再談平行四邊形第四個頂點的坐標公式及應用

蒙少亭

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）26-0288-02

一、問題提出

近幾年，許多中考真題中都考查了二次函數與平行四邊形結合的題型，題型一般都是四邊形的兩個頂點為定點，另兩個為動點，其中一個在拋物線上，而另一個動點在特殊的直線上（如：x軸、y軸或拋物線的對稱軸上）以這四個點為頂點的平行四邊形，求動點的坐標。解決這類問題的關鍵就是：設出一動點坐標，表示出另一動點的坐標（即平行四邊形第四個頂點）。文獻[1]中給出了推導平行四邊形的第四個頂點坐標公式的方法及其應用，筆者仔細研讀后對公式的推導推方法又有了新的發現與思考：從平行四邊形的結構特征來看，平行四邊形都可以動態的看成由它的一條邊通過平移得到，能否用平移的思想，借助平移前后點的變化規律，來發現平行四邊形的四個頂點存在的內在聯系.下面筆者將公式的推導過程予以展示，供大家參考。

二、問題探究

1.定形（字母有順序）

問題1：如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，其中，求D點坐標。

解法如下：

解法一：平行四邊形ABCD可以看成由邊AB經過平移到CD而形成四邊形。由平移前后點的坐標變化規律可知，B到C的平移方式與A到D的平移方式相同。點B先向右平移個單位，在向上平移個單位即得到點C，則點A先向右平移個單位，在向上平移個單位即得到點D.

解法二：平行四邊形ABCD可以看成由邊BC經過平移到AD而形成四邊形。由平移前后點的坐標變化規律可知，B到A的平移方式與C到D的平移方式相同。點B先向右平移個單位，在向上平移個單位即得到點C，則點C先向右平移個單位，在向上平移個單位即得到點D.

不難發現，解法一和解法二結果一致。由上面的探究，可以得出以下結論：

平行四邊形的四個頂點順序一定，已知前三個點的坐標，則第四個點的橫坐標即為已知對角兩點的橫坐標的和減去第三點的橫坐標，第四個點的縱坐標即為已知對角兩點的縱坐標的和減去第三點的縱坐標。

特殊地：

①平行四邊形ABCD中，

則：，其中.

②平行四邊形ABCD中，

則：，其中.

兩種特殊情況，從數和形的角度清晰地展現出平行四邊形的四個頂點存在的內在關系，同時也是公式的特殊應用。

2.不定形（字母無順序）

問題2：以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，其中，求D點坐標。

解法如下：

由于字母的順序不定，以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形要進行分類討論，以對角線進行分類，可以分如下圖所示的三類：

類型一：以AC為對角線，由問題1的結論可知：D1

.

類型二：以BC為對角線，由問題1的結論可知：D2

.

類型二：以AB為對角線，由問題1的結論可知：D3

.

由上面的探究，可以得出以下結論：

平行四邊形的四個頂點順序不定，已知其中任意三個頂點的坐標，則第四的頂點的橫坐標即為任意兩點的橫坐標的和減去第三點的橫坐標；第四個點的縱坐標即為任意兩點的縱坐標的和減去第三點的縱坐標。

上面的探究過程是從定形和不定形兩種情況進行分類討論，利用平移的規律，先推導出特殊情況下（字母有順序）的公式，再得到一般情況下（字母無順序）的結論，符合從特殊到一般的認知規律。同時，避免了文獻[1]中中點坐標公式的使用，更便于學生的理解與運用。

三、方法應用

如圖，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點D為邊AB上一點，將△BCD沿直線CD折疊，使點B恰好落在OA邊上的點E處，分別以OC，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系.過O，D，C三點作拋物線，若點N在上述拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使得以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M 點的坐標；若不存在，請說明理由.

解析：由折疊的性質，及△COE∽△EAD，易得：從而得到拋物線的表達式為：

∵拋物線的對稱軸為：x=-2

∴N（-2，n），以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形分三種情況：

①當CN為對角線時，

∵C（-4，0），N（-2，n），E（0，-3），由第四頂點坐標公式得：

∴M（-4+（-2）-0，0+n-（-3））即M（-6，n+3）

將M（-6，n+3）代入，易得M（-6，16）

②當CE為對角線時：

∵C（-4，0），E（0，-3），N（-2，n），由第四頂點坐標公式得：

∴M（-4+0-（-2），0+（-3）-n）即M（-2，-n-3）

將M（-2，-n-3）代入，易得M（-2，）

③當EN為對角線時：

∵E（0，-3），N（-2，n），C（-4，0），由第四頂點坐標公式得：

∴M（0+（-2）-（-4），-3+n-0）即M（2，n-3）

將M（2，n-3）代入，易得：M（2，16）

參考文獻：

[1]秦宇峰.求平行四邊形第四個頂點的坐標公式[J].中學數學教學參考：中旬，2015（5）：68.