三穩態Van der Pol系統隨機P分岔電路實驗研究

吳志強， 王文博， 張祥云

(1.天津大學 力學系，天津 300072；2.天津市非線性動力學與混沌控制重點實驗室，天津 300072)

多穩態是指系統中同時存在多個吸引子的情況,屬于非線性系統典型動力學行為。兩個吸引子共存的情況為雙穩態,三個吸引子共存的情況稱之為三穩態。 受適當隨機激勵時,系統響應會在不同吸引子之間來回跳躍,產生所謂的多模態響應,其響應的穩態概率密度函數(Probability Density Function，PDF)曲線會呈現多峰形狀。當參數變化導致峰的數目發生變化時，就發生隨機P分岔現象。

平衡點與極限環共存的多穩態現象，尤其值得重視。一方面，其產生的動力學機制與退化Hopf分岔密切相關，對于廣義Hopf分岔理論的發展具有重要的理論意義；另一方面，這類多穩態現象存在于不少具有重要應用背景的系統中，如穩定極限環和平衡點共存的機翼顫振問題[1-3]、高速列車非線性穩定性問題[4]，深海立管結構渦激振動[5]，因而具有重要的潛在工程價值。

關于平衡點與極限環雙穩態隨機行為的研究，已經有不少成果。顧仁財等[6-8]研究了Duffing-Van der Pol振子在Lévy噪聲、色噪聲、諧和與隨機噪聲聯合激勵下系統響應的穩態概率密度問題，通過分析系統穩態概率密度函數性質的變化，討論了噪聲振子的隨機P分岔現象，并得到了系統雙峰穩態概率密度的近似表達式。其結果表明系統參數和噪聲強度都能夠誘導此類系統隨機分岔的發生。而對于更復雜的三穩態系統的隨機動力學行為的研究，工作還比較少。針對加性白噪聲、乘性白噪聲單獨及聯合激勵下的情況，吳志強等[9-10]應用隨機平均法和奇異性理論，不僅得到了概率密度曲線上峰的數目變化的條件(通常所說的隨機P分岔條件)，還得到了不同峰之間相對高低變化的臨界參數條件，并據此詳細討論了參數對概率密度曲線拓撲結構的影響。對于所得理論結果，文中均用Monte-Carlo方法進行了數值驗證。

有關多穩態系統隨機P分岔的實驗工作，還極少且均依托非線性電路。Zakharova等[11]研究了雙穩態Van der Pol系統在白噪聲激勵下的相干共振和同步現象。Semenov等[12]研究了含時滯反饋對雙穩態Van der Pol系統相干共振的影響。有關響應概率密度的驗證均限于定性的范疇，而對更復雜的三穩態系統的隨機實驗工作還未見報道。

受上述隨機動力學實驗工作啟發，本文依托非線性電路實驗研究加性隨機激勵下三穩態Van der Pol系統的動力學行為。節1介紹所用電路、數學模型及隨機分岔理論結果；節2確定性實驗驗證三穩態行為；節3討論隨機激勵強度變化對系統行為的影響；節4討論實驗結果與理論結果的吻合程度；節5給出本文結論。

1 實驗電路、數學模型及理論結果

本文實驗所用非線性Van der Pol電路如圖1所示。主要元器件有線性電阻、線性電容、運算放大器(LF412CN)、模擬乘法器(AD633JN)，其中運算放大器用于構成電路的加、減、積分運算，模擬乘法器用于構成系統中的非線性項。去掉隨機模塊(R16、Vn)，即為吳志強等[13]提出的確定性三穩態電路。

圖1 噪聲激勵下三穩態VDP電路原理圖

根據基爾霍夫電壓電流定理，可得電路系統方程

(1)

式中:V1為反向積分器A1輸出端電壓信號，Vn為均值為零的高斯白噪聲信號，其強度由單峰值Vpp表示，V5為外加穩壓直流電源產生的電壓信號，單位均為伏特(V)；Ri(i=1,…,16)分別對應電路中電阻，單位為歐姆(Ω)；C1，C2分別對應電路中電容值，單位為法拉(F)，各元器件參數取值見表1。從式(1)中可看出，該系統的參數是由多個電路元件參數組合而成，故不排除存在其他種類的元件組合也可實驗該電路的三穩態行為。本文在選擇元器件參數時主要考慮市場上常見的標稱值元件，其中R7，R9，R14，R15為可變電阻，調節可改變相應的非線性項系數的值。

特別說明，對于圖1中節點B，由基爾霍夫定律可知，電壓V2與V1間存在如下關系

(2)

與Van der Pol方程經典形式比，式(1)引入了更高次非線性阻尼項，這是使式(1)能存在三個穩態的根本原因和必要條件。

表1 電路中元器件參數

引入時間尺度變換τ=ωt，ω2=R3/(R1R2R5C1C2)2，可將式(1)轉化為如下標準形式

(3)

