慣性導航系統雙軸旋轉方案誤差分析與仿真?

江 賽 佟 林 查 峰 姜宇琛

（1.海軍工程大學學術科研處 武漢 430033）（2.海軍工程大學電氣工程學院 武漢 430033）

1 引言

旋轉方案的設計是旋轉慣導系統研究的重要內容。根據系統IMU的轉動方式和自由度可設計出不同的旋轉方案，旋轉方案直接影響到系統整體結構、控制流程、成本和精度［1～4］。同時，不同旋轉方案對于各誤差源的調制效果也不盡相同。合理有效的旋轉方案應該在保證轉動運動不會引入較大額外誤差積累的前提下，盡可能地抵消各個軸向上的常值誤差，同時兼顧刻度系數誤差和安裝誤差與載體運動的耦合效應。

本文從捷聯慣導系統的基本方程和誤差方程出發，通過分析誤差源在不同坐標系內的傳遞過程和坐標系相互關系，類推旋轉慣導系統的誤差方程。基于此誤差方程，分析IMU周期性旋轉對于系統誤差調制的原理；以坐標系轉換為基礎，探討目前常見的三種雙軸旋轉方案下旋轉坐標系與載體坐標系的關系及數學描述。基于旋轉慣導系統的誤差方差和不同旋轉方案的數學描述，以陀螺組件的誤差為例，從理論上推導其常值漂移、刻度系數誤差、安裝誤差、隨機漂移等誤差源在不同旋轉方案下的傳遞規律、表現形式及對系統的精度的影響。最后，進行各傳統誤差源在不同旋轉方案作用下的系統誤差模型仿真，定量給出各誤差源對于系統精度的影響，驗證系統誤差特性的理論分析。

2 旋轉慣導系統的誤差方程

旋轉慣導系統的基座與載體固聯，系統通過旋轉機構為IMU提供轉動力矩，使IMU繞單軸或者多個相互正交的軸旋轉。旋轉慣導系統的陀螺和加速度計的輸出在旋轉坐標系內測得，其誤差可表示為和。在導航解算時，將測試數據經旋轉分解后轉換到導航坐標系進行解算，其量測量增加了一次坐標變換。根據捷聯慣導系統的誤差方程［6～7］，類推旋轉慣導系統的姿態誤差方程和速度誤差方程為

由式可知，旋轉慣導系統的慣性元件誤差項經過了兩次變換，其中矩陣為旋轉坐標系 p到載體坐標系b的變換陣。同時，在姿態誤差中增加了旋轉系與載體系的量測誤差項。旋轉慣導系統只是改變了慣性器件的測量位置，并不改變系統的解算流程和算法，因此系統的位置誤差仍然會以速度誤差的積分形式進行傳遞，其誤差方程捷聯慣導系統相同。

基于上述誤差方程，以系統IMU繞Z軸連續旋轉為例分析旋轉對于誤差調制的機理。假設IMU繞載體系Z軸以ω角速度連續勻速旋轉，則根據坐標變換關系，在t時刻從p系到b系的變換矩陣為

觀察上兩式可知，測量誤差在東向和北向上分量被調制成周期性變化，這些誤差因后續導航解算的積分作用而抵消。由此可見，通過旋轉IMU進行旋轉，使得慣性器件的輸出誤差在某些軸向上的分量呈現出周期性變化，該誤差項在導航解算過程中因為積分過程而得到抵消和抑制，從而提高系統的導航精度。

3 雙軸旋轉方案的矩陣表示

目前最為常見的雙軸轉停方案借鑒于靜電陀螺轉位方式［8］，采用8位置轉停方案。其旋轉方式如圖1所示，IMU繞Y和Z軸進行雙軸旋轉。設每個位置的停止時間為ts，兩位置之間的轉動時間為tr，整個轉動周期為T。

旋轉方案為以A點位起點，在A點停止ts后，先繞Z軸正轉180°，停止一段時間ts；再繞Y軸反轉180°，停止ts時間；接著繞Z軸反轉180°，停止ts時間；再繞Y軸正轉180°，回到A點后停止ts時間，接著繞Z軸反轉180°到B點，停止一段時間ts；再繞Y軸正轉180°到達C點停止ts時間；接著繞Z軸正轉180°，到達D點停止ts時間；再繞Y軸反轉180°回到A點。

圖1 雙軸旋轉方案

上述轉停過程可以表示為

圖2 雙軸轉停方案一

上述方案中，當IMU第一次到A點時后以相同路徑返回。除此之外IMU可以以另外兩種方式回到A點，即另兩種雙軸轉停方案。具體次序如圖3和圖4所示。

圖3 雙軸轉停方案二

圖4 雙軸轉停方案三

根據旋轉對誤差的調制原理可知，其誤差源從旋轉系到導航系進行了兩次坐標變換，使得系統誤差呈現出周期性的形式。因此，系統從旋轉系到載體系的旋轉坐標變換矩陣，直接決定了旋轉后各誤差源的傳播規律和特性。現針對上述雙軸旋轉方案，推導各旋轉方案下的旋轉變換矩陣表示。

