基于平均邏輯相似度的α-反向三I算法的魯棒性

王 蓉，惠小靜，井 美

延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000

1 引言

模糊控制的理論基礎是模糊推理，1973年，Zadeh提出了模糊推理的CRI[1]算法，但是CRI算法不具有還原性且缺乏嚴格的邏輯基礎。因此，我國學者王國俊教授等提出了模糊推理的三I[2]算法，該算法有良好的邏輯基礎。因此諸多學者對此進行了研究，文獻[3]提出反向三I支持算法和反向三I約束算法理論；文獻[4]研究了基于反向支持度的三I算法；文獻[5]研究了基于反向三I約束算法等。

設L是模糊推理系統，A是L中的模糊輸入，B是L中的模糊輸出。如果模糊輸入A的微小偏差不會對模糊輸出B產生很大的影響，則稱模糊推理系統L具有良好的魯棒性。魯棒性問題與控制系統的相對穩定性有著密切的聯系，因此許多學者對此進行了研究。文獻[6]介紹了模糊集擾動的概念；文獻[7]研究了CRI算法的魯棒性；文獻[8]研究了三I算法的魯棒性。文獻[9]用靈敏度的方法討論了模糊推理的魯棒性；文獻[10]基于Minkowski距離研究了模糊推理的魯棒性；文獻[11]基于Moore距離研究了區間值模糊推理三I算法的魯棒性。

用什么去衡量兩個模糊集之間的偏差，文獻[12]提出一種新的衡量模糊集之間遠近程度的擾動參數，即極小邏輯相似度，極小邏輯相似度最終是用取小算子去對原始數據進行聚合，這樣容易導致信息丟失。因此文獻[13]是在極小相似度的基礎上提出了一種新的擾動參數：平均邏輯相似度，采用平均邏輯相似度對原始數據做了更精細的處理，比極小相似度保留更多信息，其所得到的結果越精確。因此，在上述工作的基礎上以平均邏輯相似度為擾動參數分別討論了α-反向三I支持算法和α-反向三I約束算法的魯棒性。

2 預備知識

X、Y為非空論域，F(X)、F(Y)分別是論域X與

定義2.3[14]T是格L上的t-模，若存在另一個二元算子?:L2→L使得：T(a,b)≤c，當且僅當a≤?(b,c),a,b,c∈L，則稱(T,?)為L上的伴隨對，并且稱(L,T,?)為剩余格。

定義2.4[14]設T是格L上的左連續的t-模，則存在另一個二元算子?：L2→L使得(T,?)為L上的伴隨對，其中

以下，稱?是由T誘導的剩余蘊涵。

定義2.5[15]設→：[0,1]2→[0,1]是[0,1]上的二元算子，若滿足如下條件：

（1）0→0=1,0→1=1,1→1=1，1→0=0。

（2）關于第一變量不增，第二變量不減。則稱→是[0,1]上的模糊蘊涵算子。

定義2.6[14]設→是[0,1]上的二元算子，若對任意的a,b,c,d∈[0,1],→滿足如下條件：

（1）a→b=1當且僅當a≤b。

（2）a≤b→c當且僅當b≤a→c。

（3）a→(b→c)=b→(a→c)。

（4）1→a=a。論域Y上的模糊集的全體。

定義2.1[14]設L為完備格，二元算子T：L2→L被稱為L上的一個t模，如果T滿足交換律、結合律，對每個變量都不減，且?x∈L,T(1,x)=x。

定義2.2[14]設T是格L上的t-模，T稱為左連續的，如果對L的任意非空子集B，以下等式成立：

（6）a→b關于a單調不增，且關于b單調不減，那么→稱為[0,1]上的正則蘊涵算子。

定義2.7[16]設(L,T,?)是剩余格，?a,b∈L，規定

a?b=?(a,b)∧?(b,a),a,b∈L以下記為s(a,b)=a?b。

定義2.8[17]設 X={x1,x2,…,xn},A,B∈F(X),→ 是[0，1]上滿足的模糊蘊涵，令

稱S?(A,B)為A與B的平均邏輯相似度。

3 邏輯連接詞的魯棒性

引理 3.1[17]設 |X|=n,A,A′,B,B′∈F(X),x∈X,→是[0，1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊涵，T是L上左連續t-模，?是T生成的剩余蘊涵，則有以下的不等式：

（1）s(A(x)∨ B(x),A′(x)∨ B′(x))≥s(A(x),A′(x))+s(B(x),B′(x))-1。

（2）s(A(x)∧ B(x),A′(x)∧ B′(x))≥s(A(x),A′(x))+s(B(x),B′(x))-1。

（3）s(T(A(x),B(x)),T(A′(x),B′(x)))≥s(A(x),A′(x))+s(B(x),B′(x))-1。

（4）s(?(A(x),B(x)),?(A′(x),B′(x)))≥s(A(x),A′(x))+s(B(x),B′(x))-1。

命題3.1[17]設|X|=n,A,A′,B,B′∈F(X),x∈X,→是[0，1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊涵，T是L上左連續 t-模，? 是 T 生成的剩余蘊涵，若 S?(A,A′)≥δ1，S?(B,B′)≥δ2則

