基于離散事件仿真的復雜冗余系統可用度分析

呂學志，范保新，趙新會，尹 健，王憲文，姚 耀

1.國防大學 信息作戰與指揮訓練教研部，北京 100091

2.陸軍炮兵訓練基地教研部，河北 宣化 075100

1 引言

為了提高系統的可靠度，通常采用兩種方式：一是提高組件單元的可靠度，二是采用冗余形式。為了提高組件單元的可靠度，可能需要更精進的制造工藝，這就需要投入更多的人力、資金、時間進行研發，從而增加制造成本，但組件單元可靠度的增加非常有限。在實際應用中，一般采用組件冗余的方式，提高整個系統的可靠度。因此，冗余系統在現實世界中應用非常廣泛。而可用度（Availability）是裝備可用性的概率度量，是系統效能的重要因素，是用戶最關心的重要參數之一。所以，分析冗余系統的可用度是工程人員經常面臨的問題。

目前，對系統可用度分析主要使用馬爾可夫過程和仿真方法。文獻[1]運用馬爾可夫過程分析了可修系統的可用度。文獻[2]運用馬爾可夫過程分析了汽車機軸的可靠性。文獻[3]概述了馬爾可夫方法在多階段任務系統可靠性分析中的應用。文獻[4-5]系統介紹了系統可靠性數字仿真方法。文獻[6]給出了基于最小路集的復雜系統可用度仿真算法。此外一些商業可靠性仿真軟件可以很好地實現對基于基本可靠性框圖的可靠性仿真，例如Blocksim 7.0，只要用戶給定可靠性、維修性參數、可靠性框圖，計算機將自動仿真計算出各類可靠性參數[7]。文獻[8]介紹了利用仿真方法確定最小割集以及可靠性的方法，系統的結構用基于最小割集的真值表進行描述。但是，上述仿真方法并不適用于包含冷儲備關系的冗余系統，使得其應用范圍受到了限制。

綜上所述，冗余系統可用度可以使用馬爾可夫過程，但是這種方法只適用于部件較少、結構并不復雜的系統，如果部件數量增加，結構更加復雜，則由于狀態空間的急劇增加，很難對其進行分析。雖然仿真方法不受部件規模的限制，但是目前的仿真方法主要用最小路基、最小割集、可靠性框圖來描述系統結構，這種描述方法很難反映部件狀態的相關性，并不適用于包含冷儲備這種狀態相關關系的冗余系統，限制了其應用范圍。所以，需要對冗余系統可用度仿真算法以及系統結構描述進行深入研究，解決目前面臨的難題。

2 復雜冗余系統及其結構表示

冗余系統通常包括儲備系統和表決系統。儲備系統中有k個單元工作，把n-k個單元作為備件，且可以代替工作中失效的單元工作，以提高系統的可靠度，把這樣的系統稱為“n中取n-k備用（n-kout-ofn；Standby）的儲備系統”，記為n-k/n(S)系統。單元的儲備形式有多種多樣，常見的有冷儲備、熱儲備和溫儲備[9]。表決系統也是一種冗余系統，在工程實踐中得到了廣泛的應用。組成系統的n個單元中，只要有k個或k個以上單元正常，則系統正常，把這樣的系統稱為“n中取 k好（k-out-ofn；Good）表決系統”，記為 k/n(G)系統。表決系統的特例是并聯(1/n(G))和串聯(n/n(G))系統。熱儲備系統可以歸為表決系統。由于溫儲備和冷儲備都需要啟動備用單元，所以溫儲備可以歸為冷儲備的一種特例。所以經過以上簡單分析，可以說冗余系統包括冷儲備系統和表決系統[9]。

圖2 并聯系統狀態轉移圖

本文的研究目的是利用離散事件仿真方法來分析冗余系統可用度，需要解決的第一個難題就是如何用結構化的形式來表示冗余系統結構。由于冗余系統中可能存在冷儲備系統，其部件狀態相關，關系結構非常復雜，所以不能再按照基本可靠性框圖的方式來使用最小路集或最小割集來表示其結構。這里采用BS樹形式來表示冗余系統結構。見圖1。

