整體思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

歐陽昱燾

【摘 要】在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，做到提高解題效率，確保解題準(zhǔn)確性是每個(gè)學(xué)生應(yīng)該追求的目標(biāo)。整體思想是諸多高中數(shù)學(xué)解題方法中的重要組成部分，深入領(lǐng)略整體思想的內(nèi)涵，并將整體思想巧用于高中數(shù)學(xué)解題過程中，是每個(gè)高中生的必備技能。本文首先闡述了整體思想的內(nèi)涵及重要性，其次列舉了整體思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中的具體應(yīng)用，以此優(yōu)化解題策略。

【關(guān)鍵詞】整體思想;高中數(shù)學(xué);解題效率;方法

高中數(shù)學(xué)集抽象性、邏輯性、復(fù)雜性于一體，是一門上手難度較大的學(xué)科，同時(shí)又是很多學(xué)科的基礎(chǔ)。在解題過程中，如果學(xué)生不能掌握好精準(zhǔn)有效的解題方法，那么，就會降低解題效率。提高解題準(zhǔn)確性，增加解題難度，進(jìn)而降低了對高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣和自信心。整體思想作為諸多高中數(shù)學(xué)解題方法中的重要組成部分，常常被運(yùn)用在解題過程中，它能夠降低解題難度，幫助學(xué)生提高解題效率和解題準(zhǔn)確性，達(dá)到提高數(shù)學(xué)成績的目的。

一、整體思想的內(nèi)涵和重要性

所謂整體思想，就是指在解題過程中，通過對題目條件的解讀和分析，發(fā)掘題中各個(gè)條件之間的相互聯(lián)系，再將其中某一部分看作一個(gè)整體，利用整體換元、整體代入等方式，通過整體變形、整體構(gòu)造等手段，將一個(gè)看似復(fù)雜的題目簡單化、抽象的條件具體化，在做題上有一種煥然一新的感覺。整體思想作為一種基礎(chǔ)的解題思想，它的運(yùn)用有利于鍛煉學(xué)生對條件的整合能力、邏輯分析能力，同時(shí)，還可培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的解題思想，從而提高他們的解題效率及準(zhǔn)確性，最終達(dá)到提高數(shù)學(xué)成績的目的。

二、整體思想在高中數(shù)學(xué)解題中的具體實(shí)踐和應(yīng)用

1.整體思想在復(fù)數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用

例題1：虛數(shù)z滿足z=8，求z-3z-6z-11=0的值。

分析：很多同學(xué)在解答此類型題目時(shí)的第一念頭就是直接求解虛數(shù)z，然后再代入原等式。那么，這樣的解題過程將會十分復(fù)雜，另外題中并沒有直接代入的條件和關(guān)系式。如果一昧糾結(jié)在這種解題思想中，難免會陷入解題誤區(qū)，或者說是解題黑洞，進(jìn)入命題人的圈套。因此，倘若將整體思想恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用到解題過程中，先運(yùn)用公式轉(zhuǎn)化條件，再整體代入原等式，那么，思路立馬變得暢通，具體如下：

解：∵z=8∴z-2=0∴（z-2）·（z+2z+4）=0

∵虛數(shù)z≠2∴z+2z+4=0恒成立∴z+2z=-4

∴原式=z-3（z+2z）-11=8-3×（-4）-11=9

2.整體思想在三角函數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用

例題2：求H=sin13+cos14+sin13cos14的值。

分析：此類計(jì)算題看似只是一個(gè)簡單的三角函數(shù)求值問題，但動筆計(jì)算即可發(fā)現(xiàn)sin13和cos14并不在特殊的三角函數(shù)集范圍內(nèi)。同時(shí)，如果使用配方法或三角函數(shù)萬能公式解法對原式中各函數(shù)逐一進(jìn)行分解，不可避免需要大量的計(jì)算，這樣一來就會提高計(jì)算過程中的出錯(cuò)率。而此時(shí)，若將整體思想運(yùn)用其中，將不標(biāo)準(zhǔn)的三角函數(shù)式化為常見的經(jīng)典的三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式，則可大大簡化計(jì)算過程，進(jìn)而提高計(jì)算效率及準(zhǔn)確率，具體如下：

解：假設(shè)H=sin13+cos14+sin13cos14

Q=cos13+sin14+cos13sin14

那么可得：H+Q=2+sin27H-Q=-0.5-sin27

兩式相加得：H=0.75即所求。

（可見，sin27并非常見的三角函數(shù)，但是前面的一正一負(fù)在兩式相加后正好可以抵消，這道題恰恰體現(xiàn)了整體思想運(yùn)用過程中化繁為簡的作用，是一道經(jīng)典的例題。）

