讓數學探究在慢節奏中取得實效
——以蘇教版教材五年級上冊“三角形面積的計算”的教學為例

江蘇淮安市實驗小學新城校區（223001） 張 超

“三角形面積的計算”是蘇教版教材五年級上冊的內容，這部分內容的學習難點是理解“除以2”的意義。推導三角形面積計算公式需要很強的探究性，但學生的最近發展區嚴重制約著探究效率，使得很多探究活動流于形式，只見動靜大，未見真效果。有時探究剛剛有“眉目”，便因時間有限而被緊急叫停。那么，如何才能讓探究真正落到實處呢？現筆者以“三角形面積的計算”的教學為例進行論述。

一、分解步驟，扎牢探究基礎

要想引領學生，首要的是找準學生的學習起點。通過前測發現，大多數學生習慣用直角三角形進行研究，通常先畫出直角三角形，然后割補成長方形，再得出三角形的面積；少數學生選擇用等腰三角形進行研究，沿著等腰三角形的底邊中線裁剪，然后拼貼成長方形，從而間接求出三角形的面積。前測中，學生自動摒棄用任意三角形為模型的想法，道理很簡單，直角三角形和等腰三角形更容易轉化成長方形。

要實現真正的“數學探究”，應該創設足夠的思考、嘗試、推理、表達的空間，放手讓學生探索如何推導三角形面積公式，讓學生在具體實踐中自主發現，體驗到自主發現、自主解決問題的成就感。

依據前測，筆者決定放緩節奏，循序漸進，將探究過程延展成以下三個層次。

第一層次，探究直角三角形的面積求法。

學生自主探究出兩種方法（見圖1）。

圖1

受直角三角形特殊性的影響以及自身經驗的限制，在第一層次探究中，學生并未采用教材提供的“平行四邊形拼合法”，基本上都是用圖1的兩種方法。方法一：將兩個直角三角形拼合成一個長方形，求其面積的一半。方法二：將直角三角形沿某條直角邊的中位線剪切，然后拼貼成一個長方形，拼貼后的長方形與原三角形面積相等，長方形與三角形同底，高則是其一半，于是得到三角形的面積=底×（高÷2）。

看著自己的探究成果，學生變得自信起來。

第二層次，探究等腰三角形的面積求法。

學生創造出四種方法（見圖2）。

圖2

以直角三角形的探究為基礎，學生的思路徹底打開了，實現了“真探究”“真交流”。結合等腰三角形的特性，學生共創造出四種方法。整體思路是將原圖形進行等面積的割補變換，“方法四”中的整體旋轉復制法，雖然只有兩位學生想到，但這已經是自主探究的飛躍。

第三層次，探究任意三角形的面積求法。

學生共創造出三種方法（見圖3）。

圖3

在展示匯報后，學生的思維軌跡暴露無遺，教師就可以順著學生的思路進行引導，將最大的發揮空間留給學生，使學生經歷多元化思維。探究任意三角形面積求法確實比探究直角三角形面積難度大，但是轉化思想是一個漸進的過程，學生通過前兩次特殊三角形的轉化實踐，對于任意三角形的轉化也能慢慢熟練起來。

二、真實互動，滲透數學思想方法

“為什么用任意三角形為素材可以研究出三種方法？而用等腰三角形研究還多出一種方法？”學生在對比質疑中發現，對于前一個問題，以任意三角形為素材研究出的三種面積求法中，圖3的“方法一”和“方法二”屬于一類，都是將三角形擴充至2倍大小的四邊形（“方法一”轉化是為平行四邊形，“方法二”是轉化為長方形）后再還原成原來的面積大小，所以要除以2，是先求面積再除以2，而“方法三”則是將三角形轉化成等面積的長方形，除以2的理由是三角形的高在中點處被切斷，是先除以2后再求面積。對于后一個問題，等腰三角形比任意三角形多出一個“方法二”（如圖2）——將等腰三角形沿著底邊中線（高線）切割，分成兩個全等的直角三角形，然后演變成直角三角形中的“方法一”。當學生用一幅幅生動的圖畫解析問題時，一部分學生深受啟發，在驚嘆“我怎么沒想到”之余，感知到特殊三角形和一般三角形之間的異同，從而歸納出一般性結論，總結出三角形面積的計算公式：S=a×h÷2 或 S=a×（h÷2）。可見，推導三角形面積的計算公式時，要著眼長遠，開放式地整體構架，以“自主探究”貫穿全程，在“三探三思”中，以探究為橫線，以交流為總線，做理性探索。因為教師沒有過多的干涉和要求，所以學生的轉化方法百花齊放；因為教師沒有過分的干預和掣肘，所以學生在探究活動中更深入，更收放自如，經歷了“形變”到“質變”的思維過程，體驗了公式的來歷和原理，學會了從特殊到一般進行合情推理，能夠用不完全歸納法得出三角形面積的計算公式，感悟到轉化、歸納、抽象等數學思想。

三、放慢節奏，讓探究變得真實

在教學三天后，再次安排測試。測試題如下。

正是由于體驗維度擴展了，積淀變得更有層次感。測試結果顯示，在公式中遺漏“除以2”的學生只有一個。這樣，推導三角形面積的計算公式，從調查到測試，每個步驟都分散穿插于各教學課時的正常教程之中，潛移默化地完成了“三角形面積計算公式”的探究活動，耗時5天。

三個層次的探究，學生的體驗是深刻、豐富、積極的，探究成果是豐碩的，上臺交流是熱情洋溢的，這種成功的體驗是終身銘記的。其實，對于教材中的教學內容，機械重復練習實在沒有必要，而探究活動卻值得我們花費大量心血去設計規劃。作為教師，應該為探究性強的內容規劃一條較長的教學路線，拉長戰線，與其一課時教完三角形面積內容，再花費大量時間去做鞏固練習，一點點地試錯、糾錯慢慢積累，倒不如放慢步子，循序漸進，分步推進，讓探究活動變得真實有效。