考慮土層剪切模量徑向變化的錨桿受力變形特性分析*

梁冠亭 肖開乾 張 兵

(1.武漢市市政建設集團有限公司 武漢 430000; 2.湖北秭興長江大橋建設開發有限公司 武漢 430023)

錨桿支護廣泛應用在工程建設的高邊坡和深基坑開挖支護中。常見的錨桿受力變形計算分析方法有規范法、荷載傳遞法[1]、剪切位移法[2]等，其中剪切位移法由于考慮錨桿周邊土的變形，更符合錨桿的實際工作狀況，在理論上更為精準嚴謹。但是，由于其涉及的計算參數較多，取值困難，因而未能夠被廣泛推廣。在運用剪切位移法進行錨桿受力變形分析時，需應用到一個重要的計算參數，即土體剪切模量G，該參數在同一地層中是基本不變的，但隨著錨桿的壓力注漿施工，漿液對土體產生一系列的滲入、劈裂和壓密作用[3-5]，將會導致鉆孔一定徑向范圍內土體的力學性質產生改變，土體剪切模量G也會隨之改變，在靠近鉆孔邊緣出現一定的增長。

本文基于剪切位移法，考慮剪切模量G沿孔徑徑向呈常數、線性、指數、拋物線4種不同的大小分布模式,推導錨桿沿軸向方向的軸力、剪應力和位移的解析解,并結合實例分析比較其中的變化規律及演變趨勢。

1 荷載傳遞方程的建立

建立計算模型見圖1，錨桿長度為L，選取dz錨固微段作為研究對象，根據錨桿長度方向z截面上的軸力P(z)與應力、應變之間關系可得

(1)

式中:u(z)為錨桿z方向上的位移；r0為錨桿半徑；Ea為錨固體彈性模量。

圖1 計算模型簡圖

由錨固體單元沿軸向方向力的平衡方程得

dP(z)/dz-2πr0τ(z)=0

(2)

式中:τ(z)為錨桿z方向上的剪應力。

將式(1)代入式(2)得

d2u(z)/dz2-2τ(z)/r0Ea=0

(3)

為了能夠反映錨桿錨固段周邊土體的軟化特性，界面剪應力與剪切位移之間的關系采用一次跌落模型，其中τf為峰值剪切強度，uf為τf對應的位移，τr為殘余剪切強度，模型表達式為

(4)

式中:k為界面彈性剪切剛度；η為殘余剪切強度與剪切峰值強度的比例系數。

2 錨固體彈塑性分析

2.1 彈性階段

當錨桿的外荷載P0較小時，錨固段周邊土體全部處于彈性階段,由剪應力和剪切位移之間的關系可得

(5)

式中:rm為土體變形可以忽略不計的最大半徑，一般取值為10倍r0;G(r)為土體剪切模量。

由于前述注漿效果對土體剪切模量產生的影響，剪切模量沿錨桿的徑向分布是不均勻的，令

(6)

式中:ξ為土體剪切模量影響系數，具體的求解過程見本文第3節。

則由式(3)、式(4)和式(5)可得

d2u(z)/dz2-β2u(z)=0

(7)

式(7)為二階常微分方程，其通解為

u(z)=c11eβ z+c12e-β z

(8)

式中:c11，c12為微分方程待定系數。

根據錨桿的受力特點，可得其邊界條件為

P|z=0=0,P|z=L=P0

(9)

可得

(10)

(11)

(12)

可得錨固段周邊土體處于彈性階段時錨桿全長的剪應力τ(z)分布表達式

(13)

2.2 塑性階段

當錨桿繼續向外拉拔，錨頭的位移增大，靠近錨頭的錨-土剪切界面開始出現塑性狀態，且塑性區會隨著拉拔荷載的增大繼續發展。錨-土剪切界面分為彈性區和塑性區兩部分，見圖2，外荷載由此兩部分可表示為

P0=Pe+Pp

(14)

式中:Pe為彈性區承擔的外荷載；Pp為塑性區承擔的外荷載。

圖2 錨土界面部分進入塑性狀態

令式(11)中u(Le)=uf，可得Pe的表達式為

(15)

式中:Le為錨土界面的彈性區長度。

又因為錨土界面的塑性區的剪應力恒為剪切殘余強度τr，故Pp的計算式可表示為

Pp=τrπD(L-Le)

(16)

對式(14)～(16)求解,采用迭代法即可求得Le。

對于彈性區求解(即0

莽草酸分子中NBO分析的化學鍵二級微擾能數據列于表4，非常明顯地C(4)C(5)的反鍵對分子構型有較大的影響，同時，含有O原子的鍵的二級微擾能均不少，表明碳碳雙鍵、醇羥基、羧酸官能團是整個分子的核心.

