高頻數據瞬時波動率核估計的窗寬選擇及算法研究

王江濤，周 勇

(1.上海財經大學統計與管理學院，上海 200433；2.華中師范大學經濟與工商管理學院，湖北 武漢 430079；3.中國科學院數學與系統科學研究院，北京 100190)

1 引言

波動率的準確度量問題一直是金融計量研究中的持續熱點問題。對于波動率的度量，最初的做法是通過構建參數模型，利用低頻數據進行估計。Engle和Rusell[1]提出的ARCH模型、Bollerslev[2]提出的GARCH模型及其衍生的一系列模型是這方面工作的代表。但是這類方法在度量波動率的準確性方面總是不盡如人意。為了更加準確地度量波動率，在結合高頻數據的基礎上，研究者提出了波動率的許多非參數估計量，如Vetter[3]、Zhang Lan等[4]、Jacod等[5]和Bandorff-Neilsen等[6]。隨著金融市場的發展，各種交易活動越來越頻繁，使得波動率度量的及時性顯得尤為突出。這就需要準確地度量交易中每個時刻對應的波動率—瞬時波動率(Spot Volatility)。這方面的工作正在被豐富中。Fan Jianqing[7]在不考慮市場噪音下提出了瞬時波動率的核估計。Kristen[8]構建了一種瞬時波動率更加一般形式的核估計量。Zu Yang[9]在考慮市場噪音效果下，提出了瞬時波動率的一種新估計量。Sabel等[10]采用小波變換的方法構建了瞬時波動率的另外一種估計量。研究瞬時波動率的最新進展可見Mancini1等[11]、沈根祥[12]和吳鑫育等[13]的工作。

所有這些估計量都是瞬時波動率的非參數估計量，其實際度量瞬時波動率的效果取決于窗寬的選擇。換句話說，這類估計量在實際應用中都面臨著最優窗寬的選擇問題。上述所有提出瞬時波動率非參數估計量的文章，雖然對如何確定其中的最優窗寬做了一些分析與討論，如給出了最優窗寬的理論表達式、分析和討論了最優窗寬理論表達式中未知參數的估計。但是這些研究還存在一些不足：首先，在已有的研究中，估計最優窗寬中未知參數的方法缺乏實用性，其根本無法從實際數據中估計出未知參數。如，Kristensen[8]在估計瞬時波動率軌跡的光滑參數時，假設已知瞬時波動率各個時刻的值。然而瞬時波動率在各個時刻的數值恰恰是待估計的未知量，不可能事先已知。Zu Yang[9]中對最優窗寬中的另外一未知參數—瞬時波動率高階矩的積分進行估計時，所采用的方法中存在另外一個窗寬選擇問題。其次，已有的研究并沒有在具體應用中，討論估計量的窗寬選擇，而僅僅是在用數值模擬方法分析估計量的度量效果時，才計算了最優窗寬的具體值。這種情況下，由于事先能從數值模擬環節中清楚地知道瞬時波動率各個時刻的值，從而使得計算最優窗寬中的未知參數變得相當容易。因而最優窗寬也可以輕易得到。然而，在瞬時波動率非參數估計量的實際使用過程中，瞬時波動率的各個時刻值并不是已知的，這種情況下如何去確定估計量的最優窗寬，現有的研究并沒有給出明確的回答。如，Figueroa-Lopez等[14]雖然也討論窗寬的選擇，給出了最優窗寬的表達式，但并沒有給出從實際數據中計算窗寬的具體辦法。