式中：變量x=V1，穩定系數ε=V5，D為噪聲強度，ξ(τ)為單位高斯白噪聲，(ξ(τ)>=0，<ξ(τ)ξ(τ+t1)>=δ(t1)。根據表1中參數換算可知，穩定系數及非線性項系數分別為ε=-0.18，α1=1.93，α2=3.19，α3=1.55，α4=0.22。

利用隨機平均法[14]可方便的推導出系統(3)隨機響應的穩態概率密度函數，進而討論隨機P分岔問題。限于篇幅，此處只做概略陳述，詳細推導參文。

假定系統響應可表示為如下形式

(4)

其中，y(τ)為響應的幅值，φ=τ+θ(τ)表示相位。相應的Ito方程如下

(5)

式中:W1(τ)和W1(τ)是兩個相互獨立的單位Wiener過程;m1,m2為漂移系數;b11,b22為擴散系數。根據其對應的Fokker-Planck-Kolmogorov方程，可求得系統穩態響應幅值的概率密度函數表達式為

(6)

式中：κ為歸一化常數。

圖2給出了不同強度下，PDF曲線的理論結果，可見峰的數目有從一到三的變化，即強度D的變化導致了隨機P分岔的產生。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

2 確定性三穩態行為實驗結果

本文所用實驗裝置及電路實物照片見圖3，主要包括如下部分：噪聲信號發生器、穩壓直流電壓源、示波器、實驗電路板、萬用電表。實驗中通過示波器顯示并采集運算放大器A1、A2輸出電壓V1、V2來獲得系統響應的狀態。電路中元器件產生的噪聲(如電阻熱噪聲)量級特別小[15](一般工作情況下，達到μV級別)，對系統響應的影響可忽略不計。

圖3 實際電路及實驗裝置圖

關閉隨機信號發生器的輸出，即Vn=0。此時電路對應的系統即為確定性電路，圖4給出了不同初始條件下，系統響應穩定后的時間歷程截屏圖像。其中，上部波形顯示為V1的信號；下部波形顯示為V2的信號。

可見系統中存在三個吸引子：零平衡點，幅值分別約為1.2 V、2.2 V的兩個極限環，因此該電路系統可稱為三穩態系統。圖5給出了三個吸引子對應的相圖，相圖中標記*的軌線為數值計算結果，而實線表示實驗結果，二者吻合的較好。說明所設計的電路能較真實反映式(3)對應確定性系統描述的動力學行為，在此基礎上開展隨機動力學行為實驗是可行的。

3 噪聲強度對電路系統動力學行為的影響

(a) 初始條件V1=2.5 V，大極限環

(b) 初始條件V1=1 V，小極限環

(c) 初始條件V1=0.2 V，平衡點

圖5 確定性電路系統的吸引子

在噪聲強度較小時(圖6(a)，Vpp=0.1 V)，系統響應在零平衡點附近做隨機振動，波動幅度很小，相圖呈現較大的點狀，PDF曲線只有一個峰，未發生不同穩態間的切換。

噪聲強度Vpp=0.5 V時(圖6(b))，系統響應短暫出現小極限環附近的振蕩，出現零平衡點和小極限環兩個狀態之間切換，但在平衡點附近出現振動的概率較大。同圖6(a)相比，相圖中原點擴大為圓域，且外側有環帶圍繞，前者點密集、后者點稀疏；PDF圖有兩個峰，分別對應零平衡點和小極限環，且對應小極限環的峰值較低。

噪聲強度Vpp=0.7 V時(圖6(c))，出現零平衡點、小極限環、大極限環三個穩態之間切換。大極限環附近的振蕩維持時間較長，其它兩個穩態附近的振蕩維持時間較短。與圖6(b)相比，相圖中新出現的對應大極限環的環帶；PDF出現三個峰，依峰值從高到低分別對應大極限環、零平衡點、小極限環。

噪聲強度Vpp=0.9 V時(圖6(d))，三穩態間的切換仍存在，且次數明顯增加。相圖中小極限環與平衡點間的邊界不再清晰，PDF曲線上仍有三個峰，對應平衡點和小極限環的的峰較低且較接近。

隨著噪聲強度Vpp進一步增大(圖6(e)～(h))，響應在三穩態間的切換次數明顯變化，實驗數據點在相圖中的分布密度逐漸均衡化，除大極限環輪廓大體保持外，已經看不出平衡點和小極限環的特征，PDF曲線上峰的個數逐漸從三變成一。

表2詳細列出了實驗結果中PDF曲線上峰的個數變化以及峰出現的坐標位置。可知，當噪聲強度由0.1增加到0.5時，PDF曲線上峰的數目由1變為2，發生了隨機P分岔；當噪聲強度由0.5增加到0.7時，PDF曲線上峰的數目由2變為3，發生了隨機P分岔現；當噪聲強度在0.7至1.5之間變化時，PDF曲線上始終為3個峰，未發生隨機P分岔；當噪聲強度由1.5增加到1.9時，PDF曲線上峰的數目由3變為2，發生了隨機P分岔；當噪聲強度在1.9至3.5之間變化時，PDF曲線上保持2個峰，未發生隨機P分岔；當噪聲強度由3.5增加到4.3時，PDF曲線上峰的數目由2變為1，發生了隨機P分岔。