而對于塑性區求解(即Le

d2u(z)/dz2-2c1=0

(17)

式中:常系數c1=2τr/(r0Ea)。

由邊界條件

P|z=L=P0,u|z=Le=uf

(18)

可得塑性區位移表達式

u(z)=0.5c1z2+c2z+c3

(19)

至此，錨-土剪切界面進入彈塑性階段后的位移u(z)表達式推導完畢，軸力P(z)、剪應力τ(z)表達式可參照本文第1部分求得。

3 土體剪切模量沿徑向不同變化分布的影響

從前述推導過程可知，錨桿的受力變形取決于如何求解式(7)，不同的ξ值影響了整個錨桿的荷載-位移曲線發展規律。由于錨桿注漿的影響半徑作用因素復雜，涉及到注漿壓力、土體滲透系數、漿液初始黏度、注漿時間、漿液初凝時間和注漿高度等因素，而本文所關注的重點是注漿后錨桿鉆孔徑向范圍內剪切模量的變化對錨桿受力變形的影響，在缺乏實測資料和相關已有成果的條件下，可作如圖3所示的假定，注漿的影響半徑與土體變形可以忽略不計的最大半徑rm一致，即徑向rm處土體的剪切模量與天然狀態下土體的剪切模量一致，用符號Gm表示；而在錨桿和土體的交接界面r0處，土體的剪切模量由于注漿的影響可能發生改變，以符號G0表示；從G0到Gm的徑向變化，假設為4種分布情況，即不考慮變化(常數)、線性變化、拋物線變化和指數變化。

圖3 土體剪切模量沿徑向的不同分布假設

3.1 土體剪切模量沿徑向不變

當土體視為不受注漿作用影響時，其剪切模量與原狀土的剪切模量一致，大小為Gm，可對式(6)進行直接積分求解，系數ξ0表達式為

ξ0=ln (rm/r0)/Gm

(20)

3.2 土體剪切模量沿徑向以線性形式變化分布

如圖3所示，若土體的剪切模量受注漿的影響，靠近錨桿處的剪切模量為G0，而徑向遠端處土體的剪切模量為Gm，且在錨桿的影響范圍內，土體的剪切模量以線性形式變化分布，則土體剪切模量影響系數ξ1表達式可表示為

(21)

3.3 土體剪切模量沿徑向以拋物線形式變化分布

若土體的剪切模量以拋物線形式變化分布，其余條件如2.2，則其土體剪切模量影響系數ξ2表達式可為

(22)

3.4 土體剪切模量沿徑向以指數形式變化分布

若土體的剪切模量以指數形式變化分布，其余條件如2.2，則其土體剪切模量影響系數ξ3表達式可為

(23)

式中:B3=ln (G0/Gm)/(rm-r0)；A3=G0/e-B3r0。

式(23)無法進行直接的積分運算求解，可通過數值分析軟件進行簡單的數值積分求得。

通過本節的理論推導，得到了土體剪切模量沿徑向不同變化分布下，土體剪切模量影響系數ξ的不同表達式。至此，考慮土體剪切模量變化的錨桿受力變形特性理論分析體系建立完畢。

4 算例分析與討論

下文借助某算例，探討由注漿等因素造成剪切模量沿徑向變化從而導致錨桿受力變形所產生的差異。假設有一黏結錨桿長8 m，鉆孔直徑130 mm，錨桿受力的影響半徑rm為鉆孔半徑r0的10倍，錨固體的的模量由桿體和膠凝體各自的模量按照面積加權平均計算取值為28.4 GPa，土體在天然狀態下的剪切模量Gm為4.0 MPa，界面剪切模型服從一次跌落模型，峰值剪切強度τf為100 kPa，殘余剪切強度τr為50 kPa。現考慮因注漿的滲入和劈裂等作用，界面處(r=r0)土體的剪切模量G0提高至6.0 MPa，注漿影響范圍與錨桿受力影響范圍一致，因此，rm處土體的剪切模量仍為Gm，假設在注漿的影響范圍內，剪切模量沿徑向的變化規律分別呈現為線性、拋物線和指數形式的衰減。

通過本文理論推導，分析錨桿的荷載-位移(P0-u0)曲線在這3種變化規律下的異同，見圖4，同時將不考慮剪切模量沿徑向變化所得的P0-u0也繪于圖4中。

圖4 剪切模量沿徑向變化下的P0-u0曲線(Gm=4 MPa)