針對瞬時波動率非參數估計量中窗寬選擇的研究現狀，本文以瞬時波動率的核估計量為例，設計出一種能直接從交易數據中計算出最優窗寬具體數值的算法。事實上，確定瞬時波動率非參數估計量中最優窗寬的困難在于，其中的未知參數難以估計。因為這些未知參數往往依賴于待估計的瞬時波動率。基于對這種事實的觀察，本文采用迭代的方法，通過設計算法，用逐步逼近的手段，來獲得最優窗寬的具體值。算法設計的具體步驟是：首先，由某一個較為粗糙的窗寬開始，計算出瞬時波動率的第一次估計值，并由此得出最優窗寬中各個未知參數的估計，從而進一步計算出另外一個近似最優窗寬。然后，用該窗寬替換原來所使用的窗寬并重復該過程。只要迭代算法設計得合理，就能使得每一次迭代得出的窗寬都比原來所使用的窗寬更靠近最優窗寬。在構建算法之后，本文從理論上證明所構建的算法是穩定的和收斂的。算法經過有限次迭代之后能確定一個窗寬值，這個值不依賴于初始窗寬的選擇，而且是最優窗寬的一致估計量。然后，我們將所構建的算法應用于實際數據當中，數值驗證的結果表明文中的算法在有限容量的樣本中表現也相當好，從而確保了算法的實用性。最后，將算法應用于模擬數據中，檢驗了由算法確定的窗寬的實際效果。結果顯示，算法確定的窗寬是有效的，其確實是實際數據對應的最優窗寬。同時，如果將文中的算法進行改進和推廣，就能解決瞬時波動率其他非參數估計量中最優窗寬的選擇問題。

2 瞬時波動率的核估計

(1)

除了上述瞬時波動率核估計的這些理論性質，該估計量在實際應用過程中還存在兩個問題。首先是非參數核估計量都面臨的邊界效應問題。在臨近邊界的附近估計瞬時波動率時使用邊界核函數就可解決這個問題。第二個問題是，核函數的選擇。不同的核函數影響瞬時波動率核估計量度量的效果并不大。本文中我們采用Parzen核函數。

3 最優窗寬及其參數估計

使得MSE在整個交易時間[0,T]內積分最小，就得到一個整體最優窗寬hopt：

3.1 未知參數的估計

3.2 平滑系數γ的估計

平滑系數γ在確定瞬時波動率非參數估計量的最優抽樣頻率、最優窗寬和度量估計量的收斂速度等方面有著重要的作用。Blanke[17]研究了滿足Hold條件的瞬時波動率過程平滑系數的估計。依據作者的研究結果，平滑系數的一種估計量為：

其中l，k均為正整數。在實際應用過程中，l和k的取值為1或2較為合適。Δ是連續交易之間的時間間隔。該估計量具有較好地理論形式，具體見Blanke[17]。Kristensen[8]在對瞬時波動率核估計中最優窗寬的討論中建議用該方法對平滑系數γ進行估計。為了提高對估計的精度與準確性，作者還提出了γ另外一種形式的估計量：

(2)

其中l1，l2和k是取值為1或2的整數。

3.3 未知參數的估計

4 確定最優窗寬的算法

上一節中雖然分析了最優窗寬中未知參數的估計，但其中提出的方法在實際應用中都有一個前提條件：需要事先知道瞬時波動率在各個時刻的數值，然而各個時刻的瞬時波動率是待估計的未知量，不可能事先已知。為此，我們借鑒非參數核估計中Gasser等[18]提出的代入迭代算法的思想來解決這一問題。其基本思想是：從某一個近似最優窗寬的初始窗寬開始計算，得出瞬時波動率的一個近似估計。然后用該數值計算出一個新的最優窗寬的近似值，最后用新得到的最優窗寬近似值替換上一次迭代計算中使用的初始窗寬，重復上一次計算過程。于是每一次迭代后，算法都能得到瞬時波動率和最優窗寬的一個近似估計值。只要迭代過程中算法設計得合理，就能使每一次得到的估計值比上一次的更加接近于瞬時波動率和最優窗寬的準確值。

