找出錯因，以不變應萬變解排列組合問題

張友連

新教材中增加了概率統計的內容，而排列組合是求解概率問題的基礎，因此排列組合在高考中的地位越發顯得重要。近年來出現了一些新背景題目，排列組合與集合、不等式、概率等知識結合在一起，例如2014年廣東高考理科數學第8、11和17題（分值共23分），難度也有所增加，因此排列組合成為高考復習的重點內容之一。排列組合問題類型繁多、方法豐富、富于變化，切入點多，且抽象性極強，在解題過程中發生重復或遺漏現象不易被發現，所以成為學生學習的難點。那么本文選擇了一些經典題在教學過程中學生給出的錯誤解法進行剖析，以解師生之疑惑。

一、沒有采取適當的分類、分步或分類、分步混淆不清

例1：從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺，其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺，則不同的取法有多少種？

誤解： 6臺原裝計算機取2臺和5臺組裝計算機取2臺，11臺中取走4臺后還剩7臺任取1臺都能保證至少有原裝與組裝計算機各兩臺，所以是，若告訴學生出錯，學生還百思不得其解，認為自己分析的天衣無縫，殊不知這樣會導致出現重復如：給6臺原裝編號A、B、C、D、E、F，5臺組裝編號1、2、3、4、5，按照，若取到A、B， 取到1、2， 取到C，則取到編號為A、B、1、2、C。可是若取到A、C， 取到1、2， 取到B，事實上都是取到編號為A、B、1、2、C這5臺，這樣就重復計算了。

正解：對此應適當分類，完成這件事有2類方法，第一類辦法原裝計算機2臺，組裝計算機3臺，分兩步：第一步在原裝計算機中任意選取2臺，有種方法；第二步是在組裝計算機任意選取3臺，有種方法，據乘法原理共有種方法。同理完成第二類辦法原裝計算機3臺，組裝計算機2臺有種方法.據加法原理完成全部的選取過程共有350種方法。

二、分不清排列還是組合

例2：方程x+y+z=10有多少組正整數解？

誤解：問題轉化（隔板法）將10個完全相同的球排成一列，在1號與2號、2號與3號、3號與4號 9號與10號之間形成9個空檔中任意插入2塊板，把球分成3堆，而3堆球的各堆球的數目即為 x、y、z的一組正整數解，例如在第1號球和第3號球后插2塊板得到1、2、7一組解，而2、1、7又是一組解，此處體現順序所以共有。錯因：此處只是9個位置選2個位置插板，這兩塊板不用排列，A板在第1個球后B板在第3個球后和B板在第1個球后A板第3個球后是相同的。

正解： 例如在第1個球和第3個球后插2塊板得到1、2、7一組解，在第2個球和第3個球后插2塊板得到2、1、7又是一組解，9個間隙中任意插入2塊板，這2塊板沒有順序，所以共有=36種。

三、對特殊元素、特殊位置考慮不全面

例3：2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有多少種？

誤解：小張和小趙只能從事翻譯、導游，則翻譯、導游安排有，剩下3人選2人安排禮儀、司機有，所以有。遺漏了小張和小趙其中一人沒選中。

正解： 法一、從特殊元素去考慮小張和小趙其中一人沒選中有，所以共有+=36

法二、從特殊位置去考慮。因為禮儀、司機不能選小張和小趙，所以從小李、小羅、小王3人中選2人有種方法，剩下3人任選2人安排翻譯、導游，共有=36種。

四、插空時要注意已經排列好的元素或后來插入的元素能不能相鄰，還要注意有些空檔必須得插入元素

例：4：為紀念抗美援朝戰爭勝利六十周年，中央電視臺在某沿海城市舉辦一場”紅色經典”的革命歌曲文藝演出，已知節目單中共有七個節目，為了活躍氣氛，主辦方特地邀請了三位參加過抗美援朝的老戰士演唱當年的革命歌曲，要將這三個不同的節目添入節目單，而不改變原來的節目順序，則不同的安排方式有多少種？

誤解：7 個節目有8個空檔，選3個空檔插這3個節目，這三個節目有順序所以，漏了新增的3個節目可以相鄰。

正解：法一、7 個節目有8個空檔，選1個空檔插1個節目后變成8個節目有9個空檔，選1個空檔插1個節目后變成9個節目有10個空檔，同理得到=720。

法二、考慮用定序方法共有10個節目，原來的7個節目有 種順序，要不改變原來的節目順序，所以有=720種方法。

例5：某次文藝晚會上共演出8個節目，其中2個唱歌3個舞蹈3個曲藝節目，兩個唱歌節目相鄰且3個舞蹈節目不相鄰，則排節目單的方法多少種？

誤解1：先給3個曲藝節目排序， 3個節目有4個空檔，2個唱歌節目捆綁與3個舞蹈插入4個空檔，這樣能確保兩個唱歌節目相鄰且3個舞蹈節目不相鄰，錯因：原來排列好的2個曲藝節目是可以相鄰的，唱歌與舞蹈可以相鄰。

誤解2： 先給3個曲藝節目排序， 3個節目有4個空檔，選3個空檔插入3個舞蹈節目， 6個節目有7個空檔，把2個唱歌節目捆綁， 選1個空檔插入唱歌節目， 所以。錯因：漏了2個曲藝節目之間只有捆綁在一起的2個唱歌節目的情況。

正解：2個唱歌捆綁與3個曲藝排序，4個節目有5個空檔，選3個位置插3個舞蹈節目=2880種。

五、平均分組問題尤其要注意避免重復計數

例6： 甲、乙、丙3人值周，從周一到周六的6天中，每天安排一人值班，每人值2天，但甲不值周一，乙不值周六，則不同的排法共有多少種？

誤解：第一個人先挑選2天，第二個人再挑選2天，剩下的2天給第三個人，這三個人再進行全排列，共有。

錯誤1：平均分組問題。比如：第一人挑選的是周一、二，第二人挑選的是周三、四，第三人挑選的是周五、六；也可能是第一個人挑選的是周三、四，第二人挑選的是周一、二，第三人挑選的是周五、六；所以再用全排列就重復計算了。錯誤2：正難則反，甲值周一有，乙值周六有，若減去2 ，甲值周一，乙值周六這種情況減了2次。

正解： 有=42種。

解排列組合問題需要我們把復雜問題分解，了解各種錯誤原因，做到不重復不遺漏，就能以不變應萬變。