淺談“數形結合”思想在分數乘除法中的應用

周冰

【摘要】“數形結合“的思想，指的是在一定的情況下，數與形之間可以互相轉化，相互滲透。讓小學生初步感受數形結合思想，有助于他們對數學知識的理解，也有助于鍛煉他們的數學思維能力，提高他們的數學素養。在分數乘除法中滲透‘數形結合”思想，有助于加深小學生對于數學計算方法的理解，提高解決生活中實際問題的能力。

【關鍵詞】數形結合 數學思維能力 數學計算方法

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）26-0149-02

數學課程標準（2011年版）中指出：“數學是研究數量關系和空間形式的科學。”。而在數學中，“數形結合”的思想是一種很重要的數學思想，它主要指的是數與形之間的一一對應關系。數與形是一對既對立又統一的關系，正如數學家華羅庚先生所說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”，所以這兩者之間是有著密不可分的關系，在一定的情況下它們可以互相轉化，相互滲透。

在小學數學中，正確進行整數、分數和小數的四則計算是小學數學的基本教學目標之一，而要正確地計算的前提是要理解相應的計算方法，不僅僅只是要讓學生掌握“怎么做”，還要讓學生明白“為什么”。小學生雖然在高年段時已經初步建立了簡單的數學思維體系，但還不是很完善，對于抽象的數學文字理解難度仍然較大，如果能夠借助具體的圖形，使圖形與數量關系相結合，則會有助于學生理解數學實質，進一步提高學生的數學思維能力。其中，最為典型的就是分數的乘除計算方法和解決問題的探索過程。以下就以北師大版五年級上冊的分數乘除法中的實際教學為例，就數形結合在北師大版五年級下冊分數乘法和除法中的運用和舉例，談一談自己的一些做法和體會，供大家參考和交流。

在教授北師大版五年級數學上冊分數乘法的內容時，我注意到了學生對于等量關系有著一些疑惑和難點，主要在于兩個分數相乘意義的理解，以及兩個量之間的比較關系。

例1.=？用一張長方形的紙折一折，想一想，再算一算。

師：同學們，你們會計算上面的式子嗎？

生1：我猜測答案是。

師：能說說你的理由嗎？

生1：我覺得應該是分子乘分子，分母乘分母。

師：你可以用我們學過的方法來驗證你的猜想嗎？

生2：補充生1的猜想，我覺得可以像我們之前學整數乘分數一樣，先畫圖，再驗證。

師：那就來做一下活動吧！

活動要求：1、拿出一張長方形紙，邊折邊將分數表示出來。

2、在每一個涂色的步驟后，請你在草稿本上記錄你的折紙和涂色的過程。

（學生活動）

這是我搜集到的兩種做法，我將它們一齊投影展示。（如下圖）

于是學生便很直觀地可以看到第一種畫圖方法并不能很直觀地表示的意義，并且也無法正確得到算式的結果，而第二種做法便可以有助于學生理解表示的其實就是的，并且會觀察到圖中重疊部分所占的份數就是算式的結果。

【我的思考】學生對于整數乘分數的意義有一定的理解，而且能夠通過畫圖得到問題的答案，但對于這類分數乘分數的題目，要理解題目便有些難度。于是在課堂上，我在教材的基礎上，修改了一下，不僅要學生用一張長方形紙紙來折，并且要他們邊折邊涂顏色，然后我還會要求他們畫出一個長方形代表所折紙張，然后讓他們將過程記錄下來。

計算分數與分數相乘時，要把分子相乘作為積的分子，分母相乘作為積的分母，但這并不是一個計算守則，而是由結果反推出來的一種快速計算方法。所以雖然這個方法看起來簡單，但要讓學生真正理解并卻不容易。所以，如果能夠像圖2一樣，先引導學生在長方形中表示出算式的結果，再啟發他們觀察算式的特點，再讓學生動手畫一畫舉例，由此歸納計算方法，那么也就將難點突破了。

這一段教學設計，雖然我只是小小地改動了一下教材的編排，耗費了一些時間，但卻取得了比較好的效果，使得學生的活動不僅僅是停留在了表面，而且是將活動經驗記錄下來變成更直觀的圖形，這樣有助于學生之后對分數乘法的理解不用再借助于實物的“紙”，而是可以根據頭腦中的“操作”將實際操作直接轉化成“畫圖”，更方便直接。

例2.一個長方形的長是8厘米，寬是長的，寬是多少厘米？這個長方形的面積是多少平方厘米？

這一道題目首先考察的是學生要先算出寬是幾厘米，然后才能對長方形的面積進行計算，學生可以利用線段圖，先表示出長和寬的關系，這里的“單位1”是長。

【我的思考】一直以來，由于受到應試教育的影響，我國小學數學教育中通常采用的是模仿和理論灌輸的模式，學生很多時候根本沒有理解題目，而是采取了死記硬背的方式，未能真正地理解知識點，導致學習不扎實，知識點的掌握流于表面。比如，當學生本單元學習分數乘法時，學生遇到例題的此類題目便一下子就列出了乘法的算式，而并沒有真正地去讀題和理解題目中的等量關系。這樣一來，時間一久，學生便記憶模糊，不能獨立解題。而且這種刻板的教育方式，學生對于數學的真諦便失去了探索的熱情，并不利于學生對數學思維能力的培養。所以數形結合的方式，可以讓學生動手去尋找題目中的數量關系，更便于學生理解問題和學習知識，有效地鍛煉了學生的數學思維，為學生提供更好的啟迪，彌補了傳統的教學模式的缺陷。所以雖然此類題目簡單，我在課堂中仍然會培養他們數形結合解決數學問題的方式。

當我后面接觸到分數除法時，我便將這道目進行了一個變式訓練，如例3。

例3.一個長方形的長是8厘米，長是寬的，寬是多少厘米？這個長方形的面積是多少平方厘米？

【我的思考】先把情境中的已知條件、所求問題以及它們之間的關系用合適的圖形表示出來，再借助圖形進行分析推理，確定解決問題的思路，是小學數學最為常見的策略。所以一般來說，如果能用圖形表達出來數量關系，對于邏輯思維能力偏弱的孩子來說，更有助于激發他們主動探索的愿望。

學生還可以利用長方形圖來解決一些簡單的數量關系，提高解決問題的能力。如例4。

例4.算一算，結合圖形說一說。

解決這道問題時，鼓勵學生觀察圖形的規律，找出每個數字之間的數量關系，他們便會發現右方框中的除法算式其實可以利用長方形圖，轉換成能夠直接口算的除法題。

以上舉的是比較典型的分數乘除法中利用“數形結合”思想理解乘除法計算方法和解決問題的例子，綜上所述，數形結合的思想是小學數學中研究數學不可或缺的一種數學思想，它的本質就是將抽象的數字語言與具體的圖形相結合。要將這種思想運用在數學中，必須是不斷地啟迪學生自己去嘗試，去“形”中找“數”，去“數”中思“形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，開拓他們的結題思路，享受解題的喜悅，鍛煉他們的數學思維能力，提高數學的綜合素養。

參考文獻：

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