(yǔ)言”，更嚴(yán)謹(jǐn)，也更抽象。在函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)中解決以下兩個(gè)問(wèn)題，能更好的做好銜接。

第一，高中學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性定義的原因。初中學(xué)習(xí)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像都可以作出圖像，直觀看出函數(shù)單調(diào)性，遇到一些特殊的函數(shù)也都會(huì)給圖像，課標(biāo)對(duì)學(xué)生的要求是可以通過(guò)圖像觀察得出函數(shù)的單調(diào)性即可。而高中會(huì)遇到一些抽象函數(shù)，沒(méi)辦法作出函數(shù)圖像，這時(shí)，就不能通過(guò)觀察圖像來(lái)得出函數(shù)的單調(diào)性。高中學(xué)完函數(shù)單調(diào)性定義后，可以通過(guò)嚴(yán)格的單調(diào)性證明，解決該問(wèn)題。

第二，高中學(xué)習(xí)的函數(shù)單調(diào)性的定義和初中對(duì)函數(shù)單調(diào)性描述的區(qū)別和聯(lián)系。它們的區(qū)別是一個(gè)通過(guò)“圖形語(yǔ)言”判斷，一個(gè)通過(guò)“符號(hào)語(yǔ)言”判斷。它們的聯(lián)系，首先，都是用來(lái)判斷函數(shù)單調(diào)性的；其次，初中對(duì)“單調(diào)遞增”描述中的“隨著x的增大”就是高中定義中的“任意兩個(gè)自變量x■、x■，x■

教學(xué)設(shè)計(jì)只要圍繞幫助學(xué)生弄清楚這兩個(gè)問(wèn)題，接下來(lái)的問(wèn)題就比較容易解決。

二、三角函數(shù)定義的銜接

初中學(xué)生主要學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)，是在直角三角形中定義的。

高中三角函數(shù)是在單位圓中定義的，具體為：在直角坐標(biāo)系中，作以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓，對(duì)于任意角α，使角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于唯一的點(diǎn)P（u，v），把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v定義為角α的正弦函數(shù)，記作v=sinα，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)u定義為角α的余弦函數(shù)，記作u=cosα。這兩個(gè)定義看似差別很大，實(shí)則不然。高中三角函數(shù)定義教學(xué)中，幫學(xué)生弄清楚以下兩個(gè)問(wèn)題即可。

第一，學(xué)習(xí)單位圓定義三角函數(shù)的原因。初中研究的是銳角三角函數(shù)，角的范圍是0■～90■，而高中用旋轉(zhuǎn)定義角后，角的范圍擴(kuò)充，角可以是正角、負(fù)角和零角，進(jìn)而三角函數(shù)的定義域擴(kuò)充到了全體實(shí)數(shù)范圍，初中的定義有局限性，故引入單位圓定義三角函數(shù)。

第二，初中三角函數(shù)的定義和高中三角函數(shù)定義的聯(lián)系。當(dāng)α為銳角時(shí)，單位圓的半徑為1，sinα=■=v，cosα=■=u，和初中所給的正余弦函數(shù)定義一致，所以，初中的定義可以納入高中的定義。

弄清楚這兩點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生從知識(shí)點(diǎn)到思維能力，由淺入深，有利于知識(shí)的建構(gòu)。

除了三角函數(shù)的定義外，三角函數(shù)在初中的應(yīng)用是解三角形，在高中的應(yīng)用是用正弦定理、余弦定理解三角形，區(qū)別是前者解的是直角三角形，后者可以解任意三角形。本質(zhì)聯(lián)系都是通過(guò)三角形中邊長(zhǎng)與角度之間的數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題。所以在解三角形中，也能通過(guò)找“本源”做好初高中銜接。

三角函數(shù)整體學(xué)完之后，引導(dǎo)學(xué)生完成前人研究中關(guān)于人教版初高中數(shù)學(xué)教材“三角函數(shù)”不僅能將初高中知識(shí)銜接的更好，對(duì)學(xué)生知識(shí)的整體把握、歸納能力的提升和思維的升華都有幫助。

