無窮大概念案例教學的微課教學設計

陳小蕾 鄭立飛

【摘要】研究無窮大概念案例教學的微課教學設計，基于微課的教學特點，結(jié)合教學案例，通過電子教學手段的演示，實例應用講解，多角度多環(huán)節(jié)激發(fā)學生學習興趣，引導學生自主學習，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】無窮大 微課 案例 教學設計

【中圖分類號】O171 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）02-0023-01

微課作為現(xiàn)代信息技術(shù)與傳統(tǒng)教學相融合的教學方式在教學過程中已被廣泛應用。與傳統(tǒng)的講授式課堂比較，微課具有主題突出、針對性強、精致緊湊、資源豐富、短小精煉等優(yōu)勢。將微課融入高等數(shù)學課程學習和教學中，能有效的利用學生的空余時間，更加生動形象的對知識點進行多角度的剖析和講解，從而提升課程的整體教學效果。案例教學是對某些抽象的具體概念，用更為直觀簡單的方式，從而讓學生能夠深入淺出的了解和建立正確的理論概念。現(xiàn)在很多定義都是以案例教學進行引入，并結(jié)合現(xiàn)代信息教學手段，有利于提高學生的學習興趣，并富于思考和啟發(fā)，能更好的引導學生自主學習，提高學習的積極性、主動性和探索性[1]。

以案例教學[2]引入，整個教學過程包括：實例引入→概念講解→應用舉例→應用拓展→小結(jié)思考五個環(huán)節(jié)，教學時常約12分鐘。

一、以問引入 實例解答

1.問題：什么是無窮大？如何正確理解無窮大定義？

2.引例：希爾伯特無窮旅館-希爾伯特旅館與別的旅館不同的地方是：它的房間數(shù)目是無限多（即無窮多房間）。其他的旅館如果客滿了，那就再也不能接受新客人了。可房間數(shù)目無限多的旅館不一樣，“客滿”不等于“不能接受新客人”！希爾伯特無窮旅館對多一個新客人，經(jīng)理將原來1號房間的客人移到2號房間，2號房間的客人移到3號房間，……，第n號房間的客人移到第n+1號房間去。這樣移動的結(jié)果將會空出第1號房間，這樣便能住下新來的客人了。

提問：如果再來無限多個客人，希爾伯特無窮旅館是否也可以接待？

設計意圖 通過PPT動畫演示以及現(xiàn)實住宿經(jīng)歷，使學生直觀理解 “無窮大”本質(zhì)，讓課堂生動活潑，吸引學生注意力，激發(fā)學生探討和解決問題的積極性，并能將抽象和形象的具體定義進行區(qū)分和聯(lián)系。

二、概念學習 給出本質(zhì)

1.無窮大的定義

語言描述性定義：亦稱“無限大”。一個變量在變化過程中其絕對值永遠大于任意給定正數(shù)，一般用符號∞來表示。

2.從數(shù)列到函數(shù)

顯然，希爾伯特無窮旅館描述的是數(shù)列為無窮大的一個過程，能直觀反映出，無窮大是一個極限為無窮的變量，而非一個具體的值，與現(xiàn)實中很大的數(shù)必須加以區(qū)分，才能正確建立無窮大的正確概念。

借助數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系，以具體數(shù)列為例進行直觀引入，后將數(shù)列換成為函數(shù)，最終給出函數(shù)結(jié)構(gòu)下的無窮大的精確定義。

數(shù)學精確定義[3]：設函數(shù)f（x）在x0的某一個去心鄰域內(nèi)有定義（或|x|大于某一正數(shù)時有定義）。如果對于任意給定的正數(shù)M（不論它多大），總存在正數(shù)δ（或正數(shù)X），只要適合不等式0<|x-x0|<δ（或|x|>M），對應的函數(shù)值f（x）總滿足不等式|f（x）|>M，則稱函數(shù)f（x）為當x→x0（或→∞）時的無窮大。

設計意圖 在討論無窮大概念時，利用數(shù)列和函數(shù)之間的相互關(guān)系進行逐層引入，結(jié)合常數(shù)運算法則，將無窮大與常數(shù)進行直觀區(qū)別，由形象到抽象，符合學生的認知過程，能較好的對抽象定義進行分析和理解。

三、應用舉例 鞏固概念

例1 已知數(shù)列{xn}，且xn=n，證明。

例2 證明。

強調(diào)無窮大是極限為無窮的變量，在敘述時必須有自變量的變化過程，不可直接說數(shù)列或函數(shù)為無窮大。例1的結(jié)論就給出希爾伯特旅館的特殊性。

設計意圖 作為概念的應用，選擇簡單又具有代表性的兩個例子，包含數(shù)列和函數(shù)兩類結(jié)構(gòu)，利用板書給出完整證明過程，培養(yǎng)學生規(guī)范書寫的能力。

四、應用拓展 豐富教學

1.在電學中，有許多和無窮大相關(guān)的定義。利用萬用表測電阻斷路時萬用表會顯示1.（借助于PPT演示具體的實際圖例），表示電阻無窮大，電路斷路或者超量程。

2.科赫雪花曲線

任意畫一個正三角形，并把每一邊三等分；取三等分后的一邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉；重復上述兩步，畫出更小的三角形。一直重復，直到無窮，所畫出的曲線叫做科赫曲線。曲線任何處不可導，即任何地點都是不平滑的，總長度趨向無窮大，曲線上任意兩點沿邊界路程無窮大。

設計意圖 通過具體的應用舉例和經(jīng)典的數(shù)學案例-科赫雪花曲線的周長討論，讓理論與具體實踐相結(jié)合，一方面展現(xiàn)了數(shù)學的趣味性，一方面讓學生了解大學數(shù)學的實際應用價值，拓展學生的數(shù)學視野，提高數(shù)學素養(yǎng)，豐富數(shù)學文化的學習。

五、小結(jié)思考 深化學習

1.小結(jié)課程的主要內(nèi)容和知識點。

2.預留思考：未給出自變量變化方式的函數(shù)是正確的描述方式嗎？例如：是無窮大，對嗎？如果不對，請給出對的敘述方式。

3.復習無窮小和無窮大的定義，預習其相關(guān)運算。

設計意圖 小結(jié)本次微課的主要內(nèi)容，強調(diào)學生對于無窮大概念的理解和在應用中的注意事項。告知課程結(jié)束之后復習和預習的相關(guān)內(nèi)容，有助于建立完善的知識體系。思考題的作用是對內(nèi)容的復習和延續(xù)，鼓勵學生進行自主思考和學習。

本次案例教學的微課設計從實例出發(fā)，引出問題，分析問題，圍繞問題展開具體討論，給出抽象的數(shù)學概念，深入了解問題本質(zhì)，并結(jié)合實際問題，幫助學生鞏固知識，豐富課堂教學形式。同時結(jié)合傳統(tǒng)的課堂講授模式，以教師為主，引導學生從淺到深，從形象到抽象，從實際到理論遞進式學習。本文研究的僅是在大學數(shù)學中最為基礎(chǔ)的一個知識點，希望能夠通過此類案例的微課教學，有選擇性、針對性的將微課等在線課程手段結(jié)合案例教學與傳統(tǒng)教學模式，更好的提高大學數(shù)學的教學質(zhì)量和學習效果。

參考文獻：

[1]馮穎.常數(shù)項級數(shù)概念的微課教學設計[J].高等數(shù)學研究.2017，20（3）：17-19.

[2]熊傳霞.淺析案例教學法在數(shù)學課堂中的運用[J].科技教育.2015（24）：140.

[3]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.