循環(huán)荷載下巖鹽Poyhting-Thomson模型研究

許宏發(fā), 齊亮亮, 劉 斌, 柏 準

(陸軍工程大學(xué) 爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國家重點實驗室，南京 210007)

由于鹽巖具有良好的低滲透性、密閉性、損傷自恢復(fù)性和塑性變形能力大等特性，使得這種材料已經(jīng)成為一種廣泛尋找的地下儲氣庫介質(zhì)。儲氣庫在運營過程中要經(jīng)歷反復(fù)加載、卸載的過程，使其在受力分析上變得更為復(fù)雜。所以在循環(huán)荷載下鹽巖的流變本構(gòu)模型研究，對儲氣庫的力學(xué)分析和穩(wěn)定性運營管理具有現(xiàn)實意義。

國內(nèi)外學(xué)者對鹽巖在循環(huán)荷載作用下的力學(xué)特性進行了研究，取得了一些列成果。Fuenkajorn等[1]進行了單軸反復(fù)加卸載作用下鹽巖疲勞試驗，分析了疲勞強度、彈模與循環(huán)次數(shù)之間的關(guān)系，并給出了破壞準則。郭印同等[2]進行了鹽巖單軸循環(huán)荷載下的疲勞試驗，分析了鹽巖的疲勞強度、變形及損傷規(guī)律；對單軸疲勞試驗應(yīng)力-應(yīng)變曲線與單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線進行了比較，發(fā)現(xiàn)了疲勞強度與全應(yīng)力-應(yīng)變曲線間的一致性；構(gòu)建了疲勞損傷方程。楊春和等[3]進行了鹽巖單軸循環(huán)加、卸載試驗，研究鹽巖的變形特性，得到了簡單應(yīng)力狀態(tài)下加、卸載本構(gòu)關(guān)系，并對各級塑性滯回能進行了分析了，給出了滯回能經(jīng)驗方程。高紅波等[4-5]對鹽巖和含夾層鹽巖進行了應(yīng)力水平不斷提高的單軸反復(fù)加卸載試驗，發(fā)現(xiàn)了循環(huán)載荷作用下強度降低幅度與循環(huán)次數(shù)及累積滯回環(huán)面積相關(guān)。Liu等[6]進行了7個應(yīng)力水平的單軸循環(huán)加載試驗，發(fā)現(xiàn)在低應(yīng)力水平下?lián)p傷很小，隨著應(yīng)力水平的增加，損傷演化越來越明顯，給出了損傷演化方程。任松等[7]通過實驗研究了不同溫度下的鹽巖循環(huán)加載疲勞特性進行了研究，發(fā)現(xiàn)疲勞壽命隨著溫度的升高而增加、勻速疲勞損傷階段所占的比例增加，分析了疲勞損傷演化規(guī)律。同時該作者還研究了循環(huán)疲勞荷載下的聲發(fā)射特性[8]。許宏發(fā)等[9]對鹽巖進行了不同圍壓、不同應(yīng)力水平和不同頻率條件下的循環(huán)荷載試驗，通過無量綱處理，構(gòu)建了應(yīng)力比強度、應(yīng)力比振幅、上限應(yīng)力水平、荷載頻率、循環(huán)次數(shù)等對體積應(yīng)變影響的定量函數(shù)關(guān)系。

從以上研究來看，對巖鹽循環(huán)荷載下的疲勞特性的研究主要集中在試驗研究和損傷演化，對循環(huán)疲勞的流變本構(gòu)方程的理論研究較少。在其他巖石的循環(huán)荷載下的疲勞特性，雖有大量的研究成果[10～18]，但研究思路主要集中于疲勞強度、疲勞壽命、應(yīng)變演化方程等方面。黃明等[19]基于Kelvin-Voigt模型建立了廣義Kelvin-Voigt體的正弦加載蠕變模型，但該循環(huán)加載的最小應(yīng)力為0，不適用于一般循環(huán)疲勞加載的情況。

本文利用Poyhting-Thomson流變模型，根據(jù)實際循環(huán)加載過程，推導(dǎo)出疲勞應(yīng)變隨時間發(fā)展的本構(gòu)方程。根據(jù)循環(huán)疲勞過程中平均應(yīng)變的損傷特性，對該理論本構(gòu)方程進行了修正。通過巖鹽循環(huán)加載試驗和數(shù)學(xué)驗證，證明該修正模型能夠代替試驗，為儲氣庫工程的數(shù)值模擬提供了新的巖鹽力學(xué)模型。