圖1 BS樹狀結構圖示例

在BS樹中，有三種圖形，即矩形、圓形、連接線。圓形表示下層部件，按數字順序進行編號。矩形表示下層部件的關系，矩形中的“S”表示冷儲備關系，“B”表示表決關系。如果是冷儲備關系，矩形中數字表示冷儲備系統n-k/n(S)中正常工作單元數k。如果是表決關系，矩形中數字表示k/n(G)表決系統中的k。

3 復雜冗余系統的行為分析

為了分析復雜冗余系統行為，首先分析一下簡單的2部件并聯系統與2部件冷儲備系統的行為。圖2是2部件并聯系統狀態轉移圖，圖中x1與x2分別表示部件1和部件2，sys表示部件1和部件2組成的系統。 x1、x2有3個狀態：wait（待用）、off（故障）、on（正常）；sys有2個狀態：off（故障）、on（正常）。 sys、x1與 x2的初始狀態為正常狀態；當x1、x2兩個部件都故障之后，整個系統故障。如果部件 x1或x2處于wait狀態，當sys進入on狀態，即en(sys.on)，則 x1、x2進入on狀態。當部件x1或 x2處于on狀態，當sys進入off狀態，即en(sys.off)，則 x1、x2進入wait狀態。 f1、f2分別表示 x1、x2的故障事件，當發生故障事件后，x1或x2由on狀態轉變為off狀態；g1、g2分別表示 x1、x2的修好事件，當發生修好事件后，x1或x2由off狀態轉變為wait狀態。圖3是2部件冷儲備系統狀態轉移圖。x1、x2兩個部件中x2是備件，x2的初始狀態為wait狀態，x1、sys的初始狀態為on狀態；當x1故障之后，則x2進入正常狀態；當x2與x1都故障時，則系統故障。通過比較圖2、3，發現在冗余系統中，部件狀態是相關的。當系統正常時，則原本處于待用狀態的部件也將進入正常工作狀態。當系統故障時，則原本正常工作的部件也將進入待用狀態。因此，對于冗余系統來說，不僅部件狀態要受到系統狀態的影響，而且可能由于某些部件是備用的，部件之間狀態也是相互影響的[10]。

圖3 冷儲備系統狀態轉移圖

接下來，以圖1中的冗余系統為例對具有兩層嵌套結構的冗余系統行為進行分析。假設x1、x2、x3、x4、x5初始狀態為正常，處于第2層的“B，1”子系統正常，“S，2”子系統正常，則頂層的“S，1”系統狀態正常。頂層“S，1”系統狀態正常，由于其關系是冷儲備，所以處于第2層的“B，1”子系統、“S，2”子系統必有一個處于待用狀態，選擇“S，2”子系統處于待用狀態，則其下屬部件x3、x4、x5處于待用狀態。若x1、x2都故障且沒有修好，第2層的“B，1”子系統進入故障狀態，“S，2”子系統處于待用狀態，啟動“S，2”子系統后頂層的“S，1”系統仍處于正常狀態，選擇“S，2”子系統下屬部件x3、x4處于正常狀態，x5處于待用狀態。

根據以上對圖1中冗余系統的分析，可以總結出以下規律。對于多層嵌套結構的冗余系統，其行為總是由部件的事件引起的，部件修好或故障事件再影響到上層子系統的狀態，上層子系統的狀態將影響其上層子系統的狀態，直至頂層系統狀態，頂層系統狀態又會影響到下層子系統狀態，直至底層部件狀態，這樣部件就會間接影響到兄弟部件狀態。這樣的行為演變具體來說可分為兩個過程：一是確定頂層系統狀態的過程，這是一個“自下而上”的過程，二是確定底層部件狀態轉移的過程，這是一個“自上而下”的過程。

