以形助數，讓計算教學走向深刻
——以“兩位數乘兩位數”的教學為例

江蘇南京市長江路小學（210018） 殷 芊

一、直觀操作：多途徑解決問題

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“計算教學既需要讓學生在直觀中理解算理，也需要讓學生掌握抽象的法則，更需要讓學生充分體驗由直觀算理到抽象方法的過渡和演變過程。”以形助數的思想，能夠將抽象的算理與直觀的幾何圖形結合起來，使抽象思維與形象思維有機結合起來，從而幫助學生掌握算法的同時借助直觀圖形深刻理解算理。

教學“兩位數乘兩位數”時，很多教師都會直接出示課本上的例題“12箱迷你南瓜，每箱24個。一共有多少個？”，接著就要求學生用自己喜歡的方法進行求解。學生在交流自己是怎樣算的時候，往往局限于依著算式來說自己是怎樣列式的過程中，學生似乎已經懂得了方法，卻又無法表達得很清楚。于是，我對該例題進行了創編：“十歲成長禮的啦啦操表演中，每行有14人，有12行，一共有多少人？”，并出示點子圖，讓學生能夠依托于點子圖清楚地表達自己的算法。

【教學片段】

師：14×12的結果究竟是多少呢？你能想辦法找到它的答案嗎？

生（齊）：能。

師：每位同學在課前都拿到了一張學習單，請大家完成學習單。

學習單內容：

（1）用你喜歡的方法計算14×12。

（2）把你的想法在點子圖中圈一圈、畫一畫。

（3）你還能想到其他方法嗎？

生1：我把12拆成6和6。先算出一半的人數“14×6=84（人）”，然后再算“84×2=168（人）”。（如圖 1）

生2：我把 12 拆成 10 和 2，先算“14×2=28（人）”,再算“14×10=140（人）”,最后把兩部分求得的人數合起來，即“28+140=168（人）”。（如圖 2）

生3：我是把14拆成10和4，先算4個12，再算10個12，最后得到168。

圖1

圖2

這一環節的教學，鼓勵學生用已經學過的知識獨立解決問題，并嘗試在點子圖中展示自己的計算方法。在圈畫的過程中，學生經歷了用圖示表達算理的過程。不同算法的交流和分享，通過點子圖清晰地呈現在課堂上。

在匯報交流算法時，我引導學生結合點子圖進行了兩次對比：第一次對比，找尋不同算法之間的共同點，從而滲透轉化思想；第二次對比，既溝通了豎式計算與口算方法之間的聯系，也在對比中突出了豎式計算的簡潔美。

二、動靜結合：形象化理解算理

在嘗試計算“兩位數乘兩位數”時，大部分學生都能運用豎式進行計算，并且結果都正確。學生似乎已經掌握了兩位數乘兩位數的計算方法，但從幾個學生的回答中可以發現，他們的方法是根據以往的知識基礎和學習經驗遷移而來的，學生根據知識基礎和學習經驗很容易就想到兩位數乘兩位數可以用豎式計算，但面對如何書寫乘積后的結果（第二步）十分困惑。

【教學片段】

課件出示圖3。

圖3

圖4

師：我們在點子圖中找到了計算的過程，那綠色方框里的表示的是幾個幾？

生1：8 個一。

師：紅色方框里的呢？

生2：6個十。

師：黃色方框表示1個百。

師：相同數位要對齊，這里的數位還沒有對齊。現在我們讓它對齊。（如圖4）

師：再來看看這張點子圖，你有什么感覺？

生3：點子圖和豎式的結構是一樣的。

生4：豎式計算的每一步計算結果，在點子圖中相同的位置也能找到。

師：是啊，一張神奇的點子圖幫助我們找到了計算的道理。

在學生理解算理存在困難時，教師巧妙地借助模型，利用數形結合幫助學生體會兩位數乘兩位數豎式計算的道理，并結合分形圖，引導學生觀察和思考，從而發現并建立數學符號與操作活動之間的聯系。結合動態圖的演示，將操作活動抽象為豎式的數學化過程，“一張會動的點子圖”再次讓學生體會豎式計算每一步的合理性，從而達到借助直觀模型理解兩位數乘兩位數的算理的目的，實現算理直觀化。

三、巧妙畫圖：多層次提升思維

計算練習，目的是讓學生鞏固兩位數乘兩位數的筆算算理。為此，教師設計了三個層次的練習。第一層次，用豎式計算兩道題，這兩道題的選擇各自有著不同的作用。第1題“41×22”，通過追問“兩個82的含義一樣嗎？”，再次強化豎式計算的算理；第2題“12×14”是為了告訴學生，計算兩位數乘兩位數時可以調換乘數位置再乘一遍進行驗算。第二層次，教師選取在前測中發現的典型問題，鼓勵學生借助新知分析錯因，這樣，問題來源于學生，也經學生之手解決。第三層次，讓學生自己編題，在開放中引導學生思考什么情況下積最大，培養學生的問題意識和解決問題能力。

【教學片段】

師：我們玩一個數學游戲。這有寫了1、2、2、3的四張數字卡片，請編一道兩位數乘兩位數的算式。能編幾道？在這么多的算式中積最大的是哪個？

（學生在進行編題的過程中，列出6種算式，得出要使積最大，則兩位數的十位必須是最大的兩個數，通過排列則有“32×21=”和“31×22=”兩種）

課上到這里就結束了，但是學生的研究卻還未止步。課后，有學生提出：“我會一種求解積最大問題的簡便方法。如圖5，把全部的數字按從大到小的順序排列在u型上，很容易就得出組成的兩位數31和兩位數22相乘得到的積最大。”

圖5

在練習中，學生再次借助圖形巧妙地解決了問題，也再次感受到圖形不僅對理解算理有幫助，也能進一步優化解決問題的方法。

“隨風潛入夜，潤物細無聲?！睌祵W思想方法的滲透應當像春雨一樣，不斷滋潤著學生的心田，能夠真正促進學生創造性地玩數學，讓學生自覺地依托鮮活的數去思考抽象的數。

數形結合思想不像數學知識、解題方法那樣具有某種形式，不可能靠一朝一夕、一招一式就能實現。因此，教師要從學生發展的全局出發，從具體教學過程著手，結合教學內容適時適度滲透數形結合思想，使數形結合思想和其他數學思想能夠融合運用于數學活動中，這樣，數學思想方法便能“落地生根”。