例談數學知識在高中生物學教學中的應用

梁 浩 劉曉菊

(河北省盧龍縣中學 066400)

1 排列組合知識在生物學教學中的應用

排列與組合是高中數學中的重要內容，在生物學知識的學習中，如蛋白質分子中氨基酸的排列順序、自由組合定律、DNA分子及RNA分子的核苷酸排列順序、遺傳信息的傳遞和表達等內容中都可應用到排列組合知識。

1.1 排列知識的應用 例題： 某科研小組利用化學方法合成多肽時，在反應試管中加入甘氨酸、蘇氨酸、丙氨酸作為原料，加入相應的酶并在適宜的溫度下處理一段時間，推測生成三肽化合物可能有_______種，其中含有3種不同氨基酸的三肽可能有_______種，如果采用一定的方法限制反應，生成的四肽化合物可能有_______種，下列數字正確的是(D)。

A. 6,6,27 B. 27,6,27

C. 6,27,81 D. 27,6,81

解析： 3種氨基酸作為原料合成多肽時，兩氨基酸之間發生脫水縮合形成肽鍵，形成的三肽化合物有以下幾種可能： ①只含有1種氨基酸的，如“H3N—甘氨酸—甘氨酸—甘氨酸—COOH”。因此，含有1種氨基酸的三肽化合物共有1×3=3種。②也可能是含有2種氨基酸的，如含有甘氨酸和蘇氨酸，這就涉及每個位置上氨基酸的種類問題。氨基酸不同的排列順序，代表三肽化合物的分子結構不同，但是氨基酸之間又有可能重復，這就是可重復的排列問題。怎么才能把含有甘氨酸和蘇氨酸2種氨基酸的三肽化合物可能的種類準確快速地寫出來呢？可以這樣講解： 上述三肽化合物可以由1個甘氨酸和2個蘇氨酸組成，也可能由2個甘氨酸和1個蘇氨酸組成。前者的具體組成包括“甘氨酸—蘇氨酸—蘇氨酸”“蘇氨酸—甘氨酸—蘇氨酸”和“蘇氨酸—蘇氨酸—甘氨酸”，共3種；后者同樣有3種。同理，含有“甘氨酸和丙氨酸”“蘇氨酸和丙氨酸”2種氨基酸的三肽化合物分別也是6種。這樣含有2種氨基酸的三肽化合物共有6×3=18種。③含有3種氨基酸的三肽化合物有多少種呢？先考慮三肽化合物有3個位置，每個位置上必需與別的位置上的氨基酸種類不同，才能保證其含有3種氨基酸。這涉及到“不可重復的排列”的問題，第1個位置上可以是3種中的任意一種，第2個位置上是除第1個位置上以外的、其他的任意兩種之一，第3個位置是除了前兩個位置之外的那一種，所以，共有3×2×1=6種。據此，推測生成可能的三肽化合物有3+18+6=27種，而其中含有3種不同氨基酸的三肽可能有6種，生成的四肽化合物(屬于可重復排列)可能有為： 3×3×3×3=81種。因此，D選項正確。

1.2 組合知識在生物學教學中的應用 例題： 在自然人群中，發現決定Rh血型的基因的基因座上共有18個基因，但對于每個人而言，只有其中的兩個基因成員，則人類Rh血型有基因型(D)種。

A. 18 B. 36 C. 153 D. 171

1.3 組合知識和概率知識結合在生物學教學中的應用 例題： 一對夫婦在婚后孕檢發現懷了4胞胎，醫生已經證實4名胎兒在遺傳上有一定差異，為異卵四胞胎。請預測他們生育一男三女的概率為多少?兩男兩女的概率為多少？

參考答案： 他們生育一男三女的概率為1/4，他們生育兩男兩女的概率為3/8。

2 概率知識在生物學教學中的應用

概率是高中數學中的重要知識，通俗地講是某事件發生的可能性大小。在生物學很多內容的學習中要應用到概率知識，如遺傳學分離定律、自由組合定律所涉及的計算，其中最常用的是乘法定理、加法定理。

2.1 相互獨立事件同時發生的概率——乘法公式的應用 例題： 已知白化病為常染色體隱性遺傳病，一對夫婦都是該病的攜帶者，問該夫婦連生兩胎，兩個孩子均患白化病的概率1/16。

解析： 該夫婦基因型均為Aa，他們生育子代中： 白化病aa的概率為1/4，正常AA的概率為1/4，攜帶者Aa的概率為1/2，第一胎的基因型對第二胎的基因型沒有影響，這兩個事件為獨立事件。所謂獨立事件是指某一事件的發生對另一事件發生的概率沒有影響，這兩個事件互為獨立事件，兩個獨立事件同時發生的概率等于各自發生概率的乘積。所以，兩個孩子均患白化病的概率為1/4×1/4=1/16。