3.整體思想在幾何問題中的應(yīng)用

例題3：已知某個(gè)長方形，周長為30，面積為16，求這個(gè)長方形對角線的長度。

分析：不少學(xué)生初次解答這類問題時(shí)，腦海中第一種解題思路便是先求出長方形兩邊的長度，進(jìn)而代入對角線計(jì)算式中求出對角線的長度。

計(jì)算過程如下：設(shè)長方形兩邊分別為a和b，a≦b，由題意可得2（a+b）=30，ab=16，整理可得一個(gè)二元一次方程：a-15a+16=0。

不難看出，以上二元一次方程式的解并非整數(shù)，求解起來思路單一，而且在求a值過程中可能會出錯(cuò)，降低解題效率。

不如我們換一種解法，從條件中找出長方形周長、面積、對角線長度三者關(guān)系，可化簡為以下式子：

對角線長度c====

4.整體思想在求解方程中的應(yīng)用

例題4：解方程（x+1）/（x+1）+6·（x+1）/（x+1）=5

分析：許多學(xué)生在解答此題時(shí)，沒有注意到等式左邊的兩項(xiàng)存在互為倒數(shù)的關(guān)系，因此，直接在左右兩項(xiàng)同時(shí)乘以（x+1）·（x+1），則x最高次數(shù)為3，增加了求解計(jì)算時(shí)的難度，不但麻煩，而且容易出錯(cuò)。因此，我們可以引入整體換元思想，用m來代替（x+1）/（x+1），于是，原方程可以化簡為：m+6/m=

5，求出m=2或m=3，從而求出未知數(shù)x的值。

5.整體思想在函數(shù)求值中的應(yīng)用

例題5：已知函數(shù)f（x）=x/（1+x），求H=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（1/2）+f（1/3）+f（1/4）的值.

分析：這道題主要考察學(xué)生的整體觀察能力，f（x）的具體形式已經(jīng)給出，若只是將1;2;3;4;1/2;1/3;1/4分別都代入到f（x）=x/（1+x）中，那么，就會陷入出題人的圈套。解答本題的關(guān)鍵在于學(xué)會分析條件，并從條件中找到規(guī)律。例如：f（2）與f（1/2）中，x的取值互為相反數(shù)，那么，我們可以嘗試通過f（x）=x/（1+x）推導(dǎo)出f（1/x）的具體展開形式。沿著這個(gè)思路不難發(fā)現(xiàn)，f（x）+f（1/x）=1這個(gè)非常重要的規(guī)律，然后將其作為一個(gè)整體代入到H中，可快速得出答案H=3.5。

例題6：已知（2+x）=a+ax+ax+ax+ax，

求（a+a+a）-（a+a）的值。

分析：這道題是1999年的高考題，命題人著重考察的是整體思想在解題過程中的運(yùn)用。不少考生直接將（a+a+a）-（a+a）展開，而展開后又沒了頭緒。利用整體思想，不妨先將該式因式分解，得到（a+a+a）-（a+a）=（a+a+a+a+a）·（a+a+a-a-a），然后將（a+a+a+a+a）與（a+a+a-a-a）看作一個(gè)整體，分別將x=1和x=-1代入，則（2+）=a+a+a+a+a;（2-）=a-a+a-a+a，易得到結(jié)果為1。

三、總結(jié)

綜上所述，以上各道例題都體現(xiàn)了整體思想在高中數(shù)學(xué)中多個(gè)方面的應(yīng)用，主要包括在復(fù)數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用、三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用、幾何問題中的應(yīng)用、方程求解過程中的應(yīng)用，以及在函數(shù)求值過程中的應(yīng)用等。另外，整體思想還能運(yùn)用于數(shù)列求和、函數(shù)極值等問題的求簡。通過上述例題的分析過程，不難看出，高中數(shù)學(xué)知識所涵蓋的內(nèi)容多、范圍廣，對邏輯思考能力及動手計(jì)算能力準(zhǔn)確性的要求高。而整體思想具有極高的應(yīng)用價(jià)值，它能夠幫助學(xué)生擅于從題目的已知條件中挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，掃除解題過程中不必要的障礙，找準(zhǔn)突破口，進(jìn)而達(dá)到提高解題效率及準(zhǔn)確度的目的。

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