1 循環(huán)荷載下Poyhting-Thomson流變模型

1.1 Poyhting-Thomson模型

分析觀察結(jié)構(gòu)在荷載從零增加至破壞值時的變化過程一樣，對于地下鹽巖球形模型的變形先是彈性應(yīng)變，隨著應(yīng)力應(yīng)變的不斷增加會逐漸向彈塑性變形過度，最后達到塑性極限變形，這一過程可采用Poyhting-Thomson體來描述，模型如圖1所示。其模型的流變本構(gòu)方程為

(1)

式中：σ為應(yīng)力；ε為應(yīng)變；E1，E2圖中為彈性元件的彈性模量；η為黏壺元件的黏滯系數(shù)。

圖1 Poyhting-Thomson體

若應(yīng)力為恒定，σ=σ0，則該模型的蠕變方程為

(2)

1.2 循環(huán)加載動應(yīng)力方程

巖鹽試件循環(huán)加載主要由兩部分組成，為初始階段均勻加載和周期循環(huán)加載，如圖2所示。

圖2 加載應(yīng)力曲線

為了模擬巖鹽試件的加載過程，采用分段函數(shù)來描述其加載過程

σ=v0t(0

(3)

σ=σm+σasin[θ(t-t0)](t≥t0)

(4)

式中：t為時間；v0為初始加載速度；σm為循環(huán)加載平均應(yīng)力；σa為循環(huán)加載應(yīng)力幅值；θ為圓頻率。其中各參數(shù)可采用式(5)進行計算。

(5)

式中:σmax為循環(huán)加載最大應(yīng)力；σmin為循環(huán)加載最小大應(yīng)力；T為周期；f為頻率。

1.3 加載全過程流變本構(gòu)方程

1.3.1 初始勻速加載部分流變本構(gòu)方程

將式(3)代入式(1)，得：

(6)

解式(6)微分方程，得到初始加載階段的流變本構(gòu)方程為

(7)

1.3.2 循環(huán)加載部分疲勞流變本構(gòu)方程

將式(4)代入式(1)，得

(8)

解此微分程，得到

(9)

式中，C0為常數(shù)

(10)

試驗加載過程中，加載兩個階段過度觸變形相等，所以在t=t0時刻處，式(7)與式(9)相等，得到

(11)

式(5)中相關(guān)參數(shù)代入式(11)，求解得到

(12)

將式(12)代入式(9)，并化簡得到循環(huán)加載階段的流變本構(gòu)方程為

(13)

考慮到在循環(huán)過程中，巖石材料產(chǎn)生損傷，使得循環(huán)應(yīng)變等速增加。很多學(xué)者在構(gòu)建蠕變本構(gòu)方程時，常用冪函數(shù)項來模擬[20]。因此本文采取同樣的方法，構(gòu)建一個考慮循環(huán)疲勞應(yīng)變等速增加(損傷)情況下的模型。

α(t-t0)ρ(t≥t0)

(14)

式中:α為與材料特性、應(yīng)力水平、加載頻率等有關(guān)的常數(shù)，ρ為考慮曲線形狀的指數(shù)，可由試驗數(shù)據(jù)擬合得到。

1.3.3 循環(huán)加載疲勞應(yīng)變上限、下限線和中線方程

α(t-t0)ρ

(15)

α(t-t0)ρ(t≥t0)

(16)

α(t-t0)ρ(t≥t0)

(17)

由式(15)～(16)可以看到，軸向循環(huán)應(yīng)變的幅值為A。當(dāng)A為已知時，由式(10)可得

(18)

其中

Ea=σa/A

(19)

Ea為循環(huán)加載曲線的斜率，或稱振動模量；k1和k2為模量比

(20)

由式(18)得到

(21)

