基于學生學習能力培養的數學分析習題課教學探討

摘 要 本文主要是基于數學分析習題課的教學探討以促進學生應用能力的培養的研究。在習題課教學中，教師要有意識、有目的地結合數學分析課程的實際，引導學生積極地參與到整個解題思維過程，培養學生形成活用數學方法的能力、探究問題的能力、概括總結的能力。

關鍵詞 數學分析 數學思想 數學能力

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.03.051

Discussion on the Teaching of Mathematical Analysis Exercises

Based on Students' Learning Ability

LIAO Chunyan

（College of Science， Hunan University of Science and Engineering， Yongzhou， Hunan 425199）

Abstract This paper is mainly based on the teaching of mathematical analysis exercise class to promote the cultivation of students' application ability. In the teaching of exercise class， teachers should consciously and purposefully combine with the actual of mathematical analysis course to guide students actively participate in the whole process of thinking ways of solving problems ，develop students form the ability to flexible use mathematical methods， explore the question and summary.

Keywords mathematical analysis； mathematical thought； mathematical ability

數學家王梓坤院士在院士科技報告《今日數學及其應用》中曾說：“數學給予人們的不只是知識，更重要的是能力，這種能力包括直觀思維、邏輯推理、精確計算和準確判斷”。[4]數學訓練是數學教學的一個重要環節，而數學習題是組織數學學習訓練的主要載體，也是最有利于促進學生應用能力和創新能力及理解掌握各種數學思想，培養邏輯思維能力的過程中最具活力的因素。

1 精選習題，抓準基礎知識是核心

數學分析所涵蓋的基本概念、基本定理、相關性質、特殊公式等紛繁復雜，習題課的教學中，要求教師課前精選習題。習題課中所選示范題應具備綜合性，并側重于覆蓋教材中的基礎知識，使所選習題都盡可能的融入多個知識點，并能突出重點和難點。數學分析中的練習題眾多繁雜，如何從眾多的參考書籍中挑選恰到好處的習題，這就需要任課教師精挑細選，針對學生在學習過程中出現的一些常見的疑難問題、具有共性的、難度較大的概念、重要定理的條件和使用要領作出詳細的分析與解答。所選習題要融入數學分析課程最基本的解題思路，最基本的數學思想方法。所選之題多變靈活，能通過一題多解多題同解及一題多變培養學生的解題能力和解題思想。數學教材中的課后習題就是很好的選擇，教材中的習題都是經過專家數年的精挑細選，與教學內容相匹配的代表性題目，其背后往往蘊含著豐富的教學背景和教學思想。因此，我們應充分發揮數學分析教材中例題習題的作用。

2 強化解題策略中的分析過程

解題是一種技能，初學數學分析的學生，在做題的過程中更多的是觀察模仿，例如最初利用定義法證明極限問題，例如導數的定義法證明可導等等，最后通過不斷的實踐來掌握各種解題技能。因此教師在解題的過程中，應強化習題中的分析過程，將制定解題策略的全過程分析清楚，并以適合學生程度的問題吸引學生參與解題的全過程。

例1 設，且，證明[1]

分析：要解決這道題目似乎不知道用數學分析的哪個知識點，我們不妨從所給的條件中慢慢分解，看能否出一些結論。

第一步：分析條件。由條件我們可以分析到什么結論呢？不難發現分母極限為0，極限要存在則分子的極限必為0，得。又，說明什么呢？說明二階可導，則必定連續，同時可知單調增加。故，進一步得到。

第二步：分析結論。我們需要證明，引導學生依據條件中極限的形式，證明在時，和時，即可。

第三步：整合結論，進一步給出詳細的分析過程。考慮在的左右導數，由Lagrange中值定理有

（i） 當時，，其中（0，），；

（ii） 當時時，，其中，；

（iii）當時時，。

綜上所述，對任意， 都有。

本題所覆蓋的知識點很多，解題技巧強。習題課的教學不能僅僅為了解決出某一道題，而是在解決該問題的過程中，學生是否掌握了分析并解決類似問題的能力。習題課的教學中教師應重視解題的細化過程，通過逐步分析引導學生思考，總結題目的特點，得出一些今后在解決相關問題的結論，即：已知（或），討論的性質，一般方法是通過的單調性和Lagrange中值定理來完成。