在雙軸旋轉方案中，每個位置之間轉動角度不是小角度，其轉換次序具有不可交換性，因此應以分段形式研究雙軸旋轉方案下的旋轉矩陣表示。設雙軸轉動方案下其旋轉系與載體系的坐標轉換陣為，記在各停止和旋轉階段分別為CTn和CRn(n=1，2，3…8)，根據上述旋轉方案對進行分析。

1）A點的停止階段

設A點為起點，此時旋轉矩陣CT1為

2）A→B點的轉停階段

A→B點的轉動過程為IMU以角速度ω1繞Z軸正向從0°～180°的旋轉階段，在t時刻其坐標變換矩陣CR1為

當IMU從A轉動到B點停止，即上式中ω1t=180°，此時坐標變換矩陣CT2為

依次，可得到從B→C，C→D，D→A階段的坐標變換矩陣，有：

當IMU從D轉動到A點停止時，上式中ω2t=180°，此時坐標變換矩陣CT5為

上述坐標變換矩陣表征了IMU從A→B→C→D→A的轉動過程。當從A點反轉時，過程完全相同，只是其旋轉方向與之相反，因此在此階段中坐標變換矩陣的表達形式與上述過程一致，只是其中ω1和ω2的取值反向。對上述ω1和ω2的取值反向后得到 CR5，CT6，CR6，CT7，CR7，CT8，CR8。

同理，可以確定方案二和方案三各階段的坐標變換矩陣。

4 雙軸旋轉方案的誤差分析

基于上述雙軸旋轉方案的旋轉矩陣表示，本節從理論上推導該旋轉方案對慣性器件的常值漂移、刻度系數誤差、安裝誤差調制特性。推導均以陀螺測試組件的各項誤差源為例，加速度計的誤差分析與之相同。

陀螺測試組件的誤差在旋轉系內在測得，旋轉調制后在系統解算中以形式傳播［9］：

其中：

式中，［δKG］為刻度系數誤差陣，[δG]為安裝誤差陣，ε為陀螺常值漂移，ξ為陀螺隨機漂移。

式（16）表示了陀螺的常值漂移、刻度系數誤差、安裝誤差、隨機漂移經過旋轉后在系統解算中的傳播形式，因此本節分析在上述典型雙軸旋轉方案下個誤差源的調制特性。為便于分析，設在雙軸旋轉方案中繞兩軸旋轉的角速率相同，記ω1=ω2=ω。

4.1 常值漂移特性

設陀螺組件在旋轉系內的常值漂移ε經旋轉調制后在導航解算過程中的傳播的等效漂移為εn，根據坐標變換關系有［11］：

利用坐標變換矩陣對上式進行分段積分，計算其等效漂移在一個旋轉周期內的累積。設載體靜止，即為常矩陣，對上式積分有：

將三種雙軸旋轉方案的 CT1～CT8，CR1～CR8的矩陣形式代入上式得積分值均為零，因此三種雙軸旋轉方案在整周期內的陀螺常值漂移被完全調制。

4.2 刻度系數誤差特性

首先假設載體靜止，分析刻度系數誤差因旋轉引起的誤差傳遞特性［12］。此時，式中=0，=0，為常數矩陣。上式可化為

上式為因地球自轉和IMU旋轉與刻度系數誤差耦合而引入系統的誤差。

1）與地球自轉的耦合誤差

設刻度系數誤差因地球自轉角速率引起的誤差記為Δie，Δie在機體系的投影為，有

將上節的CT1～CT8，CR1～CR8代入上式得：

上式中第一項積分為

上式中第二項積分在三種方案中具有相同的形式，為

根據三角函數的性質，上式可化為

因此，地球角速率與刻度系數誤差耦合從而引入等效陀螺漂移，同時IMU旋轉使各軸向的刻度系數誤差產生了相互耦合。當三軸向上的陀螺刻度系數誤差相等時，由此引起的誤差在三個軸向上的積分均為 8δKG(ts+tr)[ωcxωcyωcz]T，這與捷聯系統的刻度誤差特性無本質區別。因此，在三個軸向刻度系數誤差相當的情況下，旋轉并不能改變地球角速率與刻度系數耦合引起的誤差。

2）與IMU旋轉運動耦合誤差

設刻度系數誤差因載體旋轉引起的誤差記為Δω，記Δbω為IMU旋轉與刻度系數耦合在機體系的等效陀螺漂移。根據式（19）有：

由此可見，三種方案下刻度系數與IMU旋轉運動耦合引起的等效陀螺漂移特性并不相同，這與IMU運動的對稱性有關。從旋轉與刻度系數誤差的耦合效應考慮，方案一和二較為理想。方案三會在Y軸和Z軸引入等效陀螺漂移，該漂移特性取決于刻度系數誤差的對稱性。對于刻度系數對稱性誤差，其符號不隨角速率而改變，在Y軸和Z軸引起等效常值陀螺漂移。對于對稱性刻度系數誤差，由此引起的等效陀螺漂移是不能調制的，而對于非對稱性的刻度系數誤差由于其周期性改變符號而受到調制。