2 試驗驗證

筆者對某鹽礦鉆井套鉆獲取的鹽巖試件進行了有圍壓軸向循環(huán)加載試驗。鹽巖試件主要成分為NaCl，含有一定的Na2SO4、CaSO4以及少量的角礫碎屑及泥巖雜質(zhì)，顏色呈灰到黑色變化。試樣高徑比約為2∶1，尺寸約為φ50 mm×100 mm，誤差在±3 mm。試驗采用TAW-2000型微機伺服巖石三軸試驗機進行鹽巖三軸循環(huán)加載，載荷控制。加載過程中，先加圍壓，再在軸向以勻速加載到設(shè)定的應(yīng)力，后以正弦函數(shù)的形式進行軸向循環(huán)加載疲勞試驗。

本文用小、中、高應(yīng)力狀態(tài)3個試件的試驗結(jié)果對本構(gòu)模型式(7)和(14)進行驗證。具體試驗參數(shù)見表1。表中σ1為軸向應(yīng)力，σ3為圍壓。這里(為有效應(yīng)力，σmax有效應(yīng)力的最大值，σmin有效應(yīng)力的最小值，σm有效應(yīng)力的平均值，σa有效應(yīng)力的幅值，ε為軸向應(yīng)變。圖3為試件Y1～Y3的原始應(yīng)力-應(yīng)變曲線。

表1 試驗方案

(a) Y1試件

(b) Y2試件

(c) Y3試件

由圖4可繪出各試件的軸向應(yīng)變-時間曲線。由圖可以看出，循環(huán)應(yīng)力水平越高，應(yīng)變值越大；應(yīng)變分為初始加載應(yīng)變變形段和循環(huán)加載應(yīng)變循環(huán)變形段；在循環(huán)加載段，應(yīng)變隨時間有規(guī)律變化，周期與循環(huán)加載的周期基本一致；平均應(yīng)變隨時間延長而增加，應(yīng)力水平越大，增加值也越大，該增加值與試件在循環(huán)加載過程中的損傷密切相關(guān)。

圖4 軸向應(yīng)變-時間試驗曲線

由圖4可得到Y(jié)1、Y2和Y3試件的循環(huán)應(yīng)變平均幅度A分別為：0.000 09、0.000 25和0.000 2。由式(19)計算得到三個試件的振動模量Ea分別為：64 644.44、26 904.00和110 545.00 MPa。用式(15)～(17)分別對Y1、Y2和Y3試件的循環(huán)加載段應(yīng)變的上限線、下限線和中間線進行擬合分析。通過試算發(fā)現(xiàn)，參數(shù)k2一般在1～10范圍變化，且對結(jié)果不敏感。但k2參數(shù)初始段曲線是較敏感的。本文利用循環(huán)段擬合的參數(shù)來模擬初始階段曲線，并與初始段試驗曲線比較來確定k2的值。最終的擬合結(jié)果如圖5和表2所示。

圖5 循環(huán)應(yīng)變上、下限線和中線擬合曲線

將表2中參數(shù)，代入式(20)求k3、E1和E2，再用式(18)求η。然后將這些參數(shù)代入式(7)模擬，即可模擬試件Y1、Y2和Y3在勻速加載段的應(yīng)變曲線，模擬結(jié)果見圖6所示。

表2 循環(huán)加載段應(yīng)變曲線擬合結(jié)果

圖6 勻速加載段應(yīng)變擬合曲線

由圖5和表2可看出，式(15)～(17)能較好的描述循環(huán)應(yīng)變的上限、下限和中間線，且精度非常高。從圖6可以看出，本構(gòu)模型(7)描述勻速加載段的應(yīng)變變化是合理的，精度也很高。

對表2擬合參數(shù)進一步分析發(fā)現(xiàn)，參數(shù)k1在4%～ 10%變化。在小應(yīng)力狀態(tài)，k2小些，隨著應(yīng)力狀態(tài)增加，k2增大，并趨于一致。參數(shù)ρ也有類似的規(guī)律。參數(shù)α是一個小值，一般介于(4～9)×10-4之間。

將上、下、中線擬合得到的均值參數(shù)，代入式(7)和(14)，即可模擬循環(huán)加載條件下不同階段應(yīng)變的變化規(guī)律，如圖7所示。

圖7 模型模擬曲線與試驗曲線的比較

由圖7可以看出，式(7)和(14)模擬得到的巖石循環(huán)加載應(yīng)變曲線與試驗曲線比較接近。說明本文得到的描述循環(huán)荷載條件下的巖石應(yīng)變的本構(gòu)模型是合適的，可以在今后的數(shù)值模擬中開發(fā)應(yīng)用。

