立足“素養立意” 靈動“問題解決”
——數量關系運用中提高學生解決問題能力的實踐研究

浙江杭州市蕭山區靖江第一小學（311221） 徐華鋒

學生數學能力“缺失”的重要原因是缺乏思維的方法，缺乏解決問題的策略。教學中，教師要采取有效策略，對學生進行邏輯思維訓練，引導學生從問題本身的內在邏輯關系（數量關系）入手，厘清解題的思路，激發學生數學思維的原點，從而有效培養學生解決問題的能力。那么，如何做到“春種一粒粟，秋收萬顆子”呢？

【策略一】“借東風”——借助情境，強化體驗

1.從情境中體驗數量關系

與問題解決有關的題目一般都是由情境和數量關系兩方面組成的，其中數量關系是問題求解的關鍵，情境是指條件和問題的表達方式，是影響學生理解數量關系的重要因素。問題的解決，在于透過情境把握數量關系，進而確定算法。問題解決的教學，要使學生經歷掌握數量關系的過程，經歷對較復雜的數量關系進行分析綜合、抽象概括和判斷推理的過程。

如三年級上冊的“解決問題”：小明的媽媽在統計自己的手機流量，她發現上周用了386兆流量，這周用的流量是上周的2倍。小明的媽媽兩周一共用了多少兆流量？

教師可引導學生按下列步驟解決問題：

（1）分析數量關系：上周用的流量+這周用的流量=兩周一共用的流量，列出算式：386+386×2=386+772=1158（兆）。

（2）如果把上周用的流量看作1份，那么這周用的流量則是 2 份，列式：386×（1+2）=386×3=1158（兆）。

（3）想一想：我們是怎樣解決問題的？（使學生在這樣的情境中感悟上周用的流量、這周用的流量與兩周一共用的流量三者之間的關系）

實際教學顯示，在良好的教學情境下，學生解決問題時不是把問題和類型相聯系，而是將情境中的問題與運算相聯系。因此，教師不必在語言上做太多的強化，而是應該為學生提供真實又熟悉的情境，讓學生在情境中自主探索和體驗問題里的數量關系。

2.從體驗中概括數量關系

生活和工作中隨處都有數量關系，人們常常利用數量關系去認識事物、分析事物，用數量關系去解決問題。因此，數量關系的概括是學生學習數學的必備技能。教師要有目的地進行教學，讓學生了解常見的數量關系式，如“單價×數量=總價”“速度×時間=路程”等，學生對這些數量關系比較熟悉，在充分體驗和感悟的基礎上能夠自主概括出來，從而留下深刻印象。

例如，教學“單價、數量、總價”時，我先用課件出示一個花店的情境圖，然后引導學生依次解決以下問題：

（1）自己提出問題并嘗試解決，在解決問題的過程中感悟單價、數量和總價的含義。（如：小紅買3枝菊花，需要多少元錢？再買1枝百合花，一共需要多少元錢？）

（2）簡要概括單價、數量、總價之間的關系。

（3）請設計一個配花方案，用于布置國慶聯歡會會場，價格不超過80元。你會怎樣配？

通過實際體驗，學生不但理解了單價、數量和總價的含義，而且感受到了運用“單價×數量=總價”這個數量關系式的重要性。

【策略二】“聯縱橫”——數形結合，有機聯合

數形結合是通過數與形的相互轉化、相互對應關系來解決數學問題的一種數學思想方法。數形結合，可將抽象的數學與直觀的圖形相結合，或從直觀的圖形中概括抽象的數學。著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”在教學數量關系時，可以借助圖形的性質，將數與形結合起來，使抽象的概念和關系直觀化、形象化，幫助學生有效分析數量關系，提高問題解決的正確率。

1．從“形”到“數”，逐步建立數學模型

由于年齡和心理發展的特點，學生的數學思維需經歷從形象直觀逐步走向抽象的過程，因此教師在教學中要引導學生從直觀的圖形演示和對比中尋找數學知識內在的聯系，從而構建問題解決的基本模型。