將上述做法具體化，我們構建了如下的算法：

第二步：根據上一步得到的h1，令j=j+1，分別做如下計算：

4.1 算法的收斂性

上述所構建的算法從任何初始值開始，經有限次迭代，最終都穩定地收斂到最優窗寬。

4.2 算法的實際數據表現

為了檢驗算法在有限樣本中的表現，這一節將用兩只不同的股票在某一個交易日內的價格數據和不同的初始值，即初始值γ0設定為不同的值，來考察算法在實際數據中的表現。本文選用了在德國證券交易所中交易比較活躍的法國航空公司2015年1月5日實時交易數據和上海證券交易所中交易比較活躍的中國神華(601088SH)2016年7月5日每隔5秒的分時價格數據。本文對原始數據做如下預處理：首先，刪除在交易日時間外的所有數據，將中國神華上午和下午的數據當作連續交易數據對待；其次，刪除數據中明顯的由記錄錯誤產生的數據，如交易價格或買賣的叫價為0的數據、買賣價差為負值或者大于臨近交易的買賣差價10以上的數據等。同時還對交易時間做了伸縮變換，使得所有交易時間落在(0,1)范圍內。這樣操作并不影響最優窗寬的選擇和瞬時波動率核估計的度量效果。

利用上述的數據，在不同的初始值條件下，在R軟件中編程實現文中設計的算法，得到兩只股票最優窗寬和迭代次數的關系圖：

圖1 迭代步數與所得窗寬圖(法國航空公司)

圖2 迭代步數與所得窗寬圖(中國神華)

上述兩個圖中，橫軸代表迭代的次數，縱軸表示與迭代次數所對應的窗寬，圖中的曲線描述了每次迭代計算所得的窗寬與迭代次數的關系。圖1描述的是，算法應用于法國航空公司數據時，從不同的初始值開始，每次迭代后所得到的窗寬與迭代次數之間的關系圖。圖2是與中國神華交易價格數據對應的窗寬和迭代次數關系圖。對于法國航空公司的價格數據，我們將初始γ0分別設定為0.2、0.5和0.8，其對應的初始窗寬h0分別為0.002483、0.01501和0.03956。從圖1可以很容易地看出，剛開始的初始窗寬之間彼此相差很大。即便是經過兩次迭代計算之后，窗寬之間的差距也比較大。從第四次迭代開始，不同初始值對應的窗寬之間的差距逐漸變小。經過12次左右的迭代，由不同初始值計算得到的窗寬之間基本上沒什么大的區別，各個相差迥異的初始值在經過算法有限次迭代運算之后，都收斂到統一的窗寬。這表明文中提出的算法在實際數據的應用中仍然具有穩定性。為了進一步說明算法的穩定性，對于中國神華交易價格數據，我們分別設定初始γ0為0.2、0.5和0.8。其對應的初始窗寬分別為0.003536、0.01923和0.04786。從圖2中仍然可以看出，前面三次迭代計算得到的窗寬之間相差比較大，隨后每次迭代得到的窗寬之間的差異越來越少。經過12次左右的迭代之后，所得的窗寬最終收斂到一個統一的值上，這說明算法是穩定收斂的，而且收斂速度跟檢驗數據的選取和初始值的設定無關，完全取決于算法本身。上述這些數據驗證的結果說明，文中的算法具有較好的穩定性和較快的收斂速度。

根據最優窗寬的理論表達式以及算法的計算步驟可以看出，算法只有在已知[0,T]時期內的交易數據(即，樣本數據)之后才能計算出與之相對應的最優窗寬數值。而且其計算結果完全取決于樣本數據。如果樣本數據發生變化，或者樣本時間由[0,T]延長到[0,T+t]，那么由算法確定的最優窗寬也將發生變化。以文中選取的法國航空公司交易價格數據為例，將開盤到下午5:00的交易作為分析對象，算法計算出這段時間內的最優窗寬為0.03416。但是以開盤到下午5:30的交易作為分析對象，算法確定出整個交易日內的最優窗寬為0.0333。由此看出，樣本時間延長半個小時將使得最優窗寬降低約2.5%。

對于所選擇的數據來說，由算法確定的整個交易日內的最優窗寬分別為0.0333和0.02059，與此相對應的瞬時波動率，其部分表現如下圖所示：

圖3 瞬時波動率的部分表現圖(法國航空公司)

圖4 瞬時波動率的部分表現圖(中國神華)

