柔性關節機器人動力學分析

王鴻熠 韓先國

（北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191）

自誕生至今，工業機器人在工業領域得到了越來越多的應用[1]。近年來，除了在傳統的焊接、噴涂等領域的應用外，工業機器人以其機動、靈巧等特點，開始越來越多地應用于航空航天領域[2-3]。但串聯機器人剛度較差，使得其應用受到了一定的限制。

機器人動力學是對機器人剛度分析及振動分析的重要基礎。本文以ABB IRB4600機器人為對象，建立了考慮關節柔性的動力學模型，并給定了機器人運動軌跡，分析了機器人運動過程中的關節變形情況。

1 關節柔性模型簡化

1.1 機器人柔性來源分析

串聯型工業機器人的柔性主要體現在兩個方面，即連桿柔性和關節柔性[4]。連桿柔性表現為機器人各桿在力的作用下發生變形。關節柔性表現為各個關節在力的作用下發生形變。通常，機械臂各連桿剛度大于關節剛度，機器人連桿變形可以忽略，現僅考慮機器人關節柔性造成的影響[5]。

關節柔性造成的影響主要有兩點。一是在機器人運動過程中，機器人各關節受到驅動力作用，產生關節變形，該形變影響了機器人的絕對定位精度。二是機器人的振動，其主要體現在兩個方面：當機器人運動結束后，各關節的變形依然存在，隨著運動過程中積累的能量釋放，系統出現殘余振動；機器人在某一位姿下，受到變化的外部力作用，各關節變形也隨之改變，導致系統振動。本文重點分析機器人運動過程中及運動結束后機器人關節角度及末端振動情況。

1.2 關節柔性模型簡化

spong在1987年首先提出了柔性關節簡化模型。該簡化模型對于實際關節有如下假設：機器人關節在關節力作用下只存在微小變形，該變形處于線彈性范圍內，機器人各關節可視作線性扭簧；電機轉子軸線與關節軸線同軸，可將電機轉子視為質量均勻的軸對稱剛體；將電機視為理想力矩源，與機械動力學相比，電機電氣動力學足夠快，可以忽略其動力學影響。

根據以上假設，可以將機器人關節簡化為一線性扭簧（扭簧剛度為k）。

2 機器人運動學分析

2.1 機器人坐標系建立

機器人坐標系建立是機器人運動學分析及動力學分析的前提。采用前置D-H參數法，建立IRB4600關節型機器人連桿坐標系，如圖1所示。

圖1 機器人連桿坐標系示意圖

2.2 機器人正向運動學

機器人相鄰兩桿間的位姿變化矩陣可以表示為i可以得到機器人末端相對于機器人基坐標系的齊次變換矩陣為：

3 關節柔性機器人模型

3.1 柔性關節機器人動力學

拉格朗日法推導機器人系統動力學方程的步驟可以概括為：（1）選取機器人關節坐標系、電機轉子轉角坐標系為廣義坐標；（2）求解系統動能表達式，包括連桿動能與電機鉆子動能；（3）求解連桿與電機轉子勢能；（4）構造拉格朗日函數并推導動力學方程。

關節柔性的機器人連桿系統動力學方程可以表示為：

式中：τext為外力作用下關節力矩；M(q)為質量矩陣；H(q,q˙)為非線性科氏力和離心力矢量；G(q)為重力項；K=diag(k1,k2,k3,k4,k5,k6)為關節剛度矩陣；D=diag(d1,d2,d3,d4,d5,d6)為關節阻尼矩陣。

3.2 關節柔性機器人運動仿真

3.2.1 關節空間的軌跡規劃

在關節空間內采用三次多項式進行軌跡規劃。對于關節i，驅動機構輸出轉角θi可表示為時間的函數，設其三次多項式參數為ai0、ai1、ai2、ai3，即：

給定機器人各關節首末角度及運動時間，即可確定機器人電機輸出轉角、角速度隨時間的變化規律。表1為機器人關節轉角變化情況，設定運動時間為2.5s。機器人在運動首末端點的速度值均為0，得到三次多項式各項系數。

表2 運動仿真起始值與終止值

3.2.2 Simulink運動仿真分析

在機器人運動過程，機器人末端所受廣義外力為0，可將式（2）改寫為：

需要注意的是，式（4）中各項的剛度不同，在數值分析中，該種形式的微分方程被稱為剛性方程，又被稱為病態方程。病態方程的求解相較于通常的微分方程更為困難，MATLAB中的simulink仿真模塊包含多種求解方法，其中的ODE15s求解方法屬于一種多步預測算法，適合求解大剛度系統的微分方程。

在simulink中搭建仿真模型，可以得出機器人運動過程中及運動結束后，機器人各關節的變形情況及關節角度隨時間的變化情況，通過式（1）即可得到機器人末端位置在機器人基坐標系中X、Y、Z三個軸方向的誤差值，如圖2所示。

圖2 機器人末端振動隨時間的變化規律

分析圖2可得，在機器人運動過程中，由于關節柔性的存在，機器人末端位置與理論位置之間存在誤差，該誤差隨著運動時間的延續表現為末端振動情況。在運動結束后，機器人末端位置與理論位置并不重合，這是由于重力因素造成的。

4 結論

本文采用D-H參數建立了機器人連桿坐標系，求得了機器人運動學模型。采用拉格朗日法建立了考慮關節柔性的機器人動力學模型。在制定機器人各關節運動首末關節角度值和運動時間后，對機器人的運動軌跡在關節坐標系內進行了三次多項式運動規劃。建立了simulink仿真模型，得出了機器人各關節角度在指定運動情況下的關節變形情況，并分析了機器人末端振動情況，這對于工業機器人動力學相關研究有一定的借鑒意義。