如教學“一個數是另一個數的幾倍”的應用題時，我校一位教師是這樣設計的：

師（談話引入）：六一兒童節快到了，老師想和小朋友一起裝扮我們的教室。你們看老師準備了什么？

師：誰能說一說這兩種花之間的關系？

生1（預設）：相差關系。紅花比藍花多4朵，藍花比紅花少4朵。

生2（預設）：相加關系。紅花和藍花一共有12朵。

生3（預設）：倍數關系。紅花的數量是藍花的2倍。

師：為什么說紅花的數量是藍花的2倍呢？這節課我們一起來學習倍數的有關知識。

生4（預設）：藍花有4朵，紅花有2個4朵，8÷4=2。

生5（預設）：把藍花的數量看成1份，紅花的數量則為 2 份，8÷4=2。

師（變一變）：藍花數量不變，紅花變成12朵，這時紅花的數量是藍花的幾倍？

師：生活中還有哪些現象也存在倍數關系？

生6（預設）：我得了9顆智慧星，王玲得了3顆，我得的智慧星數量是王玲得的3倍。

生7（預設）：我今年8歲，媽媽32歲，媽媽的年齡是我的4倍。

師：剛才大家列舉了生活中一些類似紅花和藍花倍數關系的現象，現在我們再看大屏幕。

師：把花朵放到長方形里，我們很容易看出紅花的數量是藍花的2倍。想一想，除了紅花和藍花，把什么放到這些長方形里，也能形成倍數關系？

生8（預設）：第一行的兩個長方形里可以各放4個蘋果，第二行的長方形里放4個梨。

師：蘋果的個數是梨的幾倍？列出算式。（8÷4=2）

師：物品的種類和數量還可以怎樣變呢？

生9（預設）：在第一行的每個長方形里放6元錢，一共12元，在第二行的長方形里放6元錢。

師：第一行的錢是第二行的幾倍？（12÷6=2）

師：剛才不管大家怎么改變數量或物品的種類，算出的倍數都是2，這是怎么回事？（都是把第二行看成一份，第一行有這樣的2份，所以它們總是存在2倍的關系）

師：第二行的藍花數量不變，第一行變成這樣的4份（如下圖）?，F在紅花的數量是藍花的幾倍？列出算式。（16÷4=4）

師：第一行還可以怎樣變？（長方形的數量可以變，每個長方形里的花朵的數量也可以變）

師（小結）：我們剛才研究的都是兩個數之間的數量關系，而且都是把其中一個數看成1份，另一個數有這樣的幾份，就是幾倍，即找到比較的兩個數→明確把哪個數看成1份→看另一個數中含有這樣的幾份，可以用除法來計算（求出倍數）。

該教學設計層層深入，能引導學生在圖形的變化與比較中深刻理解倍數關系，從而有效構建“一個數是另一個數的幾倍”的思維原型，即“一個數÷另一個數”。

2．從“數”到“形”，有效激發學生思維

研究表明，低年級學生主要是憑借事物的具體形象來進行直觀思維活動的，而在解決問題時所明確的數量關系通常需要通過抽象思維來理解。這是解決問題教學中的一個突出矛盾，若能把抽象的數量關系用恰當的、形象的圖形表示出來，就可以解決這一矛盾，同時激發學生的數學思維。

如，題目：一桶油，連桶共重20千克，吃掉一半油后，剩下的油連桶重11千克。吃掉了多少千克油？原來一桶油重多少千克？

從條件來分析：桶和油之間到底存在什么樣的數量關系？吃掉一半油后，桶和油之間又是一種什么樣的數量關系？低年級學生大都感覺此類數量關系抽象，但在我改用圖形（如下圖）表示它們之間的數量關系后，學生馬上就明白了桶和油之間的關系，然后巧妙地解決了這個問題。

