基于排隊(duì)論的防空系統(tǒng)射擊效率模型研究?

宋 劍

（海軍陸戰(zhàn)隊(duì)訓(xùn)練基地 廣州 510430）

1 引言

空中威脅復(fù)雜多變，手段呈多樣化、綜合化、一體化和系統(tǒng)化。當(dāng)有空中目標(biāo)來襲時(shí)，如何分配防空武器是極為關(guān)鍵。是使用一種武器組成多道防線防空系統(tǒng)，還是同時(shí)使用多種武器同時(shí)組成多防線防空系統(tǒng)？這些都需要指揮員進(jìn)行決策，要決策出來哪種防空效果更好。研究地面防空系統(tǒng)作戰(zhàn)效能、地面防空作戰(zhàn)部署方案優(yōu)化和地面防空作戰(zhàn)資源需求等問題時(shí)，如何決策都必然涉及地面防空系統(tǒng)射擊效率問題，排隊(duì)理論是人們通常選擇的用于計(jì)算射擊概率的方法，它的射擊過程類似于排隊(duì)論的服務(wù)系統(tǒng)與顧客的關(guān)系，防空效能也可以應(yīng)用排隊(duì)論進(jìn)行計(jì)算［1～2］。

防空過程中，防空系統(tǒng)就是“服務(wù)機(jī)構(gòu)”，來襲的空中目標(biāo)是“顧客”，當(dāng)來襲目標(biāo)超過超出服務(wù)能力后，顧客來襲目標(biāo)肯定不會(huì)等待，就叫做放棄服務(wù)，因此就突破防御攻擊成功了。因此，應(yīng)用排隊(duì)論的方法，建立了M/M/C/C排隊(duì)模型，為解決單層防空系統(tǒng)、同類或不同類武器組成的多道防線防空系統(tǒng)效能的計(jì)算問題提供了一個(gè)有效的途徑，進(jìn)而決策出哪種設(shè)計(jì)方案效能最高［3～4］。

2 防空系統(tǒng)射擊效率模型指標(biāo)

2.1 目標(biāo)流

現(xiàn)代空襲兵器的速度越來越快，來襲目標(biāo)一般具有排隊(duì)論所謂的顧客流的性質(zhì)，稱為目標(biāo)流。來襲目標(biāo)流具有不同程度的泊松特性，我們建立數(shù)學(xué)模型時(shí)把目標(biāo)流處理成最簡(jiǎn)單流。但這種假設(shè)對(duì)于實(shí)際只能是一種近似，服從分布的參數(shù)記為λ，其物理意義為單位時(shí)間來到的目標(biāo)的平均數(shù)，它表明了目標(biāo)流的強(qiáng)度［5～6］。

2.2 服務(wù)

來襲目標(biāo)受到偵測(cè)；其信息為情報(bào)中心錄取和處理；目標(biāo)受到一次攻擊。

2.3 服務(wù)臺(tái)

偵察、測(cè)量系統(tǒng)，指揮系統(tǒng)的信息處理中心，一門高炮（或高炮連）或?qū)棸l(fā)射架。

2.4 服務(wù)時(shí)間

理論上、實(shí)踐上一般都把射擊時(shí)間看作服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量，有時(shí)采用k級(jí)愛爾朗分布的假設(shè)。在服務(wù)時(shí)間為指數(shù)分布的假設(shè)下，參數(shù)μ是單位時(shí)間所射擊的目標(biāo)的平均數(shù)，1/μ是射擊一個(gè)目標(biāo)平均所需時(shí)間。

2.5 排隊(duì)規(guī)則

防空系統(tǒng)一般是損失制排隊(duì)系統(tǒng)。當(dāng)防御武器不足以應(yīng)付所有來襲目標(biāo)時(shí)，多出來的來襲目標(biāo)就會(huì)飛過這種武器的防御區(qū)，這就是所謂的“顧客離去”。

一般情況下，射擊武器（服務(wù)臺(tái)）都采取“先來先服務(wù)”的規(guī)則。但在多目標(biāo)情況下，防空系統(tǒng)選擇對(duì)我威脅最大的目標(biāo)優(yōu)先射擊（實(shí)行優(yōu)先權(quán)服務(wù)）。

2.6 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性

從數(shù)學(xué)上看，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)要經(jīng)過無窮大的時(shí)間才發(fā)生，但實(shí)際系統(tǒng)只要求時(shí)間足夠長(zhǎng)久可認(rèn)為是穩(wěn)定的。有研究表明，在防空系統(tǒng)中，如果空襲時(shí)間超過一部武器對(duì)目標(biāo)的作戰(zhàn)時(shí)間的2～3倍，就穩(wěn)定了。也就是說射擊過程的非平穩(wěn)性實(shí)際上對(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)特性已影響甚微，可以應(yīng)用所獲得的各個(gè)穩(wěn)態(tài)公式［7］。

