借助動態直觀圖感悟假設法
——以“雞兔同籠”問題的教學為例

安徽望江縣第一小學（246200） 吳新結

人教版教材四年級下冊安排了數學廣角“雞兔同籠”這一內容，展示了解決該問題的一些方法，體現了解決問題方法的多樣性。其中，將假設法作為一種重要的數學思想方法進行了重點介紹，引導學生在學習中感悟假設法，同時培養學生的推理能力。

在實際教學這一內容時，我們存在許多困惑。一是“假設”這種想法，是教師給出的，而不是學生自然想到的，如何才能讓學生自然地萌發這種思想呢？二是假設法伴隨著較為復雜的分析推理過程，學生理解起來有一定的困難，如何幫助學生克服困難？三是如何抽象出假設法，使學生有所感悟并在新的情境中進行推廣運用？

同時我們也了解到：在先前的學習中，學生從沒有系統地接觸過假設法，即在他們的知識結構中不存在“假設”這一圖式，但他們在日常生活中不乏“假設”的經驗，如“過家家”時角色的扮演、“假如”“當成”這些詞匯的運用等。基于上述困惑和認識，我對“雞兔同籠”這一內容中的假設法進行了新的教學嘗試。

首先讓學生通過畫圖嘗試解決問題（如圖1），師生交流解題思路。

圖1

生1：先把雞和兔都看成是4只，畫好后數一數，發現腳的只數少了，就再添上一些腳。

師：“先把雞和兔都看成是4只”是一種很好的想法，數學上把它叫作假設。我們還可以怎樣假設呢？

（學生分別假設雞和兔不同的只數，就是沒有假設“籠子里都是雞”或“籠子里都是兔”這兩種情況）

師（動畫展示“玉兔拜月”）：從數學的角度看，這時的兔子與雞就沒什么兩樣了，都是1個頭、2只腳。如果籠子中的兔子都在拜月，這時候，籠子中的動物就可以全部看成什么？

生2：全部都是雞。

生3：由既有兔又有雞變成全部都是雞，使問題變得簡單了。

僅有這樣的“啟蒙”還是不夠的。假設法要求：“在條件改變之后，根據題目的數量關系進行計算和推理，再根據所得數據與原數據的差異進行修正和還原，最后使原問題得到解決”。這樣的一個基本思考過程，還是要讓學生在動態的圖示中去一步步體驗和領悟。

接著，我引導學生根據上面的討論，將籠子里的動物假設都是雞，畫出圖2，并進行計算和推理，比較差異。

圖2

生4：每只雞有 2只腳，2×8=16（只腳）。實際有 26只腳，少了 26-16=10（只腳）。

師：這是什么原因呢？

生4：把兔子畫成了雞，腳數變少了。

（我順勢畫出圖3，再進行修正和還原）

圖3

師：把幾只兔子畫成了雞？

生5：5 只。

師：你怎么知道是5只兔子呢？

（雖然學生已通過其他方法得知了雞和兔的只數，但教師還是要追問推理的過程）

生5（展示推理過程）：一共少畫10只腳，每只兔子少畫 2 只腳，10÷2=5（只）（兔），8-5=3（只）（雞）。

（我出示圖4，突出強調求出的是兔子的只數，這也是學生最容易混淆的地方）

圖4

師：看了這些怪模怪樣的兔子你有什么想法？

生6：把兔子的腳補上去。

（學生在作業紙上補畫，教師用投影儀展示學生補畫的圖，如圖5）

圖5

師：現在符合條件了嗎？算一算，檢驗一下。

生7：2×3=6（只）,4×5=20（只），20+6=26（只），符合題意。

在上述教學過程中，我借助動態的直觀圖，逐步揭示用假設法解決問題的過程，學生在參與數學活動的過程中，對假設法有了一定的感受和體驗。

數學思想方法的感悟不是一蹴而就的。就一節課來說，一種思想方法的學習也不能僅僅通過一兩個例子去完成。要讓學生將數學思想方法內化為自己的認知，并能自覺地在今后的學習中予以運用，教師就要注意一般方法的概括以及對學生遷移能力的培養。

在這節課的最后一個部分，我安排了以下幾個教學內容。

1.如果假設全部是兔子，你是怎樣思考的？請用畫圖法在小組內向同伴說一說你的想法。

2.“新星小學‘環保衛士’小分隊12人參加植樹活動，男同學每人栽了3棵樹，女同學每人栽了2棵樹，一共栽了32棵樹。男女同學各有幾人？”這個問題與“雞兔同籠”問題有哪些相似的地方？能用畫圖法解決問題并說明你的想法嗎？

3.不用畫圖，在腦中想象：雞、兔共有6個頭，16只腳。雞、兔各幾只？

這是一個遞進的過程，從熟悉的“雞兔同籠”問題，到情境不同但實質相同的植樹問題，從具象到表象，所依托的仍然是圖形。在這些感性材料的基礎上，引導學生對假設法的一般程序進行初步總結。

課件再次展示以上學習中的直觀圖，逐步提煉假設法的一般程序：假設一種特殊的情況→根據數量關系計算相關數據→與原來的數據比較（找出不同）→分析這些不同的原因→計算得出正確的答案。

誠然，假設法并不止本文所述的這一種，這里僅以“雞兔同籠”為例，假設的是一種極端的情況，而不是一般意義上的“對數學問題的一些數據做適當的改變”，是一種特例，其他情況有待于后續的學習。我們在這里只是播下一粒種子，期望今后開出更加美麗迷人的數學之花。

通過畫圖描述和分析問題，可以使復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，是培養學生思維能力的有力拐杖。可以說，通過畫圖解決問題，是學生數學素養的一個方面。本文所示的一些示意圖，不僅使抽象的思想方法具體化、形象化，有助于學生感悟假設法，動態的生成過程，還契合了學生的思考路徑，較好地發展了學生的數學思維。

從更一般的角度來看，“數學廣角”教學內容所蘊含的數學思想方法大都有一定的思維難度，考慮到小學生的年齡和心理特點，借助一些直觀的圖形去體驗感悟，是一條有效的路徑。