表2不同噪聲強度下PDF曲線上峰的分布

Tab.2DistributionofthepeaksofPDFcurvefordifferentnoiseintensity

Vpp/VPDF曲線上峰的坐標0.1(0.06,16.52)無無0.5(0.10,4.53)(1.15,0.07)無0.7(0.26,0.32)(1.22,0.08)(2.09,2.64)0.9(0.26,0.31)(1.02,0.20)(2.07,1.92)1.5(0.45,0.18)(1.24,0.29)(2.02,1.48)1.9無(1.21,0.37)(2.03,1.20)3.5無(1.31,0.39)(2.06,0.97)4.3無無(2.16,1.19)

當噪聲強度由0.1增加到1.5時，PDF曲線上零平衡點附近峰的高度呈減小趨勢，即系統響應在零平衡點附近振蕩的概率減小；當噪聲強度由0.5增加到3.5時，PDF曲線上小極限環附近的峰高度逐漸增加，即系統響應在小極限環附近振蕩的概率逐漸增加；當噪聲強度由0.7增加到4.3時，系統PDF曲線上大極限環附近的峰高度總體呈減小趨勢，即系統響應在大極限環附近振蕩的概率逐漸減小。

綜合以上分析可見，隨機激勵強度的變化，導致系統中發生了隨機P分岔。另外時間-幅值圖、相圖，都能很好的反應系統在不同穩態間切換快慢和特點，可作為定性研究隨機P分岔的輔助手段。

4 實驗分析及討論

(a) Vpp=0.1

(b) Vpp=0.5

(c) Vpp=0.7

(d) Vpp=0.9

(e) Vpp=1.5

(f) Vpp=1.9

(g) Vpp=3.5

(h) Vpp=4.3

概率密度分布是描述系統隨機行為的重要特征量，通過Monte-Carlo計算求解是主要的方法，但往往需要數目巨大的樣本作為基礎。按照此思路，實驗獲取代價巨大。上述實驗中，基于遍歷系統假設，以穩態響應長時間數據統計作為系統穩態概率密度近似。這種變通做法是否可行，下面通過與隨機平均法得到的不同噪聲強度下系統穩態響應幅值y的概率密度曲線進行比較分析。由于信號發生器廠家未提供單峰值Vpp與理論分析中常用強度D之間定量關系，此處暫先進行定性討論。

以下幾種情況，理論結果與實驗結果定性一致。圖2(a)與圖6(a)相似，只存在一個峰，對應平衡點。圖2(c)與圖6(c)、(d)相似，有三個峰，依峰高度從大到小為序，分別對應大極限環，平衡點，小極限環。圖2(d)與圖6(e)相似，仍有三峰，依序對應大極限環，小極限環，平衡點。圖2(e)與圖6(f)、(g)相似，有雙峰，依序對應大極限環，小極限環。圖2(f)與圖6(h)相似，僅有一個峰，對應大極限環。

需要特別強調，對于在噪聲強度不很小時，理論結果圖2(b)與實驗結果圖6(b)不盡相同。均有兩個峰，且響應出現在平衡點處的概率較高，是二者相似之處；但物理本質明顯不同，理論結果表明存在平衡點與大極限環間的切換；而實驗結果表明存在平衡點和小極限環間的切換。造成這種不一致的原因，還有待更多的實驗和更深入的分析。

上述分析表明，基于單樣本時間歷程估計穩態概率密度有一定可行性，但在小強度噪聲激勵情況下(如圖6(b))如何估計還有待研究。

總之，實驗和理論結果都表明，隨著噪聲強度由低到高的不斷增加，系統響應穩態幅值的PDF曲線的拓撲結構發生變化：單峰(平衡點處)→雙峰(平衡點、大極限環處)→三峰(平衡點，大、小極限環處)→雙峰(大、小極限環處)→單峰(大極限環處)，即噪聲強度的變化導致系統發生隨機P分岔。

5 結 論

為驗證加性高斯白噪聲激勵下三穩態Van der Pol系統隨機P分岔理論結果，本文設計了含有九次非線性項的電路隨機動力學實驗系統，實驗表明：

(1) 系統中存在隨機P分岔現象，噪聲強度變化導致系統穩態響應概率密度曲線上峰的數目發生變化。

(2) 噪聲能夠誘導系統響應在不同穩態之間發生相互切換，且切換頻率與噪聲強度密切相關。

(3) 小強度隨機激勵下，隨機行為是在穩定吸引子附近的振蕩，隨著強度增加，這種特征逐漸消失，隨機響應在相圖上分布均衡化。