S?(A°B,A′°B′)≥δ1+δ2-1,其中°∈{∧,∨,?,T}

命題3.2[17]設 |X|=n,A,A′,B,B′,C,C′∈F(X),x∈X,→是[0，1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊涵，T是L上左連續t-模，?是T生成的剩余蘊涵，若S?(A,A′)≥δ1，S?(B,B′)≥δ2，S?(C,C′)≥δ3，則

S?(T(C,?(A,B)),T(C′,?(A′,B′)))≥δ1+δ2+δ3-2

4 α反向三I算法的魯棒性

本章以平均邏輯相似度作為擾動參數分別討論了α-反向三I支持算法和α-反向三I約束算法的魯棒性。

引理4.1[17]令 ai,bi∈[0,1]，i=1,2,…,n,→ 是滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊涵。則有：

定理4.1[18]設([0,1],T,?)是剩余格，α∈[0,1]。A,A?∈F(X)，B,B?∈ F(Y),則：

（1）FMP(A,B,A?)的 α-反向三I支持算法解 B?的形式如下：

（2）FMT(A,B,B?)的 α-反向三I支持算法解 A?的形式如下：

定理4.2 設→是[0，1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊涵，T是L上左連續t-模，?是T生成的剩余蘊 涵 。 令 |X|=n,|Y|=m,A,A′,A?,A?′∈F(X),B,B′,B?,B?′∈F(Y)且 B?和 B?′分別是定理4.1FMP(A,B,A?)和FMP(A′,B′,A?′)的 α-反向三I支持算法的解。

若 S?(A,A′)≥δ1，S?(B,B′)≥δ2，S?(A?,A?′)≥δ3，則S?(B?,B?′)≥1-n(3-δ1-δ2-δ3)。

證明 S?(B?,B?′)=

定理4.3 設→是[0，1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊涵，T是L上左連續t-模，?是T生成的剩余蘊 涵 。 令 |X|=n,|Y|=m,A,A′,A?,A?′∈F(X),B,B′,B?,B?′∈F(Y)且 A?和 A?′分別是定理 4.1FMT(A,B,B?)和 FMT(A′,B′,B?′)的 α-反向三I支持算法的解。

若 S?(A,A′)≥δ1，S?(B,B′)≥δ2，S?(B?,B?′)≥δ3則S?(A?,A?′)≥1-m(3-δ1-δ2-δ3)。

證明 S?(A?,A?′)=

注 由定理4.2和定理4.3可知當假設δi(i=1,2,3)無限接近1，可得 S?(B?,B?′)也非常接近1。由以上事實可見，當輸入A,B和A?存在微小偏差將會導致FMP(A,B,A?)的α-反向三I支持算法的解B?微小的改變。因此關于FMP問題的α-反向三I支持算法有良好的魯棒性。同理分析可知FMT問題的α-反向三I支持算法也具有良好的魯棒性。

定理4.4[19]設([0,1],T,?)是剩余格，α∈[0,1]A,A?∈F(X)，B,B?∈ F(Y),則

（1）FMP(A,B,A?)的 α-反向三I約束算法解 B?的形式如下：

（2）FMT(A,B,B?)的 α-反向三I約束算法解 A?的形式如下：

定理4.5 設→是[0，1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊涵，T是L上左連續t-模，?是T生成的剩余蘊 涵 。 令 |X|=n,|Y|=m,A,A′,A?,A?′∈F(X),B,B′,B?,B?′∈F(Y)，且 B?和 B?′分別是定理4.4FMP(A,B,A?)和 FMP(A′,B′,A?′)的 α-反向三I約束算法的解。

若 S?(A,A′)≥δ1，S?(B,B′)≥δ2，S?(A?,A?′)≥δ3，則S?(B?,B?′)≥1-n(3-δ1-δ2-δ3)。

證明 S?(B?,B?′)=

定理4.6 設→是[0，1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊涵，T是L上左連續t-模，?是T生成的剩余蘊 涵 。 令 |X|=n,|Y|=m,A,A′,A?,A?′∈F(X),B,B′,B?,B?′∈F(Y)且 A?和 A?′分別是定理 4.4FMT(A,B,B?)和 FMT(A′,B′,B?′)的 α-反向三I約束算法的解。

若 S?(A,A′)≥δ1，S?(B,B′)≥δ2，S?(B?,B?′)≥δ3，則S?(A?,A?′)≥1-m(3-δ1-δ2-δ3)。

證明 S?(A?,A?′)=

注 由定理4.5和定理4.6可知當假設δi(i=1,2,3)無限接近1，可得 S?(B?,B?′)也非常接近1。由以上事實可見，當輸入 A,B和 A?存在微小偏差將會導致FMP(A,B,A?)的 α-反向三I約束算法解 B?微小的改變。因此關于FMP問題的α-反向三I約束算法有良好的魯棒性。同理分析可知FMT問題的α-反向三I約束算法也具有良好的魯棒性。

5 結束語

本文以平均邏輯相似度作為衡量擾動的指標，分別研究了α-反向三I支持算法和α-反向三I約束算法的魯棒性。把模糊集拓展到區間值模糊集，討論基于區間值模糊推理α-反向三I支持算法和基于區間值模糊推理α-反向三I約束算法的魯棒性，將于另文中討論。