可以發現，在解決問題的教學中充分滲透數形結合的思想，把抽象的數量關系用恰當的圖形直觀地表示出來，有助于提高學生思考問題和解決問題的能力，事半功倍。

又如，題目：醫院包扎用的三角巾是底和高都為9分米的等腰直角三角形。現在有一塊長75分米、寬18分米的白布，最多可以做這樣的三角巾多少塊？

學生往往會根據經驗“總面積÷一塊的面積”，列出算式 75×18÷（9×9÷2），但這并不符合實際情況。為了讓學生進一步理解“密鋪”問題的解題思路，我引導學生通過畫圖進行模擬操作：

由圖可知，可以將這塊白布沿寬平均分成兩份，每份可以做16塊三角巾，因此這塊白布一共能做這樣的三角巾16×2=32（塊）。如此，學生很容易就理解和掌握了“密鋪”的數學思想方法。

數形結合的方法能夠很好地促進學生聯系生活實際，靈活解決數學問題，同時能有效地防止學生生搬硬套，開闊學生的解題思路，從而提高學生解決問題的能力。教師要有效利用數形結合的方法，不失時機地為學生提供恰當的材料，引導學生將抽象的數量關系具體化，把抽象的解題思路形象化。這樣不僅有利于學生順利、高效地學好數學知識，還有助于學生學習興趣的培養、學習能力的增強，最為關鍵的是能夠幫助學生有效構建基本的數學思維模型。

【策略三】“慎讀之”——有效讀題，正確解答

解決問題能力的培養中，除了“情境體驗”和“數形結合”這兩種有效的訓練方式以外，有效讀題，正確理解題意，也是提高學生問題解決能力的一種有效方法。

1．據題目情境，尋找對應模型

例如，對于題目“一輛汽車從甲地開往乙地，開了2.5小時，已知該車每小時行駛52千米，甲、乙兩地相距多少千米？”，我這樣引導：

（1）想一想，這是關于什么問題的應用題？（行程問題）

（2）行程問題有什么數量關系？（速度×時間=路程）

（3）題目要求的是哪個量？（路程）要求這個量，需要知道哪些條件？（速度、時間）

（4）嘗試根據找到的相關“量”的數據，列式解答。

2．從關鍵字詞入手，建立等量關系

應用題中往往隱含著一定的數量關系，而一些關鍵字詞，如是、等于、相當于之類的字詞，則有助于學生正確把握題目中的數量關系。因而在教學中，教師應該積極引導學生將這些關鍵字詞用數學特有的形式（數量關系式）表示出來。

例如，對于題目“小軍爸爸今年36歲，是小軍年齡的2倍，小軍今年幾歲？”，我這樣引導：

（1）找出題目中表明兩者關系的字詞。（是）

（2）聯系前后，找出小軍爸爸的年齡和小軍的年齡的關系。

（3）列式解答。

3．順應邏輯順序，找準數量間的關系

學生在讀題時，準確捕捉數量間的關系是問題解決的關鍵。教師要引導學生在讀題時從中提煉出已知條件和所求問題，厘清各個量之間的關系，然后用式子表示出來。

如，解答“第一車重1650千克，比第二車重1/10，第三車比第二車輕1/12，第三車重多少千克？”這個問題時，要求學生邊讀題邊順著題意思考，讀完之后，再捋一捋解題思路：要求“第三車”，得先求出“第二車”；分析前兩個已知條件，發現單位“1”未知，需要用除法解決。一來二去，反復推敲，數量關系就會慢慢浮現出來了。

在數學問題的解決中，數量關系是激發學生思維的基點，只有把“數量關系”厘清，才能有效培養學生問題解決的能力。在數學課堂教學中，教師要正確解讀教材，揚長避短、博采眾長，滲透數學思想，既要避免一味地對過去全盤否定，又要避免“穿新鞋走老路”，只有強化學生的數量意識，有效構建數學模型，才能真正促進學生解決問題能力的提高，也才能促進學生達到“稻花香里說豐年，聽取蛙聲一片”的境界。