此外，載體運動也會與陀螺刻度系數誤差耦合產生等效漂移，但載體運動的角速率為時變量，其誤差特性較為復雜。

4.3 安裝誤差的調制特性

設安裝誤差引起的等效陀螺漂移［12］為，根據式（15），有：

1）地球自轉角速率影響

安裝誤差因地球自轉角速率引起的誤差記為Γie為

設該誤差在b系內的投影為Γbie，根據上式有：

上式第一項積分在三種方案下均為零。上式的第二項積分在方案一和方案三中為零，在方案二中為

根據三角函數的性質，對上式積分得在方案二中地球角速率與安裝誤差耦合引起的誤差在X軸的分量為0，在Y和Z軸的分量為 8(δGzx-Gxy)ωcz/ω和 8(δGyx-Gxz)ωcy/ω 。

上述分析可知方案一和方案三可以抑制安裝誤差與地球自轉的耦合效應，而方案二中的兩者的耦合會在Y軸和Z軸引起等效常值漂移，且該等效漂移與IMU旋轉角速率成反比。

2）與IMU旋轉運動耦合誤差

設刻度系數誤差因載體旋轉引起的誤差記為Γω，記為IMU旋轉與刻度系數耦合在機體系的等效陀螺漂移。根據式（35）有

同理得式（42）在方案二和方案三下的積分為零。

由此可見，方案一會因IMU的旋轉運動向系統的Y軸和Z軸引入常值陀螺漂移，該常值漂移嚴重制約了系統精度；方案二和方案三對于安裝誤差與IMU的耦合運動調制效果最佳。

此外，載體在運動也會與安裝誤差耦合產生等效陀螺漂移，由于運動角速率為時變量，其耦合關系較為復雜。一般條件下，由于近似為周期形式，通過合理選擇旋轉周期可以有效減小安裝誤差與載體角運動的耦合。

4.4 隨機漂移

設陀螺組件在旋轉系內的隨機漂移為ξp，隨機量經過坐標變換后仍為隨機量，因此旋轉對隨機漂移沒有調制作用［13］。

5 仿真試驗

為了驗證上述分析，進行了三種方案的誤差特性仿真。系統分別采用8位置轉停，每位置轉動時間tr=30s，停止時間tr=10s，仿真時間48h，仿真步長1s。慣導系統的經度誤差能夠反映系統的誤差特點，因此僅給出各仿真的經度誤差曲線。圖5為三個陀螺存在常值漂移為0.001°h時，三種選擇方案的系統經度誤差，由此可見三種方案均能調制其常值漂移。

圖5 常值漂移下三種方案的經度誤差曲線

圖6為三個陀螺僅存在10ppm的刻度系數誤差時，三種選擇方案的系統經度誤差曲線。由此可見方案三中由于刻度系數誤差與IMU選擇運動耦合產生了等效陀螺漂移，嚴重影響了系統精度。

圖6 刻度系數誤差下三種方案的經度誤差曲線

圖7為三個陀螺在各軸向存在2''的安裝誤差時，三種選擇方案的系統經度誤差曲線。由此可見，方案三中安裝誤差與IMU的耦合最小。

圖7 安裝誤差下三種方案的經度誤差曲線

6 結語

通過上述分析可知，三種雙軸旋轉方案的誤差調制特性為

1）三種雙軸轉停方案均能夠調制三個軸向上的陀螺常值漂移，對隨機漂移沒有調制作用。

2）旋轉并未改變陀螺刻度系數誤差與地球自轉角速度的耦合，誤差特性與捷聯慣導并無本質區別；三種方案下刻度系數與IMU旋轉運動耦合引起的等效陀螺漂移特性并不相同，方案一和方案二可以有效調制刻度系數誤差，而方案三會在Y軸和Z軸引起大小為4δKGωtrT的等效陀螺漂移。

3）旋轉能夠改變安裝誤差與角運動的耦合關系。其中方案一和方案三可以有效抑制安裝誤差與地球角速率的耦合效應，而方案二改變了安裝誤差與地球角速率的耦合形式，在Y軸和Z軸引入了大 小 為 8(δGzx-Gxz)ωcz/ω 和 8(δGyx-Gxz)ωcy/ω 的等效陀螺漂移。方案二和方案三中安裝誤差與IMU的旋轉運動的耦合可以得到調制，不影響系統精度。

上述分析可知，三種轉停方案的調制特性不同，但均未能對誤差進行完全調制，因此可以通過對旋轉方案進行合理優化，減小旋轉與誤差源的耦合效應。