由圖4可見，若考慮剪切模量因注漿有所提高并沿徑向衰減，其峰值拉拔荷載P0f會小于不考慮剪切模量變化的情況，剪切模量變化最為劇烈的線性變化情況，其峰值拉拔荷載為213.2 kN，而不考慮剪切模量變化情況下的峰值拉拔荷載為220.7 kN，前者比后者小3.4%，這是由于剪切模量的提高，根據式(5)不難發現界面峰值剪切強度對應的位移uf會變小，造成錨桿剪應力的發揮程度會降低，若本算例假設uf，則對應的τf會有所不同，這是由剪切位移法自身的特點所決定的。而錨桿的殘余拉拔荷載P0r在各種情況下完全一致均為163.4 kN，這是因為在位移足夠大時，剪切界面每一點處的剪應力為恒定的殘余剪切強度。至于錨桿錨頭的位移情況，在同一拉拔荷載水平下(如200 kN)，考慮剪切模量線性變化情況下的錨頭位移和不考慮剪切模量變化下的錨頭位移分別為3.18 mm和3.56 mm，前者比后者小10.7%，同時對于各曲線剛出現峰值拉拔荷載時對應的錨頭位移u0f，考慮剪切模量線性變化的情況u0f為3.85 mm，而不考慮剪切模量變化的情況u0f為4.32 mm，前者比后者小10.9%。

由圖4可見,在峰值拉拔荷載附近，1個確定的拉拔荷載會對應2個不同的錨頭位移，這是由于當錨土界面進入塑性狀態時拉拔荷載降低所導致的必然現象。

圖5～6繪出了同一拉拔荷載水平下不同階段所對應的錨桿受力變形指標分布圖。

圖5 錨桿部分進入塑性狀態的受力變形指標分布圖(Q0=213 kN，彈性段>塑性段)

從圖5a)可知，此時錨桿在靠近錨頭的一段已經進入塑性狀態，但塑性段的長度小于彈性段的長度，由于各種情況下的界面殘余強度一致，因此，塑性段的剪應力均一致，只是考慮剪切模量線性變化情況下的錨桿塑性段最長，剪切模量分別以拋物線變化、指數變化和常數變化情況下錨桿塑性段長度將依次減小。而彈性段同一深度處的剪應力情況，不考慮剪切模量變化對應的大小小于考慮剪切模量變化對應的大小。從圖5b)可知，不同剪切模量分布情況下的軸力分布曲線大致為直線型，但在彈性段和塑性段的分界點有一定的差異，這是由于該處剪應力的急劇變化所導致的。從圖5c)可知，不同剪切模量分布情況下的錨桿在錨頭處的位移一致，但在錨桿遠端處，不考慮剪切模量變化情況下的位移大于考慮剪切模量變化情況下的位移。由于假定剪切模量分別為線性、拋物線和指數形式時曲線變化不大，因此對應的錨桿位移、軸力和剪應力分布曲線差異很小。

圖6 錨桿部分進入塑性狀態的受力變形指標分布圖(Q0=213 kN，彈性段<塑性段)

圖6為對應Q0等于213 kN時另一種情況的錨桿受力變形指標分布圖，此時錨桿的塑性段已逐漸向錨桿遠端發展，塑性段的長度大于彈性段的長度，剪切模量分別按照線性、拋物線和指數形式變化時，所得到的塑性段長度差別已小于0.2 m，因此在圖6a)中表現為塑性段長度完全一致，而不考慮剪切模量變化情況下的塑性段長度也僅略大于考慮剪切模量變化的情況，此階段各種情況下的彈塑段長度可認為已基本一樣。對于錨桿的軸力分布，不同剪切模量分布情況對于軸力分布曲線已影響不大，軸力分布曲線基本上由2段直線組成，在彈性段和塑性段的分界處有1處轉折，如圖6b)所示。從圖6c)還可知，不同剪切模量分布情況下對應的錨桿位移曲線關系大致為平行的曲線，不考慮剪切模量變化的情況與考慮剪切模量變化的情況有較大的差異，而剪切模量分別按照線性、拋物線和指數形式變化時，其相應的錨桿位移曲線差異較小。

5 結語

本文基于剪切位移法，考慮注漿作用對周邊土體的加固效應及其導致土體剪切模量提高的狀況，假定提高后的土體剪切模量以線性、拋物線和指數3種分布方式沿徑向衰減至土體自然狀態下的剪切模量，建立了考慮剪切模量徑向變化的錨桿受力變形分析理論，分析計算表明剪切模量的提高對錨桿峰值拉拔荷載影響不大，而殘余拉拔荷載完全相同，但錨頭的拔出位移量有一定的減小。工程上可考慮這一有利因素，在準確獲取錨桿周邊土層徑向剪切模量的前提下，減少采用錨桿支護方式的高邊坡和深基坑位移量，保證建筑物的安全。