4 算法設計

4.1 假設條件

算法假設條件有：（1）部件三狀態：部件有三個狀態，即正常、故障、待用，且部件之間狀態相關。（2）系統兩狀態：在任一時間，系統或者正常或者故障。（3）單調關聯系統：復雜冗余系統被認為是單調關聯系統（如果每個部件處于正常狀態，則系統必定處于正常狀態；如果每個部件處于故障狀態，則系統必定處于故障狀態；如果部件從故障狀態向正常狀態轉變，則不會導致系統從正常狀態向故障狀態轉變）。（4）復雜冗余系統結構：復雜冗余系統的可靠性關系結構已知，可以用BS樹的形式給出。（5）部件的維修時間分布函數與故障分布函數：每個部件的維修時間分布函數與故障分布函數已知，即分布類型與分布參數已知。（6）維修策略：對于每個部件持續監視其狀態，并采用事后維修策略，不考慮由于維修資源有限而產生的排隊問題。（7）部件修復后如新：當部件故障后經過維修（換件），部件如同新的一樣。

4.2 復雜冗余系統可用度仿真算法

輸入數據主要包括：（1）仿真次數：調整仿真次數可能影響仿真結果的精確性、耗費的仿真時間與計算資源；（2）仿真時間：每次仿真過程中的邏輯時間；（3）部件數量；（4）部件故障分布函數；（5）部件維修時間分布函數；（6）復雜冗余系統結構參數。

輸出數據主要包括：（1）系統仿真時間內平均可用度；（2）平均可用時間（Mean Up Time，MUT）；（3）平均非可用時間（Mean Down Time，MDT）；（4）平均故障次數（Mean Times of Failure，MTF）；（5）平均首次故障時間（Mean Time to First Failure，MTTFF）；（6）平均維修時間（Mean Time to Repair，MTTR）[11]。

根據離散事件仿真方法設計了復雜冗余系統可用度仿真算法，如圖4所示。復雜冗余系統中的每個部件可能會經歷故障事件與修好事件。算法步驟如下[12]：

步驟1仿真時鐘、統計變量初始化為0。

步驟2根據復雜冗余系統結構參數，以及部件的故障分布函數初始化事件表與每個部件的狀態。

步驟3確定下一個事件的類型、時間，以及發生部位（即確定由哪個部件產生的）。

步驟4判斷是故障事件，還是修好事件。若是故障事件則執行故障事件操作流程；否則，執行修好事件操作流程。

圖4 復雜冗余系統可用度仿真算法

步驟5更新系統狀態、統計變量，推進仿真時鐘。

步驟6重復執行步驟3到步驟5，直到滿足仿真時間。

步驟7記錄單次仿真數據。

步驟8重復執行步驟1到步驟7，直到達到仿真次數要求。

下面對故障事件操作流程圖進行介紹，如圖5所示。首先，根據相應部件維修時間分布函數隨機生成維修部件所需維修時間tm，安排部件下一個事件為修好事件，修好事件發生時間為當前時鐘加上維修時間tm。然后確定復雜冗余系統狀態st(1)：

（1）如果系統狀態st(1)為正常，則確定部件轉移狀態。根據部件狀態和轉移狀態更新部件事件表。①如果部件狀態為備用并且轉移狀態為正常，則部件狀態為正常，安排故障事件。如果部件剩余壽命為0，則故障事件時間為仿真時鐘時間加上根據部件故障分布隨機生成的故障時間tf。如果剩余壽命不為0，則故障事件時間為仿真時鐘時間加上剩余壽命。②如果部件狀態為正常并且轉移狀態為備用，則部件狀態為備用，安排備用事件（事件編號設置為2，事件時間設置為inf（無限大）），并記錄部件剩余壽命。

（2）如果系統狀態st(1)為故障，則所有處于正常狀態部件處于備用狀態，記錄部件的剩余壽命（故障事件時間減去仿真時鐘時間），并安排備用事件（事件編號設置為2，事件時間設置為inf）。

圖5 故障事件操作流程圖

圖6 是修好事件操作流程圖。首先，修好部件處于備用狀態，更新部件對應的仿真事件表（既不安排故障事件也不安排修好事件），修好部件剩余壽命為0。然后，確定復雜冗余系統狀態st(1)，如果系統狀態st(1)為正常，則確定部件轉移狀態。根據部件狀態和轉移狀態更新部件事件表。（1）如果部件狀態為備用并且轉移狀態為正常，則部件狀態為正常，安排故障事件。如果部件剩余壽命為0，則故障事件時間為仿真時鐘時間加上根據部件故障分布隨機生成的故障時間tf。如果剩余壽命不為0，則故障事件時間為仿真時鐘時間加上剩余壽命。（2）如果部件狀態為正常并且轉移狀態為備用，則部件狀態為備用，安排備用事件（事件編號設置為2，事件時間設置為inf），并記錄部件剩余壽命。以上介紹了復雜冗余系統可用度仿真算法的流程，接下來介紹表示BS樹、如何確定系統狀態以及部件的轉移狀態。