2.7 火力配置與防空系統(tǒng)的效能［8～9］

體現(xiàn)射擊效果，主要數(shù)量指標(biāo)有：

防空系統(tǒng)能夠擊落空中目標(biāo)數(shù)的數(shù)學(xué)期望或?qū)硪u目標(biāo)的毀傷概率；

能夠突破防空系統(tǒng)的目標(biāo)數(shù)的數(shù)學(xué)期望值或來襲目標(biāo)的突防概率；

從提高防空效率的可能性出發(fā)，對(duì)防空武器的主要戰(zhàn)術(shù)技術(shù)性能作出評(píng)價(jià)；

根據(jù)要達(dá)到的防空效率，在給定防空武器的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)性能的條件下，確定防空系統(tǒng)的組成與配置。

各個(gè)數(shù)量指標(biāo)都可以直接或間接地用來改進(jìn)射擊的效果。在對(duì)目標(biāo)射擊的計(jì)算中，不考慮目標(biāo)的還記。這絕不僅僅是為了數(shù)學(xué)處理的方便，而主要是由從現(xiàn)代防空作戰(zhàn)的特點(diǎn)出發(fā)，按不給敵人還擊時(shí)間的要求，以目標(biāo)進(jìn)行火力對(duì)抗之前開始射擊的戰(zhàn)術(shù)原則為前提進(jìn)行火力系統(tǒng)的效能估計(jì)，故可以不考慮目標(biāo)的還擊。

3 單層防空系統(tǒng)的模型

假設(shè)空襲目標(biāo)流可看作最簡(jiǎn)單流，強(qiáng)度為λ；記來襲目標(biāo)總數(shù)為N。守方為單層防線的防空火力系統(tǒng)，共有C部同類型防空武器。各武器的射擊時(shí)間服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布；每一架飛機(jī)（或每一枚導(dǎo)彈）只受一座防空武器射擊，被擊毀概率為P；如果目標(biāo)飛臨時(shí)因C部防空武器都無暇射擊或雖該目標(biāo)遭受射擊但未被擊毀，則該目標(biāo)突防［10］。

使用愛爾朗公式可算：

狀態(tài)分為三類：

1）所有武器都不射擊，概率為：

2）C座武器中有n座射擊，n=1，2，…，C-1 ，概率為：

3）所有武器都正在射擊，概率為：

此外，目標(biāo)受到射擊的概率Ps，即防空武器有“空閑”的概率

目標(biāo)被擊毀的概率為：PH=Ps?P=(1-Pc)P。

目標(biāo)突防概率為：Pt=1-PH=1-(1-Pc)P。

被擊毀目標(biāo)的數(shù)學(xué)期望為：MH=N ?PH=N ?(1-Pc)P 。

突防目標(biāo)的數(shù)學(xué)期望為：Mt=N ?Pt=N ?[1-(1-Pc)]P 。

正在射擊的武器數(shù)的數(shù)學(xué)期望為：

4 由同類武器組成的多道防線防空系統(tǒng)

假設(shè)由同類武器組成α道防線，每道防線上配置 C1，C2，...，Cn個(gè)火力單位。

在第一道防線上得不到射擊而突防的概率為

當(dāng)?shù)谝坏馈⒌诙婪谰€上的所有火力單位都在射擊時(shí)，后到的敵機(jī)才得不到射擊而突破防線。因此，敵機(jī)突破第二道防線的概率為

以此類推，敵機(jī)得不到射擊而突破α道防線的概率為

5 由不同類武器組成的多道防線防空系統(tǒng)［11～12］

1）目標(biāo)流為泊松流/強(qiáng)度為λ；

2）來襲敵機(jī)通過各防線只受到一類武器的射擊。目標(biāo)在各防線停留時(shí)間較短，以致不能保證各防線完全可靠地毀殲?zāi)繕?biāo)；

3）設(shè)各道防線上的武器對(duì)目標(biāo)射擊時(shí)間都是隨機(jī)變量，它們分別為 μ1，μ2，...參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布。

任意時(shí)刻，該防空系統(tǒng)在抗擊目標(biāo)流時(shí)的可能狀態(tài)為：

S00第一、第二道防線都不射擊；

S10第一道防線正在射擊，第二道防線不射擊；

S01第一道防線不射擊，第二道防線正在射擊；

S11第一、第二道防線都在射擊。

則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率的代數(shù)方程組如下：

得到下列穩(wěn)態(tài)解：

1）兩道防線上武器都不射擊的概率：

2）第一系統(tǒng)忙，第二系統(tǒng)空閑的概率：

3）第二系統(tǒng)忙，第一系統(tǒng)空閑的概率：

4）敵機(jī)突破防空系統(tǒng)的概率：

6 結(jié)語

排隊(duì)論是一種仿真方法，具有層次精確細(xì)致的特點(diǎn)。將排隊(duì)論恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用于“抗擊層”結(jié)構(gòu)模型，仿真得出分層抗擊的射擊效率。目標(biāo)的行動(dòng)樣式很多種，對(duì)于每一種目標(biāo)行動(dòng)的可能樣式進(jìn)行計(jì)算后，對(duì)比得出哪種射擊方法（單層防空系統(tǒng)、由同類武器組成的多道防線防空、由不同類武器組成的多防線防空）效率最優(yōu)，該方法克服了單純用概率進(jìn)行計(jì)算對(duì)來襲目標(biāo)相互獨(dú)立的限制，構(gòu)成全程抗擊防御系統(tǒng)，符合動(dòng)態(tài)作戰(zhàn)的實(shí)際。