從圖3和圖4中可以看出，在整個交易過程中瞬時波動率并非固定不變，而是具有時變性。而且其隨時間的變動情況也呈現出一定的“日內效應”即，瞬時波動率在上午交易剛開始的一段時間內，數值都比較大。隨著交易過程的穩定，其數值又逐漸回落到低位。但是在下午的交易過程中，瞬時波動率又會呈現出一次上揚，只是兩只股票各自上揚的時間點不相同。瞬時波動率的這種日內變化模式與股票交易的實際過程完全吻合。除此之外，兩只股票的瞬時波動率，其隨時間的變化規律還具有各自不同的特點，這可能是由不同的市場規則和各自不同的交易過程而造成的。

4.3 算法的模擬數據檢驗

如果我們不是依據算法嚴格從實際數據中求出最優窗寬，而是人為地設定窗寬數值并以此計算瞬時波動率，將會造成最終的估計結果嚴重失真，甚至得到錯誤的結論。下面我們用模擬數據來說明這一點。本文考察了如下隨機波動模型：

圖5 迭代步數與所得窗寬圖(模擬數據)

圖6 不同窗寬下瞬時波動率的估計(模擬數據)

圖5描述了將算法應用于模擬價格數據時，從不同的初始值開始，每次迭代所得到的窗寬與迭代次數之間的關系。圖形顯示算法在模擬數據中也具有穩定性，其確定的窗寬為0.01339。在該窗寬下，模擬價格數據的瞬時波動率核估計如圖6中(紅色)點虛線所示。從圖6中可以看出，該窗寬對應的估計值能準確地描述真實瞬時波動率的變化軌跡。而且該估計量還具有較高的精度，在整個交易時間內其與真實瞬時波動率的相對絕對誤差平均值僅僅為6%。這些結果表明由算法確定的窗寬確實是模擬價格數據對應的最優窗寬。此時，瞬時波動率估計量的絕對誤差平均值(簡記為：MAE)為4.6618×10-6。如果估計中采用人工設定的窗寬，如0.065和0.0065(其分別是最優窗寬的5倍和1/2倍)，此時得到的瞬時波動率估計值分別如圖6中(綠色)線段虛線和(藍色)圓點虛線所示。從圖中可以看出，這兩個窗寬對應的估計量都無法準確地描述真實瞬時波動率的變化。兩估計量中都具有較大的偏差，其對應的MAE分別為5.3319×10-6和7.0378×10-6。它們分別是最優窗寬對應的絕對誤差均值的1.1437倍和1.5097倍。因此平均而言，在最優窗寬下瞬時波動率估計量的誤差比在人工設定的窗寬0.065和0.0065下估計量的誤差要低，其降低的幅度分別為14.4%和50%。由此可以看出，只有在最優窗寬下計算瞬時波動率估計值，才能夠保證最終的結果有意義。因此本文提出的算法具有重要的作用。

上述算法雖然僅僅是針對瞬時波動率核估計量而設計的。如果按照算法設計的思路，將文中的算法做恰當的調整，就可用來確定瞬時波動率其他非參數估計量的最優窗寬。從而徹底解決從實際數據中估計瞬時波動率存在的困難，為瞬時波動率的各種實際使用如，風險管理和期權定價等提供數據支持。在風險管理方面，可以先用瞬時波動率對每次收益率進行標準化處理，在此基礎上計算VaR的值。根據相關的理論結果，這種做法可提高風險度量的準確性。在期權定價方面，將計算出來的瞬時波動率直接代入到各種期權定價公式，如B-S公式中，就可進行期權定價。

5 結語

最優窗寬的確定是瞬時波動率非參數估計量在實際應用過程面臨的一個重要問題。由于最優窗寬中往往含有難以估計的參數，使得該問題并不容易解決。本文以瞬時波動率核估計為例，提出了一類能從價格數據中獲得最優窗寬的算法。然后，從理論上證明了該算法是收斂的而且具有穩定性。將所構建的算法用于實際數據當中，結果顯示該算法所確定出的最優窗寬不依賴于初始值的選取。無論將初始值設定為其理論范圍內的哪一個值，由算法所確定出的窗寬最終都收斂到統一的最優窗寬上。將文章中的算法進行推廣與改進，就可以用來確定瞬時波動率其他非參數估計量的最優窗寬。從而為瞬時波動率的后續研究和實際使用如，風險管理、期權定價和市場微觀結構的探究等鋪平道路。