圖6 修好事件操作流程圖

4.3 BS樹的描述及常用方法

從圖1可以觀察到BS樹像一棵倒過來的樹，很顯然應該使用樹這種數據結構來描述BS樹。在編程語言中有兩種描述樹的方法：一種是父指針表示法，另一種是左子結點/右兄弟結點法[13-15]。這里介紹前一種方法。BS樹可以表示為圖7中的三維數組形式。

圖7 BS樹的父指針數組表示法

在父指針表示法中，每個結點包含一個指向父結點的指針、類型值和標記值。父指針表示為父結點在數組中位置的下標值。例如，結點1的指針為0，表示其為根結點；結點2的指針為1，表示其父結點是根結點。類型值只取1、2、3這三個值，取1表示結點為表決關系結點，其子結點組成表決子系統，標記值為k/n(G)表決系統中的k；取2表示結點為冷儲備關系結點，其子結點組成冷儲備子系統，標記值為n-k/n(S)冷儲備系統中的k；取3表示結點為部件，其沒有子結點，標記值為部件編號。在復雜冗余系統可用度仿真算法中，用類（Class）來描述樹t，并定義樹的方法。這些方法主要包括得到結點i的子結點向量getchildren(i)，得到結點i的類型值gettype(i)，得到結點i的標記值getmark(i)，得到樹t的寬度搜索向量breadthfirstiterator，判斷結點i是否是葉子isleaf(i)。

4.4 確定復雜冗余系統狀態算法

確定復雜冗余系統狀態是一個“自下而上”的過程。輸入數據包括t（描述復雜冗余系統結構的BS樹）和sc（描述所有部件狀態的向量）。輸出數據是BS樹所有結點狀態向量st，st(1)表示BS樹根結點狀態，即復雜冗余系統狀態。確定復雜冗余系統狀態的流程圖如圖8所示，其中|I|表示向量I中的元素個數；|C|表示向量C中的元素個數；sign（）是一個函數，當x非0時，sign(x)=x/|x|；當 x=0時，sign(x)=0。

圖8 確定系統狀態流程圖

4.5 確定部件轉移狀態

根據第3章的分析，確定底層部件轉移狀態需要判斷系統狀態是否正常。（1）如果系統狀態正常，則再根據系統的關系確定下層子系統的轉移狀態，再由下層子系統狀態確定其下層子系統或部件的轉移狀態，直至確定所有底層部件的轉移狀態，所以這個過程是一個“自上而下”的確定過程。（2）如果系統狀態為故障，則令所有處于正常狀態的部件直接進入待用狀態。確定底層部件轉移狀態需要系統狀態必須為正常，也就是說只有確定了系統狀態為正常的情況下才會確定部件轉移狀態。而如何確定系統狀態在前面已經探討過了。

確定部件狀態轉移算法的輸入數據包括sc（所有部件狀態的向量）和t（系統結構的BS樹）。輸出數據是s′c（所有底層部件轉移狀態的向量）。

在BS樹中，對于轉移狀態為正常（即等于1）且類型是冷儲備關系的結點，可以稱其為“S型”結點。對于不是“S型”結點的結點，可將其稱為“B型”結點。

確定“S型”結點的子結點（包括子系統和部件）的狀態轉移流程較為復雜（圖9中由上向下第3個“判斷”框圖左下部分描述了這種結點的狀態轉移流程）。具體確定轉移狀態可以采用以下思路。首先，按照是否可能轉移狀態可以將“S型”結點分為兩種：一種是可能轉移狀態的子結點，包括處于待用狀態、正常狀態的子結點；另一種是不可能轉移狀態的子結點，包括處于故障狀態的子結點。然后，從可能轉移狀態的子結點中，確定哪些子結點轉移狀態為正常，哪些子結點轉移狀態為備用。所以整個流程可以分為三步：第一步，確定可能轉移狀態子結點集合；第二步，從可能轉移狀態子結點集合中確定轉移狀態為正常的集合；第三步，確定所有子結點轉移狀態。