3 開拓解題思路，探索解題技巧，培養學生數學創新精神

數學分析的學習是循序漸進且環環相扣的，要開拓學生的解題思路，在學生已經具備了一定的知識基礎之后，探索未知的知識層面中，應讓學生充分思考和摸索解題思路，著重把握解題的核心和本質。對重點內容進行專題訓練，使某一知識、計算技巧得到強化，強化學生的應用及發展能力。培養學生的創新意識、應用意識及綜合能力是數學教學的最終目的。因此在習題課的課堂上，應該選擇新穎靈活、貼近生活的應用型、實踐性、創新性、開放性的問題來激發學生的思維。利用一題多解，同一個問題不同的條件，同一個條件不同的問題來啟發學生的解題思路，有利于學生鞏固已學知識，開拓解題思路，探索解題技巧，訓練解題的靈活性，增強解題能力。在比較各種方法的基礎上，總結出一些規律性的東西，進一步提高學習效果。

例2 設，求[2]

分析：這道題目用定義法去做比較復雜，不難發現曲線是圓心為原點的圓，具有輪換對稱性，所以有

，

，

所以。

將問題做點變化：

（Ⅰ） 如果將被積函數換成，如何求解呢？

考慮曲線方程及被積函數之間的關系

，

由上例即可求解。

（Ⅱ）如果將曲線換成設，上述兩個積分問題又如何求解呢？

這時候曲線不是過圓心的圓周，求出曲線的半徑，， 由例2知

，。

總結第一型曲線積分的計算方法：想辦法將被積函數變成曲線方程的形式有利于積分的求解。

4 充分發揮解題過程中所蘊含的數學思想方法[3]

數學思想是對數學問題的理性認識。在數學分析的解題過程中，我們不能一味追求將題目解出來即可，我們應在解題的過程中發現解題過程中所蘊含的思想方法。教師可以自覺地，有目的地加以培養。例如我們在求解多元函數的極限問題的時候，我們自然而然地就將一元函數求極限的基本方法遷移過來（如無窮小乘有界仍是無窮小，無窮小的等價代換，例如兩個重要極限的結論等）。再如定積分的分割、近似、求和、取極限的思想也是反常積分，含參量的反常積分、多元函數積分學的基礎。又如，數學分析中的四大主要積分公式：牛頓—萊布尼茲公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都是建立了區域上積分與其邊界上積分的關系，其中格林公式和高斯公式，不僅結論相似，證明方式也類似，在解題的過程中所需要滿足的條件也相似，所以在講授這幾個公式應用的同時，能夠從理論上概括和提煉其中所蘊含的思想方法——類比，并系統地向學生系統介紹這一思想方法的內涵以及在解題過程中應用這種方法建立的一些結論。

5 結束語

高質量的習題課不應該是只注重問題的解決。事實上，習題課中的題目往往有多種解法，我們在講解的過程中往往只能挑學生最容易理解，比較易于接受的求解方式，但這種做法有的時候并不是最簡捷、最巧妙的。所以我們仍然應鼓勵學生去發現屬于自己的更好的解題方法，只有這樣，才能真正學好數學分析這門課程，在習題課教學過程中，將解題技巧及學生能力的培養融合應用，以數學分析的基礎知識、基本理論、基本方法為內核，靈活多變的解題技巧為外殼，融合數學思想方法的氣質，創造一種全新的數學分析習題課教學表達。

基金項目：湖南科技學院教改項目（課題編號XKYJ2017003）；

湖南科技學院教改項目（課題編號XKYJ2017005）

參考文獻

[1] 陳紀修等編.數學分析（上）（第二版）[M].高等教育出版社，2004.10.

[2] 華東師范大學數學系編.數學分析（上）（第三版）[M].高等教育出版社，2001.6.

[3] 廖春艷，趙艷輝.數學分析課程中數學概念教學的探討[J].湖南科技學院學報，2014（5）：4-6.

[4] 中國科學院數學物理學部.今日數學及其應用[J].自然辯證法研究，1994（1）.