3 數(shù)學(xué)驗證

3.1 加載過程簡化后的流變模型

一般在研究循環(huán)加載流變規(guī)律時，并沒有將本次試驗第一階段的勻速加載部分考慮在內(nèi)。理論上在試驗開始瞬時，應(yīng)力值即達到循環(huán)試驗均值，循環(huán)加載起點時間為零點。加載曲線如圖8所示。

圖8 理論加載曲線

參考式(9)計算過程，此時循環(huán)加載流變方程應(yīng)為

(22)

將C0代入式(22)得

A[sin(θt+B)-sinBe-λt]

(23)

可以看出，式(23)的前兩項即為Poyhting-Thomson模型在恒載σm作用下的蠕變方程。

3.2 角速度θ對長期應(yīng)變的影響

當(dāng)θ→0時，此時加載頻率f→0，周期T→∞，在數(shù)學(xué)上可近似看做恒載作用，此時有

(24)

將A、B極限值代入式(23)中，并取t→∞得到模型的長期應(yīng)變值

(25)

表明在加載角速度很小、周期很大時，其長期應(yīng)變值并不是一個定值，而是隨著應(yīng)力的變化而不斷周期變化，且任一相等應(yīng)力在時間點上的長期應(yīng)變值與該應(yīng)力作為恒載作用下的長期應(yīng)變值是相等的，例如循環(huán)加載的上下限長期應(yīng)變值分別與σmax、σmin作為恒載作用下的長期應(yīng)變值相等。

3.3 加載振幅σa對應(yīng)變的影響

當(dāng)循環(huán)加載振幅σa=0時，即σmax=σmin，亦可近似趨近于恒載作用，此時

(26)

代入式(23)得到與式(2)一致的結(jié)果，即

(27)

結(jié)果表明，在A→0的情況下，式(23)與恒應(yīng)力σm作用下的蠕變方程式(2)完全一致。所以當(dāng)循環(huán)加載應(yīng)力振幅趨近于零時，循環(huán)加載模型與恒載模型具有完全相同的蠕變計算公式和完全相同的力學(xué)特性。

以上分析從數(shù)學(xué)上驗證了模型的正確性，且表明本文建立的模型具有確切的物理意義。

4 結(jié) 論

本文通過理論模型推導(dǎo)、修正和試驗、數(shù)學(xué)驗證，得到如下結(jié)論：

(1) 根據(jù)巖樣真實循環(huán)加載過程，推導(dǎo)出初始勻速加載段和正弦循環(huán)加載疲勞段的應(yīng)變隨時間變化的本構(gòu)方程。

(2) 對鹽巖進行了循環(huán)加載試驗，得到了兩個試樣的軸向應(yīng)變隨時間的變化曲線。發(fā)現(xiàn)應(yīng)力水平越高，應(yīng)變值越大；一定時間后，疲勞應(yīng)變隨時間有規(guī)律的變化，應(yīng)變變化周期與循環(huán)加載的周期一致；由于損傷的原因，平均應(yīng)變值隨時間延長而增加，應(yīng)力水平越大，增加值也越大。

(3) 由于循環(huán)加載過程中材料損傷的存在，需要對理論模型進行修正。用時間的冪函數(shù)來表達因損傷引起的應(yīng)變增量，得到了循環(huán)加載段疲勞應(yīng)變隨時間變化的修正本構(gòu)模型。

(4) 用循環(huán)段的擬合參數(shù)模擬勻速加載階段的試驗曲線，兩者基本一致，精度也較高。

(5) 用修正的本構(gòu)模型對循環(huán)加載階段的疲勞應(yīng)變曲線的上限線、下限線和中間線進行擬合分析，得到了相似的擬合參數(shù)。取參數(shù)的平均值，用修正模型對試驗進行模擬，模擬曲線與試驗曲線比較接近，基本可以代替試驗。

(6) 通過試驗和數(shù)學(xué)驗證，Poyhting-Thomson模型來描述循環(huán)載荷作用下鹽巖的疲勞應(yīng)變發(fā)展是可行的，能較好的刻畫應(yīng)變隨時間發(fā)展的規(guī)律。