基于學(xué)生探究能力的培養(yǎng)

胡健賓

在新課程改革的背景下，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，越來越受到人們的關(guān)注，探究是數(shù)學(xué)的生命線，而探究的前提則是需要提供開放的思維空間，為學(xué)生提供多層次、多種類的選擇，以促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展和對(duì)未來人生規(guī)劃的思考。

一、 數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的背景與思路

“向量是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，是近幾年來高考的熱點(diǎn)，一方面，向量性質(zhì)的多樣性及解題方法的靈活性，為學(xué)生多層次，多角度，多方位探索問題提供了開闊的思維空間；另一方面，向量具有雙重性，有代數(shù)性和幾何性，利用數(shù)形結(jié)合思想解決向量問題，可以強(qiáng)化向量的工具作用，用向量研究三角形的四心，則有意想不到的效果。

二、數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的過程與分析

基本素材：向量加減法幾何意義，向量積，三角形的四心的有關(guān)概念：

三角形的四心，三角形的“四心”是三角形中位置“特殊”的點(diǎn)，△ABC的內(nèi)心（三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)）、外心（三條邊的中垂線交點(diǎn)）、重心（三條中線交點(diǎn)）、垂心（三個(gè)高的交點(diǎn)），其性質(zhì)常作用三角形性質(zhì)的外延用于幾何問題的證明，因此利用向量描述三角形四心的性質(zhì)，可以達(dá)到事半功倍的效果.

開放設(shè)計(jì)：

探索一：1.已知點(diǎn)P為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足（），則直線AP必經(jīng)過的（ ）

A.重心 B.內(nèi)心 C.垂心 D.外心

探索二：動(dòng)點(diǎn)P滿足則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過的（ ）

A.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心

探索三：設(shè)O為所在平面上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，其中為的三個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn) 的軌跡一定通過的（）

A.外心 B.內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心

探索四：如圖，O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，λ∈（0，+∞），則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（ ）

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

我在課件里展示了四個(gè)探索。

教師：四個(gè)探索都很接近，式子的結(jié)構(gòu)很類似，就是稍微變化一下，結(jié)果是否會(huì)變化很大呢？讓我們同學(xué)們共同來探究，得出結(jié)論。

學(xué)生：好！

然后把班級(jí)分為8個(gè)小組，小組共同討論，探究，共同分享各自的成果，頓時(shí)，班級(jí)的討論場面非常激烈，探究的氛圍非常濃厚。然后，我叫了2，4，6，8組的組長上來黑板展示他們組的研究成果。

學(xué)生1：

考慮到分母有余弦，我們肯定要想辦法，把它約掉，可先乘以向量，根據(jù)數(shù)量積為零得出與垂直，可得點(diǎn)P在BC的高線上，從而得到結(jié)論.

學(xué)生1展示：

解：，與垂直， ∴點(diǎn)P在BC的高線上，即P的軌跡過△ABC的垂心，故選C.

教師：該題的考點(diǎn)是什么？主要體現(xiàn)什么的數(shù)學(xué)思想方法？

學(xué)生1：該題的考點(diǎn)是：向量在幾何中的應(yīng)用、空間向量的加減法、軌跡方程.該題主要以平面向量為載體通過平面向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合向量的幾何意義研究三角形的五心問題，主要是通過轉(zhuǎn)化的方法解決有關(guān)幾何關(guān)系問題.

班里響起了雷鳴般的掌聲.

教師：這題主要是構(gòu)造向量積，把復(fù)雜的問題簡單化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

學(xué)生2展示：

解：由正弦定理得：，所以，點(diǎn)P在BC邊的中線上，即點(diǎn)P的軌跡過三角形的重心.故選A.

學(xué)生2：這題主要是利用向量的基本運(yùn)算和正弦定理，考點(diǎn)是：1、向量的基本運(yùn)算；2、正弦定理.

教師：非常棒！有沒有需要補(bǔ)充說明的？

該組學(xué)生3：組長講的很好，很到位，就是這個(gè)方法最快捷了。

這時(shí)候，第3組的組長站起來.

學(xué)生4：我們組還有一個(gè)解法，也是很快捷的，通過作BC邊上的高，這時(shí)候，兩個(gè)的分母都是變成了高，然后把高提出來，就可以觀察到點(diǎn)P在BC邊的中線上.此時(shí)，班級(jí)響起了雷鳴般的掌聲。我補(bǔ)充說，兩個(gè)組解說得很好，這個(gè)題有兩種方法，關(guān)鍵是要把分母轉(zhuǎn)化，然后，提公因數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

班級(jí)響起了響亮的掌聲。

學(xué)生5展示：

解：由原式可得，兩邊再與進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，則，中，，所以所以P軌跡一定過外心.

學(xué)生5：這個(gè)推導(dǎo)過程很重要，并且常用到，請同學(xué)們記著，并靈活運(yùn)用，這題的考點(diǎn)是：向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角形的外心.

教師：非常好！

同學(xué)們用熱烈的掌聲表示贊賞。

學(xué)生6展示：

解：∵、分別表示向量、方向上的單位向量，

∴+的方向與∠BAC的角平分線重合，

又∵可得到﹣==λ（+）

∴向量的方向與∠BAC的角平分線重合，

∴一定通過△ABC的內(nèi)心.故選B.

學(xué)生6：本題考查向量的加法和減法的平行四邊形法則或三角形法則，向量的數(shù)量積，三角形的性質(zhì)及平面幾何知識(shí).

教師：還有補(bǔ)充嗎？

學(xué)生6：向量問題很多時(shí)候轉(zhuǎn)化為最基本的代數(shù)式子，也就是我們常說的化歸思想，請大家記住，形如+的和，是構(gòu)成的菱形的對(duì)角線。

同學(xué)們用掌聲表示鼓勵(lì)。

教師：請同學(xué)們記得形如+的和的幾何意義，還有，形如的幾何意義是，平行四邊形的兩條對(duì)角線相等，也就是構(gòu)成的平行四邊形為矩形，我們利用向量的幾何意義做題，會(huì)達(dá)到事半功倍的效果.

二、教學(xué)反思

1.巧設(shè)疑問，激發(fā)興趣。通過本節(jié)課的教學(xué)實(shí)例來看，對(duì)向量與四心的探索，學(xué)生對(duì)向量的運(yùn)用印象深刻，課堂氣氛活躍，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也大大提高。根據(jù)教材習(xí)題特點(diǎn)和學(xué)情狀況，巧設(shè)疑問，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，課堂交流學(xué)習(xí)成果的方法效果很好，讓學(xué)生通過觀察，思考，分析，總結(jié)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的生成，打開并且深化學(xué)生的思維。

2.合作交流，激發(fā)思維。在自主探究時(shí)，學(xué)生分組討論過程中，我參與小組討論，對(duì)有能力的小組，在探究出一種方法后，可鼓勵(lì)完成更多的方法探究，對(duì)于能力較弱的小組，可給予適當(dāng)?shù)奶崾荆箤W(xué)生都能動(dòng)起來，課堂都有所收獲，增強(qiáng)學(xué)生自信。通過在教師的指導(dǎo)下的學(xué)生的合作交流，師生問題交流，促成教與學(xué)的交互生成，從而培養(yǎng)了學(xué)生的思考力，交流合作精神，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生能力的發(fā)展。