三、概率的銜接

概率知識(shí)和實(shí)際生活聯(lián)系緊密，初中七年級(jí)開(kāi)始學(xué)習(xí)概率，九年級(jí)初步學(xué)習(xí)用頻率估計(jì)概率，并會(huì)用樹(shù)狀圖或表格

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法計(jì)算簡(jiǎn)單兩步事件發(fā)生的概率。高中繼續(xù)學(xué)習(xí)概率，主要學(xué)習(xí)古典概型和幾何概型。初中學(xué)生計(jì)算的概率基本都屬于古典概型，只是初中課標(biāo)要求學(xué)生會(huì)用樹(shù)狀圖或者表格法求出某簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的概率即可，沒(méi)有嚴(yán)格的定義。因?yàn)閮?nèi)容相近，題目類(lèi)似，學(xué)生容易分不清初高中所學(xué)概率的區(qū)別和聯(lián)系，部分學(xué)生會(huì)因?yàn)槌踔懈怕屎?jiǎn)單而輕視高中概率學(xué)習(xí)，思維上得不到提升。所以高中概率教學(xué)最重要的是幫助學(xué)生弄清楚初高中概率知識(shí)的區(qū)別和聯(lián)系。

第一，明確初高中概率知識(shí)的區(qū)別。初中只要求會(huì)計(jì)算，高中對(duì)古典概型進(jìn)行了嚴(yán)格的定義，而且給出了求古典概型概率的公式：試驗(yàn)中的某一事件A是由幾個(gè)基本事件組成的，如果試驗(yàn)的所有可能結(jié)果（基本事件）數(shù)為n，隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)為m，那么事件A的概率規(guī)定為P（A）=■=■。這里，基本事件的選取很重要，選擇的基本事件不同，建立的概率模型就不一樣，計(jì)算的復(fù)雜程度也就不一樣。教材中專(zhuān)門(mén)有“建立概率模型”一節(jié)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的能力要求明顯提升，對(duì)學(xué)生的思維也是很好的鍛煉。

第二，初高中概率知識(shí)的聯(lián)系。首先，初中高中所學(xué)的概率知識(shí)，都是求簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的概率。其次，高中學(xué)習(xí)的古典概型，當(dāng)確定基本事件，建立相應(yīng)的概率模型后，求解又用的初中所學(xué)的樹(shù)狀圖或表格法。

學(xué)生清楚初高中概率知識(shí)的區(qū)別與聯(lián)系，能更好地認(rèn)識(shí)到高中學(xué)習(xí)的必要性，有利于他們更好地建構(gòu)知識(shí)，提高思維能力。

皮亞杰的建構(gòu)主義理論認(rèn)為，兒童與環(huán)境的相互作用涉及兩個(gè)基本過(guò)程：“同化”與“順應(yīng)”。同化是指?jìng)€(gè)體把外界刺激所提供的信息整合到自己原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)內(nèi)的過(guò)程；順應(yīng)是指?jìng)€(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)因外部刺激的影響而發(fā)生改變的過(guò)程。同化是認(rèn)知結(jié)構(gòu)數(shù)量的擴(kuò)充，而順應(yīng)則是認(rèn)知結(jié)構(gòu)性質(zhì)的改變。兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是通過(guò)同化與順應(yīng)過(guò)程逐步建構(gòu)起來(lái)，并在“平衡——不平衡——新的平衡”的循環(huán)中得到不斷的豐富、提高和發(fā)展。所以，作為高中教師，熟悉初高中數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)，把握大綱知識(shí)螺旋上升的關(guān)鍵點(diǎn)，從學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)已學(xué)知識(shí)的局限性，形成認(rèn)知沖突，不僅讓學(xué)生感受到新學(xué)知識(shí)的必要性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，又可以幫助學(xué)生找到知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，促進(jìn)他們更好地建構(gòu)知識(shí)，從而實(shí)現(xiàn)初高中知識(shí)的有效銜接。

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