淺談“數形結合”思想在解決問題中的運用

劉偉梅

【摘要】古往今來，數與形的相互轉化、結合是數學的重要思想，在教學中把數形結合思想滲透其中，把數學問題中的數量關系和空間形式結合，以形助教、以數輔形，可以達到邏輯思維與形象思維的完美結合，使問題化難為易、化繁為簡。培養學生用圖表述數量關系，發展學生的作圖能力，提高學生用圖征解決問題的能力可以有效提高學生的問題解決能力。

【關鍵詞】數形結合 問題解決 以形助教 以數輔形

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）26-0093-02

“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。長期以來，問題解決是教學的重難點，有的學生能進行基本的計算，卻解決不了生活中的日常問題；有些學生能明白基本概念和算理，卻不能靈活運用知識解決綜合性問題。問題解決已經在小學生中慢慢拉開了差距，有些學生能游刃有余地解決問題，可有部分學生卻無從下手。如何有效利用“數形結合”思想解決問題，這是教師思考和實踐的一個重要方向。

一、小學生在問題解決中的困難

從小學數學角度看，問題解決是指在教師的組織引導下，學生運用已有的知識、技能和能力，以積極探索的態度，創造性地解決來自數學學科或現實社會生活的問題的教學活動。但對于在問題解決中束手無策、無計可施的的學生而言，主要的困難是：1、不理解題意，不明白題目的意思；2、對于問題不夠明確；3、對于問題信息獲取不恰當，不能正確地建立數量之間的關系；4、數形結合思想缺乏、不能用圖征解決問題。如果學生在問題解決中不能合理地分析問題，找準數量關系，有效提煉題目信息，化繁為簡，問題解決就顯得尤為困難，于是出現“交白卷”或“全錯”的現象。因此，在教學中，如何有意識地利用數與形的結合的策略提高學生的思維素質，培養學生運用“數形結合”思想解決問題的能力顯得尤為重要。

二、“數形結合”思想在解決問題中的運用策略

著名數學家華羅庚先生曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微”。在教學中，有些問題學生模棱兩可，如能做到數形結合，學生便可透徹地加以理解。

（一）以形助數，使抽象問題具體化

數學概念具有高度的概括性和抽象性，數學問題解決需要有對問題的充分理解和對知識的靈活運用。教學中應盡可能為學生提供充分的感知材料，以直觀、具體的形豐富學生的表象，幫助學生建立合理數量關系，把復雜的問題簡單化、明朗化、抽象的問題形象化、具體化，以達到化繁為簡，使得學生知其所以然。

如題：①一個等腰三角形，頂角是底角的3倍，求這個三角形的每個角。②一個等腰三角形，底角是頂角的4倍，求這個三角形的每個角。

對于這種類似的題目，很多學生比較薄弱，經常出錯。基于學生的現狀和困境，我引導學生先畫圖，通過圖一和圖二，學生很快找到各角的數量關系，這道題也就迎刃而解。

案例中，以形助數，把抽象的問題具體化，利用圖形表示數學信息，讓學生一目了然地找到一份量，從而有效地突破數量之間的關系。通過以形助數，創造圖表，學生利用直觀感知的圖形，有效地建立數量關系，從而快速有效地找到解決問題的方法。

（二）以數輔形，使復雜問題簡單化

吳正憲老師認為：幾何研究空間形式，視覺思維占主導地位，培養知覺能力、洞察力；代數研究數量關系，有序思維占主導地位，培養邏輯能力、符號運算能力。在幾何圖形的周長、面積、體積等公示的歸納，如果僅僅通過觀察很難得到結果，在教學中引導學生充分利用“數”的精確性、規范性、嚴謹性，用數據呈現算理、公式、規律，闡明行的某些屬性，使復雜問題簡單化。

如在探索長方形的面積公式的過程中，可以充分利用圖表的作用，讓學生用面積單位不重疊、不留縫隙地鋪滿長方形，記錄在表格中（如下圖），學生便可以水到聚成地找到長方形的面積計算公式：長方形面積=長×寬。

填一填，想一想，你發現了什么？長方形的面積=？

長/厘米 寬/厘米 面積/平方厘米

（三）數形結合，使問題解決清晰化

學生接觸并利用“形”的語言后，我們應鼓勵學生多用表征，用自己創造的圖形解釋數學，用自我創造的圖表、用獨有的視角分析展示問題，運用數和形的結合，可以讓問題解決方法更明朗化、合理化、清晰化。

如下題，學生剛接觸這種類型的題目時，學生會特別容易犯難，無從下手，或因找不準數量之間的關系，解答錯誤。但，當學生用數形結合的方法，先根據題目信息畫圖，再根據圖，明確數量之間的關系，問題就迎刃而解了。部分學生的解答如下：

上圖中，學生敢于用自己創造的圖形解釋數學，用自我創造的圖表分析問題、解決問題，最終撥開云霧見天日，守得云開見月明，心境豁然開朗。同時學生在運用數形結合的思想解決問題的實踐中，感悟到數學思想，提升了自身素養。

“數缺形時少直觀，形少數時難入微?！痹趩栴}解決中，構建數形結合思想，通過以形助數，使抽象問題具體化；通過以數輔形，使復雜問題簡單化；通過數形結合，實現解決問題合理化、清晰化。數與形的相互轉化、結合是重要的數學思想，在教學中教師要把數形結合思想滲透其中，把數學問題中的數量關系和空間形式結合，以形助教、以數輔形，達到邏輯思維與形象思維的完美結合，使問題化難為易、化繁為簡，從而提高學生的解決問題的能力。

參考文獻：

[1]張啟鳳.“數形結合”思想在小學數學教學的應用研究[D].四川：四川師范大學數學與軟件科學學院，2016.

[2]陳蕾.讓小學生感受“數形結合”的教學策略[J].上海教育科研，2016，（02）：83-87.

[3]曹紅濤.數形結合思想在小學數學教學中的滲透研究[J].中國校外教育，2015（28）：129.

[4]吳正憲周衛紅陳鳳偉.吳正憲課堂教學策略[M].上海：華東師范大學出版社，2012.

[5]曾華倩.寓數于形，以形解數——論小學數學中的數形結合法[J].學周刊，2017（07）：125-126.

[6]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2011年.

[7]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.