圖9 確定部件轉移狀態流程圖

在圖9中，第一步“確定可能轉移狀態子結點集合”的流程圖的背景色填充為5%度灰。“確定待轉移狀態子結點集合”可以采用兩種策略。一種策略是處于正常、待用狀態的子結點可能轉移狀態，而處于故障狀態的子結點不能可能轉移狀態，將其稱為策略1。圖9采用了這種策略。另一種策略是處于待用狀態的子結點可能轉移狀態，而處于故障、正常狀態的子結點不能可能轉移狀態，將其稱為策略2。采用策略2確定可能轉移狀態集合的算法如圖10所示。在算法編程中可以根據需要選擇其中一種策略。

在圖9中，第二步“從可能轉移狀態子結點集合中確定轉移狀態為正常的集合”的流程圖的背景色填充為10%度灰。這里也可以采用兩種策略，一種策略是隨機確定轉移狀態為正常的集合，稱其為策略3。圖9中采用了這種策略。另一種策略是按照預先設定的優先順序確定轉移狀態為正常的集合，稱其為策略4，具體流程如圖11所示。

圖10 策略2流程圖

圖11 策略4流程圖

在圖9中，第三步“確定所有子結點轉移狀態”的流程圖是由剩余的三個“判斷”框圖構成的循環結構組成。由于前兩步已經確定了狀態轉移集合，就可以按照前面的集合確定具體子結點的轉移狀態的，所以這一步比較簡單。

對于“B型”結點，其處理流程圖為從上向下第3個“判斷”框圖右下部分。如果結點轉移狀態為1，則所屬子結點中處于待用狀態的子結點的轉移狀態為正常狀態，否則所屬子結點中處于正常狀態的子結點的轉移狀態為待用狀態。

5 計算實例

考慮這樣的系統，其可靠性框圖如圖12所示，部件2和3、部件4和5、部件6和7、部件8和9、部件10和11都是冷儲備關系，它們和部件1又共同構成串聯關系。圖13是該系統的BS樹。

圖12 實例系統的可靠性框圖

圖13 實例的BS樹

系統由7個相同部件組成，其故障分布函數均為e-0.01t,t≥0，修理時間分布均為1-e-0.1t,t≥0。時間單位為小時（h）。表1用數組描述了系統的結構。

表1 表示系統BS樹的數組

根據所提出的算法用Matlab進行了編程，分別評估復雜冗余系統可用性。仿真時間為1 000 h，仿真的次數100次。平均可用度為0.896 6。每次仿真可用時間和不可用時間直方圖與累計概率分布曲線如圖14、15。平均可用時間為67.9 h，平均不可用時間為8.5 h。每次仿真首次故障時間直方圖與累計概率分布如圖16，平均首次故障時間MTTFF為69.3 h。每次仿真維修時間與維修次數的直方圖如圖17，平均維修時間MTTR為9.9 h。故障次數直方圖與累計概率分布曲線如圖18，平均故障次數為12.17。

圖14 系統可用時間統計分析圖

圖15 系統不可用時間統計分析圖

圖16 首次故障時間統計分析圖

圖17 維修時間與次數直方圖

圖18 故障次數統計分析圖

6 結束語

本文介紹了復雜冗余系統及其可用度分析的重要性；提出利用BS樹來描述冗余系統的結構；用狀態圖描述了復雜冗余系統的復雜行為；在離散事件系統仿真方法基礎上，設計了復雜冗余系統可用度的仿真算法，重點探討了如何描述BS樹，如何利用BS樹確定復雜冗余系統狀態和部件轉移狀態。該仿真算法可以對具有多層嵌套結構的復雜冗余系統進行可用度等多種參數進行計算，不需要太多輸入參數，計算機實現簡單，實用性與通用性都很強，較好地解決了復雜冗余系統結構描述、確定復雜冗余系統狀態及部件轉移狀態的技術問題。在今后的研究中，可以繼續考慮其他類型的冷儲備系統、類型表決系統，以及考慮備件轉換的可靠性，不斷完善該仿真算法。