2.2 互斥事件概率——加法公式的應用 例題： 人類的多指和白化均是常染色體遺傳病，多指(T)對正常指(t)為顯性，白化(a)對正常(A)為隱性。在一家庭中，父親患多指，母親正常，生了一個白化病的兒子，問題： (1)再生一個孩子，兩病兼患的概率1/8。(2)再生一個孩子只患其中一種遺傳病的概率1/2。(3)再生一個孩子表現正常的概率3/8。

解析： 根據題意，判斷父親基因型為TtAa,母親基因型ttAa。若考慮多指一種病，Tt×tt→1/2Tt(多指)，1/2tt(正常)；考慮白化病一種病，Aa×Aa→1/4AA(正常),1/2Aa(正常)，1/4aa(患病)。其子代中有三種情況： ①兩病兼患；②兩種病均不患，表現正常；③只患一種病(只患白化病或者只患多指)，這三種情況的概率加在一起應是1，這三種情況為互斥事件。所謂互斥事件，是指不可能同時發生的兩個事件。互斥事件中有一個發生的概率為它們分別發生的概率之和。

所以，(1)再生一個孩子，兩病兼患的概率為1/2×1/4=1/8。(2)再生一個孩子只患兩種遺傳病中一種病的概率，意為只患白化病或只患多指(只患白化病： 1/4患白化病×1/2不患多指=1/8；只患多指： 1/2患多指×3/4不患白化病=3/8)，這是兩個互斥事件。所以，再生一個孩子只患兩種遺傳病中的一種病的概率為兩事件之和，即1/8+3/8=1/2。(3)再生一個孩子表現正常的概率，一種考慮方法是： 既不患白化病又不患多指，兩個獨立事件同時發生，則1/2×3/4=3/8；另一種考慮方法是： 1減去兩病兼患的概率，再減去只患兩種遺傳病中一種病的概率，即1-1/8-1/2=3/8。

3 集合知識中交集、補集等概念在生物學計算中的應用

例題： 在一次對ABO血型的調查中，共檢驗了4000名居民的血液，其中，1525人為A型血，1234人有抗原B，1841人無抗原，問AB血型的人有多少？參考答案： 600人。

解析： 人類ABO血型是由紅細胞表面的抗原決定的，A型血是指紅細胞表面含有抗原A但不含抗原B的人，B型血是指紅細胞表面含有抗原B但不含抗原A的人，AB型血即指紅細胞表面含有A、 B兩種抗原的人，O型血是指紅細胞表面無抗原A且無抗原B的人。根據題意可畫出集合圖(圖1)，其中，集合A有1525人，集合B有1234人，陰影部分為補集1841人，交集AB即為AB血型的人。據圖可以很方便地求出： 1525+1234+1841-4000=600(人)。

圖1 受檢驗居民血液中血細胞表面抗原類型示意圖

4 數學模型的構建在生物學教學中的應用

常見的數學模型，是指那些反映特定問題或特定的具體事物系統的數學關系結構，數學模型包括數學中的各種概念，各種方程式和各種坐標圖，如柱形圖、曲線圖。數學模型所表達的內容可以是定量的，也可以是定性的，但必須以定量的方式體現出來。

例題： 某種溫室大棚植物，在30℃條件下，測定其光照強度對光合作用速率的影響如圖2所示，圖中A點表示在光照強度為0的條件下，植物呼吸作用釋放的CO2量；B點表示光的補償點，是指植物在一定光照強度下，光合作用中吸收的CO2量等于呼吸作用釋放的CO2量；C點表示在D點的光照強度下，光合速率達到了最大值，即光的飽和點。如果該植物光合作用最適溫度為25℃,呼吸作用最適溫度為30℃。為了增產，生產人員將溫度調整到25℃，問曲線中各點變化正確的是(A)。

A. A點上移，B點左移，C點右上移

B. A點下移，B點不移，C點右上移

C. A點不移，B點左移，C點不移

D. A點上移，B點右移，C點左下移

圖2 某植物光合速率隨光照強度改變而變化的示意圖

解析： 25℃為該種植物光合作用最適溫度，但低于其呼吸作用最適溫度，所以總光合速率會適當提高，呼吸速率會相應降低。由于凈光合速率=總光合速率-呼吸速率，所以凈光合速率值會增大，所以C點上移且會右移；呼吸速率會相應降低導致A點上移；要使光合作用中吸收的CO2量等于呼吸作用釋放的CO2量所需的光照強度更低，因此B點左移。故A項正確。

此外，在此模型中可以找到一般規律，用于快速判斷光補償點的移動和光的飽和點的移動。

除了上述數學知識外，還有很多數學知識可應用于生物學教學中，如數學歸納法、二項式定理等。